Группа (математика)

Гру́ппа в математике — непустое множество, на котором определена ассоциативная бинарная операция, причём для этой операции имеется нейтральный элемент (аналог единицы для умножения), и каждый элемент множества имеет обратный. Ветвь общей алгебры, занимающаяся группами, называется теорией групп.

Один из примеров группы — множество целых чисел, снабжённое операцией сложения: сумма любых двух целых чисел также даёт целое число, роль нейтрального элемента играет ноль, а число с противоположным знаком является обратным элементом. Другие примеры — множество вещественных чисел с операцией сложения, множество вращений плоскости вокруг начала координат. Благодаря определению группы через систему аксиом, не привязанной к специфике её элементов, создан универсальный аппарат для изучения широкого класса математических объектов самого разнообразного происхождения с точки зрения общих свойств их структуры. Вездесущность групп в математике и за её пределами делает их важнейшей конструкцией в современной математике и её приложениях.

Группа фундаментально родственна понятию симметрии и является важным инструментом в изучении всех её проявлений. Например, группа симметрии отражает свойства геометрического объекта: она состоит из множества преобразований, оставляющих объект неизменным, и операции комбинирования двух таких преобразований, следующих друг за другом. Такие группы симметрии, как точечные группы симметрии, помогают понять явление молекулярной симметрии в химии; группа Пуанкаре характеризует симметрию физического пространства-времени, а специальные унитарные группы применяются в стандартной модели физики элементарных частиц.

Понятие группы ввёл Эварист Галуа, изучая многочлены в 1830-е годы.

Современная теория групп является активным разделом математики. Один из наиболее впечатляющих результатов достигнут в классификации простых конечных групп, которая была завершена в 1981 году: доказательство теоремы составляет десятки тысяч страниц сотен научных статей более ста авторов, опубликованных с 1955 года, но статьи продолжают появляться из-за обнаруживаемых пробелов в доказательстве. С середины 1980-х годов значительное развитие получила геометрическая теория групп, изучающая конечно-порождённые группы как геометрические объекты.

ОпределениеПравить

Непустое множество $G$$G$  с заданной на нём бинарной операцией $\ast <!--\; \ast \; -->$${*}$ : $\mathrm{G}\times <!--\; \times \; -->\mathrm{G}\to <!--\; \to \; -->\mathrm{G}$$\mathrm {G} \times \mathrm {G} \rightarrow \mathrm {G}$  называется группой $(\mathrm{G},\ast <!--\; \ast \; -->)$$(\mathrm {G} ,*)$ , если выполнены следующие аксиомы:

1. ассоциативность: $\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}(a,b,c\in <!--\; \in \; -->G):<!--\; :\; -->(a\ast <!--\; \ast \; -->b)\ast <!--\; \ast \; -->c=a\ast <!--\; \ast \; -->(b\ast <!--\; \ast \; -->c)$$\forall (a,b,c\in G)\colon (a*b)*c=a*(b*c)$ ;
2. наличие нейтрального элемента: $\mathrm{\exists <!--\; \exists \; -->}e\in <!--\; \in \; -->G\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}a\in <!--\; \in \; -->G:<!--\; :\; -->(e\ast <!--\; \ast \; -->a=a\ast <!--\; \ast \; -->e=a)$$\exists e\in G\quad \forall a\in G\colon (e*a=a*e=a)$ ;
3. наличие обратного элемента: $\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}a\in <!--\; \in \; -->G\mathrm{\exists <!--\; \exists \; -->}{a}^{-<!--\; -\; -->1}\in <!--\; \in \; -->G:<!--\; :\; -->(a\ast <!--\; \ast \; -->a^{-<!--\; -\; -->1}=a^{-<!--\; -\; -->1}\ast <!--\; \ast \; -->a=e)$$\forall a\in G\quad \exists a^{-1}\in G\colon (a*a^{-1}=a^{-1}*a=e)$ .

Последние две аксиомы можно заменить одной аксиомой существования операции обратной $\ast <!--\; \ast \; -->$$*$ :

$\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}(a,b\in <!--\; \in \; -->G)\mathrm{\exists <!--\; \exists \; -->}(x,y\in <!--\; \in \; -->G):<!--\; :\; -->(a\ast <!--\; \ast \; -->x=b)\wedge <!--\; \wedge \; -->(y\ast <!--\; \ast \; -->a=b)$$\forall (a,b\in G)\quad \exists (x,y\in G)\colon (a*x=b)\land (y*a=b)$ .

При этом вышеприведённые аксиомы не являются строго минимальными. Для существования нейтрального и обратного элементов достаточно наличия левого нейтрального элемента и левого обратного элемента. При этом можно доказать, что они автоматически будут обычным нейтральным и обратным элементами.

Связанные определенияПравить

Основная статья: Словарь терминов теории групп

 

Группа и связанные с ней простейшие алгебраические структуры

• В общем случае от группы не требуется выполнения свойства коммутативности.
  • Пары элементов $a,b$$a,\;b$ , для которых выполнено равенство $a\ast <!--\; \ast \; -->b=b\ast <!--\; \ast \; -->a$$a*b=b*a$ , называются перестановочными или коммутирующими.
  • Множество элементов, перестановочных со всеми элементами группы, называется центром группы.
  • Группа, в которой любые два элемента коммутируют, называется коммутативной или абелевой.
• Подгруппа — подмножество $H$$H$  группы $G$$G$ , которое является группой относительно операции, определённой в $G$$G$ .
• Порядок группы $(G,\ast <!--\; \ast \; -->)$$(G,*)$  — мощность $G$$G$  (то есть число её элементов).
  • Если множество $G$$G$  конечно, то группа называется конечной.
• Гомоморфизмы групп — это отображения групп, которые сохраняют групповую структуру. То есть отображение групп $f:<!--\; :\; -->(G,\ast <!--\; \ast \; -->)\to <!--\; \to \; -->(H,\times <!--\; \times \; -->)$$f\colon (G,*)\to (H,\times )$  называется гомоморфизмом, если удовлетворяет условию $f(a\ast <!--\; \ast \; -->b)=f(a)\times <!--\; \times \; -->f(b)$$f(a*b)=f(a)\times f(b)$ .
• Две группы называются изоморфными, если существуют гомоморфизм групп $f:<!--\; :\; -->(G,\ast <!--\; \ast \; -->)\to <!--\; \to \; -->(H,\times <!--\; \times \; -->)$$f\colon (G,*)\to (H,\times )$  и гомоморфизм групп $g:<!--\; :\; -->(H,\times <!--\; \times \; -->)\to <!--\; \to \; -->(G,\ast <!--\; \ast \; -->)$$g\colon (H,\times )\to (G,*)$ , такие что $f(g(a))=a$$f(g(a)) = a$  и $g(f(b))=b$$g(f(b))=b$ , где $b\in <!--\; \in \; -->G$$b\in G$  и $a\in <!--\; \in \; -->H$$a\in H$ . В этом случае эти гомоморфизмы называются изоморфизмами.
• Для элемента $g\in <!--\; \in \; -->G$$g\in G$  левый смежный класс по подгруппе $H$$H$  — множество $gH=\{gh\mid <!--\; \mid \; -->h\in <!--\; \in \; -->H\}$$gH=\{gh\mid h\in H\}$ , правый смежный класс по подгруппе $H$$H$  — множество $Hg=\{hg\mid <!--\; \mid \; -->h\in <!--\; \in \; -->H\}$$Hg=\{hg\mid h\in H\}$ .
• Нормальная подгруппа — подгруппа особого типа, левый и правый смежные классы по которой совпадают. Для любого $g\in <!--\; \in \; -->G$$g\in G$ , $gH=Hg$$gH=Hg$ .
• Факторгруппа — множество смежных классов группы по её нормальной подгруппе, само являющееся группой.

Стандартные обозначенияПравить

Мультипликативная записьПравить

Обычно групповую операцию называют (абстрактным) умножением; тогда применяется мультипликативная запись:

• результат операции называют произведением и записывают $a\cdot <!--\; \cdot \; -->b$$a\cdot b$  или $ab$$ab$ ;
• нейтральный элемент обозначается «$1$$1$ » или $e$$e$  и называется единицей;
• обратный к $a$$a$  элемент записывается как $a^{-<!--\; -\; -->1}$$a^{-1}$ .

Если групповая операция именуется умножением, то саму такую группу $\mathrm{G}$$\mathrm {G}$  при этом называют мультипликативной и при полном способе записи (когда хотят явно указать групповую операцию) обозначают так: $(\mathrm{G},\cdot <!--\; \cdot \; -->)$$(\mathrm {G} ,\cdot )$ .

Кратные произведения $aa$$aa$ , $aaa$$aaa$ , $...$$...$  записывают в виде натуральных степеней $a^2$$a^2$ , $a^3$$a^{3}$ ,$...$$...$ . Для элемента $a$$a$  корректно определена целая степень, записывается следующим образом: $a^0=e$$a^{0}=e$ , $a^{-<!--\; -\; -->n}=(a^{-<!--\; -\; -->1}{)}^n$$a^{-n}=(a^{-1})^{n}$ .

Аддитивная записьПравить

В коммутативной группе определяющая операция часто рассматривается как (абстрактное) сложение и записывается аддитивно:

• пишут «$a+b$$a+b$ » и называют получившийся элемент суммой элементов $a$$a$  и $b$$b$ ;
• нейтральный элемент обозначают как «$0$$0$ » и называют его нулём;
• обратный элемент к $a$$a$  обозначают как «$-<!--\; -\; -->a$$-a$ » и называют его противоположным к $a$$a$  элементом;
• запись сокращают следующим образом: $a+(-<!--\; -\; -->b)=a-<!--\; -\; -->b$$a+(-b)=a-b$ ;
• выражения вида $a+a$$a+a$ , $a+a+a$$a+a+a$ ,$-<!--\; -\; -->a-<!--\; -\; -->a$$-a-a$  обозначают символами $2a$$2a$ , $3a$$3a$ , $-<!--\; -\; -->2a$$-2a$ .

Если групповая операция именуется сложением, то саму такую группу $\mathrm{G}$$\mathrm {G}$  при этом называют аддитивной и при полном способе записи обозначают так: $(\mathrm{G},+)$$(\mathrm {G} ,+)$ . Этот термин относится только к способу записи операции в группе; он полезен, когда на множестве задано несколько операций. Например, можно говорить об аддитивной группе вещественных чисел или о мультипликативной группе положительных вещественных чисел. Кроме того, встречаются случаи, когда аддитивная группа изоморфна мультипликативной (см. Корни из единицы).

ПримерыПравить

• Множество целых чисел, снабжённое операцией сложения, является группой.
• Множество всех рациональных чисел, кроме нуля, с операцией умножения является группой.

Группы применяются в различных областях математики. Например, в топологии, введя понятие фундаментальной группы. Помимо теоретического применения групп существует множество способов применения групп на практике. К примеру, они применяются в криптографии, которая опирается на вычислительную теорию групп и знания в области алгоритмов.

Применение теории групп не ограничивается только математикой, её широко используют в таких науках как физика, химия и информатика.

 

Часы показывают время по модулю 12. $\begin{align} n = 12\\ 9+4 &\equiv 1 \pmod {12}\, \end{align}$ .

• Целые числа по модулю $n$$n$  — результатом сложения по модулю $n$$n$  является остаток суммы при делении на $n$$n$ . Множество целых чисел от $0$$0$  до $n-<!--\; -\; -->1$$n-1$  образует группу с этой операцией. Нейтральный элемент — $0$$0$ , обратный элемент к $a\ne <!--\; \ne \; -->0$$a\neq 0$  является число $n-<!--\; -\; -->a\equiv <!--\; \equiv \; -->-<!--\; -\; -->a(\mathrm{mod}n)$$n-a\equiv -a{\pmod {n}}$ . Наглядным примером такой группы

могут быть часы с циферблатом.

• Целые числа с операцией сложения. $(\mathbb{Z},+)$$(\mathbb{Z},+)$  — коммутативная группа с нейтральным элементом $0$$0$ . Целые числа с операцией умножения не будут образовывать группу. Замкнутость, ассоциативность и существование нейтрального элемента будет иметь место, но не выполнится аксиома о существовании обратного элемента. Например, $a=2$$a=2$ , тогда $a\cdot <!--\; \cdot \; -->b=1$$a\cdot b=1$  то есть $b=1/2$$b = 1/2$ . Обратный элемент не является целым числом.
• Положительные рациональные числа с операцией умножения. Произведение рациональных чисел — снова рациональное число, обратный элемент к рациональному числу представляется обратной дробью, имеется ассоциативность, а нейтральным элементом является единица.
• Свободная группа с двумя образующими ($F_2$$F_{2}$ ) состоит из пустого слова (единица группы) и всех конечных слов из четырёх символов $a$$a$ , $a^{-<!--\; -\; -->1}$$a^{{-1}}$ , $b$$b$  и $b^{-<!--\; -\; -->1}$$b^{{-1}}$  таких, что $a$$a$  не появляется рядом с $a^{-<!--\; -\; -->1}$$a^{{-1}}$  и $b$$b$  не появляется рядом с $b^{-<!--\; -\; -->1}$$b^{{-1}}$ . Операция умножения таких слов — это просто соединение двух слов в одно с последующим сокращением пар $a{a}^{-<!--\; -\; -->1}$$aa^{-1}$ , $a^{-<!--\; -\; -->1}a$$a^{-1}a$ , $b{b}^{-<!--\; -\; -->1}$$bb^{-1}$  и $b^{-<!--\; -\; -->1}b$$b^{{-1}}b$ .
• Симметрическая группа. Множество всех биекций конечного множества в себя с операцией композиции является конечной группой, которая называется симметрической группой, или группой перестановок. Мощность конечной симметрической группы $S_n$$S_{n}$  для множества из $n$$n$  элементов равна $n!$$n!$ . При $n\ge <!--\; \ge \; -->3$$n\geq 3$  эта группа не является абелевой. Любая конечная группа является подгруппой некоторой симметрической группы (теорема Кэли).

 

6 комплексных корней из единицы образуют циклическую группу

• Циклические группы состоят из степеней $⟨<!--\; ⟨\; -->a⟩<!--\; ⟩\; -->=\{a^n\mid <!--\; \mid \; -->n\in <!--\; \in \; -->\mathbb{Z}\}$$\langle a\rangle =\{a^{n}\mid n\in \mathbb {Z} \}$  одного элемента $a$$a$ . Элемент $a$$a$  называется образующим циклической группы. Циклические группы всегда коммутативны. Примером такой группы являются уже упомянутые целые числа по сложению. Циклической будет группа, состоящая из $n$$n$  комплексных корней из единицы, то есть группа комплексных чисел $z$$z$ , удовлетворяющих условию $z^n=1$$z^{n}=1$  и операции умножения комплексных чисел. Мультипликативная конечная группа $(\mathrm{G},\cdot <!--\; \cdot \; -->)$$(\mathrm {G} ,\cdot )$  также является циклической. Например, $3$$3$  является образующим элементом группы $\mathrm{G}$$\mathrm {G}$  при $n=5$$n=5$ :

$\begin{align} 3^1 &\equiv 3 \pmod 5\\ 3^2 &\equiv 4 \pmod 5\\ 3^3 &\equiv 2 \pmod 5\\ 3^4 &\equiv 1 \pmod 5\, \end{align}$ 

• Группа кубика Рубика — подгруппа симметрической группы $S_{48}$$S_{{48}}$ , элементы которой соответствуют преобразованиям кубика Рубика. Композиция двух преобразований снова является преобразованием, для каждого преобразования существует обратный элемент, имеется ассоциативность и нейтральный элемент.
• Группы Галуа. Были введены в математику для решения в радикалах полиномиальных уравнений от одной переменной. Например, решение квадратного уравнения $a{x}^2+bx+c=0$$ax^{2}+bx+c=0$  даёт корни: $x=\frac{-<!--\; -\; -->b\pm <!--\; \pm \; -->\sqrt{b^2-<!--\; -\; -->4ac}}{2a}.$$x = \frac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac}}{2a}.$  Подобные формулы есть для уравнений третьей и четвёртой степени, но не существуют для уравнений степени $5$$5$  и выше.

Простейшие свойстваПравить

• Для каждого элемента $a$$a$  обратный элемент $a^{-<!--\; -\; -->1}$$a^{{-1}}$  единственен.
• Нейтральный элемент единственен:

  Если $e_1,e_2$$e_{1},e_{2}$ — нейтральные, то $e_1\cdot <!--\; \cdot \; -->e_2=e_1=e_2\cdot <!--\; \cdot \; -->e_1=e_2=e_1$$e_{1}\cdot e_{2}=e_{1}=e_{2}\cdot e_{1}=e_{2}=e_{1}$ .

• $(a^m{)}^n=a^{mn}$$(a^{m})^{n}=a^{mn}$ .
• $(a^{-<!--\; -\; -->1}{)}^{-<!--\; -\; -->1}=a$$(a^{-1})^{-1}=a$ .
• $a^{m+n}=a^m\cdot <!--\; \cdot \; -->a^n$$a^{m+n}=a^{m}\cdot a^{n}$ .
• $e^n=e$$e^{n}=e$ , для любого $n\in <!--\; \in \; -->\mathbb{Z}$$n\in \mathbb {Z}$ .
• $(ab{)}^{-<!--\; -\; -->1}=b^{-<!--\; -\; -->1}{a}^{-<!--\; -\; -->1}$$(ab)^{{-1}}=b^{{-1}}a^{{-1}}$ .
• Верны законы сокращения:

  $c\cdot <!--\; \cdot \; -->a=c\cdot <!--\; \cdot \; -->b\iff <!--\; \iff \; -->a=b$$c\cdot a=c\cdot b\Leftrightarrow a=b$ ,

  $a\cdot <!--\; \cdot \; -->c=b\cdot <!--\; \cdot \; -->c\iff <!--\; \iff \; -->a=b$$a\cdot c=b\cdot c\Leftrightarrow a=b$ .

• Обратный элемент к нейтральному есть сам нейтральный элемент.
• Группа содержит единственное решение $x$$x$  любого уравнения $x\cdot <!--\; \cdot \; -->c=b$$x\cdot c=b$  или $c\cdot <!--\; \cdot \; -->x=b$$c\cdot x=b$ ; то есть в группе возможны однозначно определённые правое и левое «деление».
• Пересечение двух подгрупп группы $\mathrm{G}$$\mathrm {G}$  есть подгруппа группы $\mathrm{G}$$\mathrm {G}$ .
• Теорема Лагранжа: если $\mathrm{G}$$\mathrm {G}$  — группа конечного порядка $g$$g$ , то порядок $g_1$$g_{1}$  любой её подгруппы ${\mathrm{G}}_1$$\mathrm {G_{1}}$  является делителем порядка группы. Из этого следует, что и порядок любого элемента делит порядок группы.
• Для определения числа подгрупп в группе используются теорема Лагранжа и теоремы Силова.

Способы задания группыПравить

Группу можно задать:

• С помощью порождающего множества и набора соотношений между его элементами;
• Факторгруппой $G/H$$G/H$ , где $G$$G$  — некоторая группа и $H$$H$  — её нормальная подгруппа;
• Полупрямым произведением двух групп и, в частности,
  • Прямым произведением двух групп $(G,\cdot <!--\; \cdot \; -->)$$(G,\cdot )$  и $(H,\cdot <!--\; \cdot \; -->)$$(H,\cdot )$ , то есть множеством $G\times <!--\; \times \; -->H$$G\times H$  пар, наделённым операцией покомпонентного умножения: $(g_1,h_1)\cdot <!--\; \cdot \; -->(g_2,h_2)=(g_1\cdot <!--\; \cdot \; -->g_2,h_1\cdot <!--\; \cdot \; -->h_2)$$(g_{1},h_{1})\cdot (g_{2},h_{2})=(g_{1}\cdot g_{2},h_{1}\cdot h_{2})$ ;
• Свободным произведением двух групп: свободное произведение групп $G$$G$  и $H$$H$  есть группа, система образующих которой есть объединение систем образующих $G$$G$  и $H$$H$ , a система соотношений есть объединение систем соотношений $G$$G$  и $H$$H$ .

ИсторияПравить

Современное понятие группы сформировалось из нескольких областей математики. Первоначальной движущей силой теории групп были поиски решений алгебраических уравнений степени выше четырёх. Французский математик 19-го века Эварист Галуа, доработав исследования Руффини и Лагранжа, дал критерий разрешимости конкретного алгебраического уравнения с точки зрения группы симметрии его решений. Элементы такой группы Галуа соответствуют определённым перестановкам корней. Идеи Галуа были отвергнуты современниками и опубликованы посмертно Лиувиллем в 1846 году. Опираясь на те же работы, что и Галуа, Коши подробно исследовал группы перестановок. Впервые понятие конечной группы вводит Артур Кэли в 1854 году в своей работе «Глава по теории групп, зависящих от символического уравнения θⁿ = 1» (англ. "On the theory of groups, as depending on the symbolic equation θⁿ$=$$=$ 1").

Геометрия — вторая область, где группы применялись систематически, особенно группы симметрии как часть «Эрлангенской программы» немецкого математика Феликса Клейна. После возникновения новых разделов геометрии, таких как гиперболическая и проективная геометрии, Клейн использовал теорию групп для их лучшего согласования. Дальнейшее развитие этих идей приводит к введению понятия группы Ли в математику в 1884 году.

Третья область математики, поспособствовавшая развитию теории групп, — теория чисел. Некоторые абелевы группы были неявно использованы в работе Гаусса «Арифметические исследования» (1801). В 1847 году Эрнст Куммер сделал первые попытки доказать Великую теорему Ферма с помощью групп, описывающих разложения на простые числа. В 1870 году Кронекер обобщил работы Куммера и дал близкое к современному определение конечной абелевой группе.

Обособление теории групп началось с работы Камиля Жордана «Трактат о заменах и алгебраических уравнениях» (1870). В 20 веке теория групп начала активно развиваться. Появились на свет пионерская работа Фробениуса и Бёрнсайда о представлении конечных групп, модульная теория представлений Ричарда Браура и записи Шура. Значительных успехов в изучении теории групп Ли и локально компактных групп достигли Вейль и Картан. Алгебраическим дополнением этих теорий стала теория алгебраических групп, впервые сформулированная Клодом Шевалле, позднее упоминаемая в работах Бореля и Титса.

В 1960—61 учебном году в Чикагском университете проходил год теории групп, который собрал вместе таких теоретиков как Даниель Горенстейн, Джон Томпсон и Уолтер Фейт, тем самым заложив фундамент сотрудничества большого числа математиков, которые впоследствии вывели теорему о классификации всех простых конечных групп в 1980-х годах. Этот проект превысил по своим размерам все предыдущие попытки классифицировать группы, как по длине доказательств, так и по количеству учёных, вовлечённых в эту работу. Текущие исследования направлены на упрощение классификации групп. В настоящее время теория групп продолжает активно развиваться и оказывать влияние на остальные разделы математики.

Вариации и обобщенияПравить

• Группоид — множество с заданной на нём бинарной операцией.
• Квазигруппа — группоид, состоящий из некоторого множества $Q$$Q$  и бинарной операции $\cdot <!--\; \cdot \; -->$$\cdot$ , такой что для любых $a,b\in <!--\; \in \; -->Q$$a,b\in Q$  найдутся единственные элементы $x$$x$  и $y$$y$ , такие что $a\cdot <!--\; \cdot \; -->x=b$$a\cdot x=b$  и $y\cdot <!--\; \cdot \; -->a=b$$y\cdot a=b$ .
• Полугруппа — алгебраическая система с заданной на ней ассоциативной бинарной операцией. Множество натуральных чисел с операцией сложения образует полугруппу.
• Множество $G$$G$  с заданной на нём бинарной операцией, удовлетворяющее только первым двум аксиомам, называется моноидом. Множество нeотрицательных целых чисел с операцией сложения образуют моноид.

Группы с дополнительной структуройПравить

Многие группы одновременно обладают какой-либо другой (дополнительной) математической структурой. На языке теории категорий это — групповые объекты в категории; иными словами, это — объекты (то есть, например, множества, обладающие определённой математической структурой), для которых задан класс некоторых преобразований (именуемых морфизмами), следующих аксиомам группы. В частности, всякая группа (в ранее определённом смысле) одновременно является множеством, так что группа есть групповой объект в категории множеств Set (морфизмы в этой категории — отображения множеств).

КольцаПравить

Основная статья: Кольцо (математика)

Кольцо — множество $K$$K$ , на котором определены бинарные операции коммутативного сложения и (не обязательно коммутативного) умножения, причём относительно сложения К образует группу, а умножение связано со сложением дистрибутивным законом.

Кольцо называют коммутативным и ассоциативным, если заданная на нём операция умножения коммутативна и соответственно ассоциативна. Элемент кольца $1$$1$  называется единицей, если выполнено условие: $a\cdot <!--\; \cdot \; -->1=1\cdot <!--\; \cdot \; -->a=a$$a\cdot 1=1\cdot a=a$ , где $a$$a$  — любой элемент кольца.

Числовые множества Z, Q, R являются коммутативными ассоциативными кольцами с единицей. Множество векторов с операцией векторного умножения является антикоммутативным кольцом (то есть $a\cdot <!--\; \cdot \; -->b=-<!--\; -\; -->b\cdot <!--\; \cdot \; -->a$$a\cdot b=-b\cdot a$ ) в силу свойств векторного умножения: $a\times <!--\; \times \; -->b+b\times <!--\; \times \; -->a=0$$a\times b+b\times a=0$ .

ПоляПравить

Основная статья: Поле (алгебра)

Поле — это коммутативное ассоциативное кольцо $F$$F$  с единицей, причём относительно сложения $F$$F$  образует группу, а ненулевые его элементы являются группой по умножению. Поле не может состоять из одного нуля. Множества рациональных и вещественных чисел являются полями. В любом поле $a\cdot <!--\; \cdot \; -->b=0$$a\cdot b=0$  только при $a=0$$a=0$  и/или $b=0$$b=0$ .

Топологические группыПравить

Основная статья: Топологическая группа

Некоторые топологические пространства могут быть одновременно снабжены и групповой структурой. В этом случае такое пространство может оказаться топологической группой.

Именно, топологическая группа — это группа, являющаяся одновременно топологическим пространством, причём умножение элементов группы $\mathrm{G}\times <!--\; \times \; -->\mathrm{G}\to <!--\; \to \; -->\mathrm{G}$$\mathrm {G} \times \mathrm {G} \rightarrow \mathrm {G}$  и операция взятия обратного элемента $\mathrm{G}\to <!--\; \to \; -->\mathrm{G}$$\mathrm {G} \rightarrow \mathrm {G}$  оказываются непрерывными отображениями в используемой топологии. Топологические группы являются групповыми объектами в топологических пространствах Top.

Наиболее важные примеры топологических групп — это аддитивная группа вещественных чисел $(\mathbb{R},+)$$(\mathbb {R} ,+)$ , мультипликативная группа ненулевых вещественных чисел $({\mathbb{R}}^{\mathbb{\ast <!--\; \ast \; -->}},\cdot <!--\; \cdot \; -->)$$(\mathbb {R^{*}} ,\cdot )$ , полная линейная группа $GL(n)$$GL(n)$ , специальная линейная группа $SL(n)$$SL(n)$ , ортогональная группа $O(n)$$O(n)$ , специальная ортогональная группа $SO(n)$$SO(n)$ , унитарная группа $U(n)$$U(n)$ , специальная унитарная группа $SU(n)$$SU(n)$ .

Группы ЛиПравить

Основная статья: Группа Ли

Группа Ли (в честь Софуса Ли) — это группа, которая одновременно является дифференцируемым многообразием над полем K (в роли последнего могут выступать поля вещественных или комплексных чисел), причём умножение элементов группы $\mathrm{G}\times <!--\; \times \; -->\mathrm{G}\to <!--\; \to \; -->\mathrm{G}$$\mathrm {G} \times \mathrm {G} \rightarrow \mathrm {G}$  и операция взятия обратного элемента $\mathrm{G}\to <!--\; \to \; -->\mathrm{G}$$\mathrm {G} \rightarrow \mathrm {G}$  оказываются гладкими отображениями (в комплексном случае требуется голоморфность введённых отображений). При этом всякая комплексная $n$$n$ -мерная группа Ли является одновременно вещественной группой Ли размерности $2n$$2n$ .

Все конкретные группы, приведённые в предыдущем подразделе в качестве примеров топологических групп, одновременно являются и группами Ли.

Естественным образом группы Ли возникают при рассмотрении непрерывных симметрий; так, группу Ли образуют изометрии вида $\mathrm{E}\to <!--\; \to \; -->\mathrm{E}$$\mathrm {E} \rightarrow \mathrm {E}$ , где $\mathrm{E}$$\mathrm {E}$  — евклидово точечное пространство. Полученная группа, обозначаемая $Is(\mathrm{E})$$Is(\mathrm {E} )$ , является подгруппой другой группы Ли — аффинной группы пространства $\mathrm{E}$$\mathrm {E}$ , обозначаемой $Aff(\mathrm{E})$$Aff(\mathrm {E} )$ .

Группы Ли являются лучшими из многообразий в плане богатства имеющейся на них структуры и, как таковые, очень важны в дифференциальной геометрии и топологии. Они также играют видную роль в геометрии, математическом анализе, механике и физике.

См. такжеПравить

• Алгебраические структуры
• Словарь терминов теории групп
• Группа многогранника
• Группа Клейна

ЛитератураПравить

Научная литератураПравить

• Сагалович Ю. Л. Введение в алгебраические коды — 2-е изд. — М.: ИППИ РАН, 2010. — 320 с. — ISBN 978-5-901158-14-2
• Белоногов В. А. Задачник по теории групп. М.: Наука, 2000.
• Каргаполов М. И., Мерзляков Ю. И. Основы теории групп. М.: Наука, 1982.
• Кострикин А. И. Введение в алгебру. М.: Наука, 1977.
• Курош А. Г. Теория групп. (3-е изд.). М.: Наука, 1967.
• Холл М. Теория групп. М.: Издательство иностранной литературы, 1962.
• Gorenstein D. Finite groups. N.Y.: Harper and Row, 1968.
• Huppert B. Endliche Gruppen. I.B.: Springer, 1967.

Популярная литератураПравить

• Александров П. С. Введение в теорию групп. — Т. 7. — («Библиотечка Квант»).
• Садовский Л., Аршинов М. Группы // Квант. — 1976. — № 10.
• Группа // Энциклопедический словарь юного математика / Сост. А. П. Савин. — М.: Педагогика, 1985. — С. 88—94. — 352 с.