Центр группы

Центр группы в теории групп — множество всех таких элементов данной группы, которые коммутируют со всеми её элементами:

Таблица Кэли Dih₄
Центром является {0,7} — строка, начинающаяся с 7 является транспонированием столбца, начинающегося с 7, и элементы строки и столбца симметричны относительно диагонали. (Только для нейтрального элемента это возможно во всех группах.)

$Z(G)=\{z\in <!--\; \in \; -->G\mid <!--\; \mid \; -->\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}g\in <!--\; \in \; -->G,zg=gz\}$$Z(G) = \{z \in G \mid \forall g\in G, zg = gz \}$).

Группа $G$$G$ является абелевой в том и только в том случае, когда её центр совпадает с ней: $Z(G)=G$$Z(G) = G$; в этом смысле центр группы может быть рассмотрен как мера её «абелевости»(коммутативности). Говорят, что группа не имеет центра, если центр группы тривиален, то есть состоит только из нейтрального элемента.

Элементы центра иногда называют центральными элементами группы.

Подгрупповые свойстваПравить

Центр группы всегда является её подгруппой: всегда содержит нейтральный элемент (так как он коммутирует с любым элементом группы по определению), замкнут относительно групповой операции и вместе с входящими элементами содержит их обращения.

Центр группы G всегда является нормальной подгруппой G, поскольку он замкнут относительно сопряжения. Более того, центр группы — характеристическая подгруппа, но при этом — не вполне характеристическая подгруппа^[en].

Факторгруппа $G/Z(G)$$G/Z(G)$  изоморфна группе внутренних автоморфизмов группы $G$$G$ .

Классы сопряжённости и централизаторыПравить

По определению, центр группы — это множество элементов, для которых классом сопряжённости каждого элемента является сам элемент.

Центр является также пересечением всех централизаторов всех элементов группы G.

СмежностьПравить

Ядро отображения $f:G\to <!--\; \to \; -->\mathrm{Aut}<!--\; \; -->(G)$$f: G \to \operatorname{Aut}(G)$ , ставящего в соответствие элементу группы $g$$g$  автоморфизм, заданный формулой:

${\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_g(h)=gh{g}^{-<!--\; -\; -->1}$$\phi_g(h) = ghg^{-1}$ ,

является в точности центром группы G, а образ отображения f называется внутренним автоморфизмом группы G, который обозначается $\mathrm{Inn}<!--\; \; -->(G)$$\operatorname{Inn}(G)$ ; по первой теореме об изоморфизме имеет место:

$G/Z(G)\cong <!--\; \cong \; -->\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{n}(\mathrm{G})$$G/Z(G)\cong \rm{Inn}(G)$ .

Коядром отображения f является группа $\mathrm{Out}<!--\; \; -->(G)$$\operatorname{Out}(G)$  внешних автоморфизмов^[en]; таким образом, имеет место точная последовательность:

$1\to <!--\; \to \; -->Z(G)\to <!--\; \to \; -->G\to <!--\; \to \; -->\mathrm{Aut}<!--\; \; -->(G)\to <!--\; \to \; -->\mathrm{Out}<!--\; \; -->(G)\to <!--\; \to \; -->1$$1 \to Z(G) \to G \to \operatorname{Aut}(G) \to \operatorname{Out}(G) \to 1$ .

ПримерыПравить

• Центром абелевой группы G является G.
• Центром группы Гейзенберга G являются матрицы вида:

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & z\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ \end{pmatrix}$ 

• Центр неабелевой простой группы тривиален.
• Центр диэдрической группы D_n тривиален при нечётном n. Если n чётно, центр состоит из нейтрального элемента и вращения многоугольника на 180°.
• Центр группы кватернионов $Q_8=\{1,-<!--\; -\; -->1,i,-<!--\; -\; -->i,j,-<!--\; -\; -->j,k,-<!--\; -\; -->k\}$$Q_8 = \{1, -1, i, -i, j, -j, k, -k\}$  — $\{1,-<!--\; -\; -->1\}$$\{1, -1\}$ .
• Центр симметрической группы S_n тривиален для n ≥ 3.
• Центр знакопеременной группы A_n тривиален для n ≥ 4.
• Центр полной линейной группы ${\text{GL}}_n(F)$$\mbox{GL}_n(F)$  — это множество скалярных матриц $\{s{I}_n|s\in <!--\; \in \; -->F\setminus <!--\; \setminus \; -->\{0\}\}$$\{ sI_n | s \in F\setminus\{0\} \}$ .
• Центром ортогональной группы $O(n,F)$$O(n, F)$  является $\{I_n,-<!--\; -\; -->I_n\}$$\{ I_n,-I_n \}$ .
• Центром мультипликативной группы ненулевых кватернионов является мультипликативная группа ненулевых вещественных чисел.
• Используя уравнение класса можно доказать, что центр любой нетривиальной конечной p-группы нетривиален.
• Если факторгруппа $G/Z(G)$$G/Z(G)$  является циклической, G является абелевой (так что G = Z(G), и $G/Z(G)$$G/Z(G)$  тривиальна).
• Факторгруппа $G/Z(G)$$G/Z(G)$  не изоморфна группе кватернионов $Q_8$$Q_8$ .

Центральные рядыПравить

Факторизация по центрам групп порождает последовательность групп, которая называется верхним центральным рядом^[en]:

$G_0=G\to <!--\; \to \; -->G_1=G_0/Z(G_0)\to <!--\; \to \; -->G_2=G_1/Z(G_1)\to <!--\; \to \; -->\cdots <!--\; \cdots \; -->$$G_0 = G \to G_1 = G_0/Z(G_0) \to G_2 = G_1/Z(G_1) \to \cdots$ 

Ядро отображения $G\to <!--\; \to \; -->G_i$$G \to G_i$  — это i-й центр группы G (второй центр, третий центр, и так далее), и они обозначаются $Z^i(G)$$Z^i(G)$ . Конкретно, $(i+1)$$(i+1)$ -й центр — это элементы, которые коммутируют со всеми элементами i-го центра. При этом можно определить нулевой центр группы как подгруппу из единицы. Верхний центральный ряд можно продолжить на трансфинитные числа с помощью трансфинитной индукции. Объединение всех центров ряда называется гиперцентром^[en].

Возрастающая последовательность подгрупп:

$1\le <!--\; \le \; -->Z(G)\le <!--\; \le \; -->Z^2(G)\le <!--\; \le \; -->\cdots <!--\; \cdots \; -->$$1 \leq Z(G) \leq Z^2(G) \leq \cdots$ 

стабилизируется на $i$$i$  (что означает, $Z^i(G)=Z^{i+1}(G)$$Z^i(G) = Z^{i+1}(G)$ ) тогда и только тогда, когда $G_i$$G_{i}$  не имеет центра.

ПримерыПравить

• Для группы без центра все центры ряда нулевые, что происходит в случае $Z^0(G)=Z^1(G)$$Z^0(G)=Z^1(G)$ .
• По лемме Грюна^[en] факторгруппа группы, совпадающей со своим коммутантом^[en], по её центру не имеет центра, поскольку все центры более высокого порядка равны центру. Это случай стабилизации $Z^1(G)=Z^2(G)$$Z^1(G)=Z^2(G)$ .

См. такжеПравить

• Центр (алгебра)^[en]
• Норма (теория групп)

СсылкиПравить

• Michiel Hazewinkel. Centre of a group, Encyclopedia of Mathematics. — Springer, 2011. — ISBN 978-1-55608-010-4.
• И. М. Виноградов. Центр // Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия (рус.). — 1977—1985.
• Мельников О. В., Ремесленников В. Н., Романьков В. А. . Глава II. Группы // Общая алгебра / Под общ. ред. Л. А. Скорнякова. — М.: Наука, 1990. — Т. 1. — С. 66—290. — 592 с. — (Справочная математическая библиотека). — 30 000 экз. — ISBN 5-02-014426-6.