Группа Пуанкаре

Гру́ппа Пуанкаре́ (неоднородная группа Лоренца) — группа движений пространства Минковского, совпадающая с группой всех вещественных преобразований 4-векторов $x=x^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}=\{x^0,x^1,x^2,x^3\}$$x=x^{\mu }=\{x^{0},x^{1},x^{2},x^{3}\}$ вида $x^{\prime \mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}={\mathrm{\Lambda <!--\; \Lambda \; -->}}_{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}{x}^{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}+a^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}$$x'^{\mu }=\Lambda _{\nu }^{\mu }x^{\nu }+a^{\mu }$, где $\mathrm{\Lambda <!--\; \Lambda \; -->}$$\Lambda$ — преобразование из группы Лоренца, $a^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}$$a^{\mu }$ — 4-вектор смещения (трансляции). Элемент группы Пуанкаре обычно записывается как $\{a,\mathrm{\Lambda <!--\; \Lambda \; -->}\}$$\{a,\Lambda \}$, а закон композиции имеет вид

$\{a_1,{\mathrm{\Lambda <!--\; \Lambda \; -->}}_1\}\{a_2,{\mathrm{\Lambda <!--\; \Lambda \; -->}}_2\}=\{a_1+{\mathrm{\Lambda <!--\; \Lambda \; -->}}_1{a}_2,{\mathrm{\Lambda <!--\; \Lambda \; -->}}_1{\mathrm{\Lambda <!--\; \Lambda \; -->}}_2\}.$$\{a_{1},\Lambda _{1}\}\{a_{2},\Lambda _{2}\}=\{a_{1}+\Lambda _{1}a_{2},\Lambda _{1}\Lambda _{2}\}.$

Группа Пуанкаре относится к классу линейных неоднородных групп, обозначается как $P$$P$ или $IO(1,3)$$IO(1,3)$ и играет важную роль в специальной теории относительности, являясь группой её глобальной симметрии. Математическая форма

• законов релятивистской кинематики,
• уравнений Максвелла в теории электромагнетизма,
• уравнения Дирака в теории электрона

остаётся инвариантной по отношению к преобразованиям Лоренца. Таким образом, группа Пуанкаре характеризует фундаментальную симметрию наиболее важных законов природы.

Группа была введена в 1905 году Анри Пуанкаре. Как и группа Лоренца, группа $P$$P$ имеет четыре компоненты связности, различаемые значениями $det\mathrm{\Lambda <!--\; \Lambda \; -->}$$\det \Lambda$ и знаком ${\mathrm{\Lambda <!--\; \Lambda \; -->}}_0^0$$\Lambda _{0}^{0}$. Это — неабелева, некомпактная и непростая группа Ли. Наиболее важной является компонента $P$$P$, у которой $det\mathrm{\Lambda <!--\; \Lambda \; -->}=1$$\det \Lambda =1$, ${\mathrm{\Lambda <!--\; \Lambda \; -->}}_0^0>0$$\Lambda _{0}^{0}>0$, содержащая тождественное преобразование.

Группа $P$$P$ — 10-параметрическая: к шести генераторам $M_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}$$M_{\mu \nu }$ группы Лоренца добавляются четыре генератора трансляций.