Бинарная операция

Бина́рная, или двуме́стная, опера́ция (от лат. bi «два») — математическая операция, принимающая два аргумента и возвращающая один результат (то есть операция с арностью два).

ОпределениеПравить

Пусть $A,B,C$$A,\;B,\;C$  — тройка непустых множеств. Бинарной операцией, или бинарной функцией, на паре $A,B$$A,\;B$  со значениями в $C$$C$  называется отображение $P:A\times <!--\; \times \; -->B\to <!--\; \to \; -->C$$P:A\times B\to C$ .

Пусть $A$$A$  — непустое множество. Бинарной операцией на множестве $A$$A$ , или внутренней бинарной операцией, называют отображение $P:A\times <!--\; \times \; -->A\to <!--\; \to \; -->A$$P:A\times A\to A$ .

Первое определение соответствует франкоязычной традиции, второе — англоязычной. Чаще всего рассматриваются именно внутренние бинарные операции.

Также имеется близкое понятие закона композиции, объединяющее внутренние бинарные операции $P:A\times <!--\; \times \; -->A\to <!--\; \to \; -->A$$P:A\times A\to A$  (внутренние законы композиции) с бинарными операциями вида $P:A\times <!--\; \times \; -->B\to <!--\; \to \; -->A$$P:A\times B\to A$  или $P:B\times <!--\; \times \; -->A\to <!--\; \to \; -->A$$P:B\times A\to A$  (внешними законами композиции).

ЗамечаниеПравить

Бинарную операцию принято обозначать знаком действия, который ставится между операндами (инфиксная форма записи). Например, для произвольной бинарной операции $\circ <!--\; \circ \; -->$$\circ$  результат её применения к двум элементам $x$$x$  и $y$$y$  записывается в виде $x\circ <!--\; \circ \; -->y$$x\circ y$ .

При этом, однако, используются другие формы записи бинарных операций, а именно:

• префиксная (польская запись) — $\circ <!--\; \circ \; -->xy$$\circ \,x\;y$ ;
• постфиксная (обратная польская запись) — $xy\circ <!--\; \circ \; -->$$x\;y\,\circ$ .

Типы бинарных операцийПравить

Коммутативная операцияПравить

Основная статья: Коммутативная операция

Бинарная операция $\circ <!--\; \circ \; -->$$\circ$  называется коммутативной, только когда её результат не зависит от перестановки операндов, то есть

$x\circ <!--\; \circ \; -->y=y\circ <!--\; \circ \; -->x,\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}x,y\in <!--\; \in \; -->M.$$x\circ y=y\circ x,\quad \forall x,\;y\in M.$ 

Ассоциативная операцияПравить

Основная статья: Ассоциативная операция

Бинарная операция $\circ <!--\; \circ \; -->$$\circ$  называется ассоциативной, только когда

$(x\circ <!--\; \circ \; -->y)\circ <!--\; \circ \; -->z=x\circ <!--\; \circ \; -->(y\circ <!--\; \circ \; -->z),\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}x,y,z\in <!--\; \in \; -->M.$$(x\circ y)\circ z=x\circ (y\circ z),\quad \forall x,\;y,\;z\in M.$ 

Для ассоциативной операции $\circ <!--\; \circ \; -->$$\circ$  результат вычисления $x_1\circ <!--\; \circ \; -->x_2\circ <!--\; \circ \; -->\dots <!--\; \dots \; -->\circ <!--\; \circ \; -->x_n$$x_{1}\circ x_{2}\circ \ldots \circ x_{n}$  не зависит от порядка вычисления (расстановки скобок), и потому позволяется опускать скобки в записи. Для неассоциативной операции выражение $x_1\circ <!--\; \circ \; -->x_2\circ <!--\; \circ \; -->\dots <!--\; \dots \; -->\circ <!--\; \circ \; -->x_n$$x_{1}\circ x_{2}\circ \ldots \circ x_{n}$  при $n>2$$n>2$  однозначно не определено.

Существует также более слабое, чем ассоциативность, свойство: альтернативность.

ПримерыПравить

Примерами бинарных операций могут служить сложение, умножение и вычитание на поле вещественных чисел. Сложение и умножение чисел являются коммутативными и ассоциативными операциями, а вычитание — нет.

ЗаписиПравить

Мультипликативная записьПравить

Если абстрактную бинарную операцию на $M$$M$  называют умноже́нием, то её результат для элементов $x,y\in <!--\; \in \; -->M$$x,\;y\in M$  называют их произведе́нием и обозначают $x\cdot <!--\; \cdot \; -->y$$x\cdot y$  или $xy$$xy$ . В этом случае нейтральный элемент $e\in <!--\; \in \; -->M$$e\in M$ , то есть элемент, удовлетворяющий равенствам

$x\cdot <!--\; \cdot \; -->e=e\cdot <!--\; \cdot \; -->x=x,\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}x\in <!--\; \in \; -->M,$$x\cdot e=e\cdot x=x,\quad \forall x\in M,$ 

называется едини́чным элеме́нтом относительно выбранной бинарной операции.

Аддитивная записьПравить

Если бинарную операцию называют сложе́нием, то образ пары элементов $x,y\in <!--\; \in \; -->M$$x,\;y\in M$  называют су́ммой и обозначают $x+y$$x+y$ . Обычно, если бинарную операцию называют сложением, то она предполагается коммутативной. Нейтральный элемент в аддитивной записи обозначают символом 0, называют нулевы́м элеме́нтом и пишут

$x+0=0+x=x,\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}x\in <!--\; \in \; -->M.$$x+0=0+x=x,\quad \forall x\in M.$ 

Обратная операцияПравить

Если операция обладает биективностью, то у неё существуют обратные операции. Для бинарной операции может быть до двух обратных операций (левая и правая), в случае коммутативной операции — они совпадают.

Теорема 1

Для любой бинарной операции существует не более одного нейтрального элемента, то есть два любых нейтральных элемента на самом деле оказываются совпадающими.

Доказательство

Пусть имеется два нейтральных элемента $e_1$$e_{{1}}$  и $e_2$$e_{{2}}$ . По определению нейтрального элемента, для любого элемента $x$$x$  должно выполняться:

$e_1\circ <!--\; \circ \; -->x=x\circ <!--\; \circ \; -->e_1=x,$$e_{1}\circ x=x\circ e_{1}=x,$ 

$e_2\circ <!--\; \circ \; -->x=x\circ <!--\; \circ \; -->e_2=x.$$e_{2}\circ x=x\circ e_{2}=x.$ 

Положим в первом из этих равенств $x=e_2$$x=e_{2}$ , а во втором $x=e_1$$x=e_{1}$ :

$e_1\circ <!--\; \circ \; -->e_2=e_2\circ <!--\; \circ \; -->e_1=e_2,$$e_{1}\circ e_{2}=e_{2}\circ e_{1}=e_{2},$ 

$e_2\circ <!--\; \circ \; -->e_1=e_1\circ <!--\; \circ \; -->e_2=e_1.$$e_{2}\circ e_{1}=e_{1}\circ e_{2}=e_{1}.$ 

Так как левые части этих равенств (после перестановки) равны, то равны и правые:

$e_1=e_2.$$e_{1}=e_{2}.$ ■

Теорема 2

Если бинарная операция ассоциативна, то для каждого элемента существует не более одного обратного.

Доказательство

Предположим, что у некоторого элемента $a$$a$  есть два обратных элемента $b_1$$b_{1}$  и $b_2$$b_{2}$ . По определению обратного элемента должны выполняться следующие равенства:

$a\circ <!--\; \circ \; -->b_1=b_1\circ <!--\; \circ \; -->a=e,$$a\circ b_{1}=b_{1}\circ a=e,$ 

$a\circ <!--\; \circ \; -->b_2=b_2\circ <!--\; \circ \; -->a=e.$$a\circ b_{2}=b_{2}\circ a=e.$ 

Рассмотрим выражение $b_1\circ <!--\; \circ \; -->\left(a\circ <!--\; \circ \; -->b_2\right)$$b_{1}\circ \left(a\circ b_{2}\right)$ . Так как $b_2$$b_{2}$  является обратным элементом к $a$$a$ , то имеет место следующее равенство

$b_1\circ <!--\; \circ \; -->\left(a\circ <!--\; \circ \; -->b_2\right)=b_1\circ <!--\; \circ \; -->e=b_1$$b_{1}\circ \left(a\circ b_{2}\right)=b_{1}\circ e=b_{1}$ .

С другой стороны, так как операция является ассоциативной, то

$b_1\circ <!--\; \circ \; -->\left(a\circ <!--\; \circ \; -->b_2\right)=\left(b_1\circ <!--\; \circ \; -->a\right)\circ <!--\; \circ \; -->b_2=e\circ <!--\; \circ \; -->b_2=b_2.$$b_{1}\circ \left(a\circ b_{2}\right)=\left(b_{1}\circ a\right)\circ b_{2}=e\circ b_{2}=b_{2}.$ 

Левые части последних двух равенств равны, — значит, равны и правые, то есть $b_1=b_2$$b_{1}=b_{2}$ , что и требовалось доказать. ■

См. такжеПравить

• Арность
• Унарная операция
• Тернарная операция

ЛитератураПравить

• Цыпкин А. Г. Справочник по математике для средних и учебных заведений. — М.: Наука, 1988. — 430 с. — ISBN 5-02-013792-8.