Фундаментальная группа

Фундамента́льная гру́ппа — определённая группа, которая сопоставляется топологическому пространству. Грубо говоря, эта группа измеряет количество «дырок» в пространстве. Наличие «дырки» определяется невозможностью непрерывно продеформировать ("стянуть") некоторую замкнутую кривую в точку.

Фундаментальная группа пространства $X$$X$ обычно обозначается ${\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}_1(X,x_0)$$\pi _{1}(X,x_{0})$ или ${\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}_1(X)$$\pi _{1}(X)$, последнее обозначение применимо для связных пространств. Тривиальность фундаментальной группы обычно записывается как ${\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}_1(X)=0$$\pi _{1}(X)=0$, хотя обозначение ${\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}_1(X)=\{1\}$$\pi _{1}(X)=\{1\}$ более уместно.

ОпределениеПравить

Пусть $X$$X$  — топологическое пространство с отмеченной точкой $x_0\in <!--\; \in \; -->X$$x_{0}\in X$ . Рассмотрим множество петель в $X$$X$  из $x_0$$x_{0}$ ; то есть множество непрерывных отображений $f:<!--\; :\; -->[0,1]\to <!--\; \to \; -->X$$f\colon [0,1]\to X$ , таких что $f(0)=x_0=f(1)$$f(0)=x_{0}=f(1)$ . Две петли $f$$f$  и $g$$g$  считаются эквивалентными, если они гомотопны друг другу в классе петель, то есть найдется соединяющая их гомотопия $f_t$$f_t$ , удовлетворяющая свойству $f_t(0)=x_0=f_t(1)$$f_{t}(0)=x_{0}=f_{t}(1)$ . Соответствующие классы эквивалентности (обозначаются $[f]$$[f]$ ) называются гомотопическими классами. Произведением двух петель называется петля, определяемая их последовательным прохождением:

$(f\ast <!--\; \ast \; -->g)(t)=\{\begin{array}{l}f(2t),t\in <!--\; \in \; -->[0,\frac{1}{2}]\\ g(2t-<!--\; -\; -->1),t\in <!--\; \in \; -->[\frac{1}{2},1]\end{array}$$(f*g)(t)={\begin{cases}f(2t),~t\in [0,{1 \over 2}]\\g(2t-1),~t\in [{1 \over 2},1]\end{cases}}$ 

Произведением двух гомотопических классов $[f]$$[f]$  и $[g]$$[g]$  называется гомотопический класс $[f\ast <!--\; \ast \; -->g]$$[f*g]$  произведения петель. Можно показать, что он не зависит от выбора петель в классах. Множество гомотопических классов петель с таким произведением становится группой. Эта группа и называется фундаментальной группой пространства $X$$X$  с отмеченной точкой $x_0$$x_{0}$  и обозначается ${\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}_1(X,x_0)$$\pi _{1}(X,x_{0})$ .

КомментарииПравить

• Про $(X,x_0)$$(X,x_{0})$  можно думать как о паре пространств $(X,\{x_0\})$$(X,\{x_{0}\})$ .
• Единицей группы является класс тождественной, или неподвижной петли, обратным элементом — класс петли, пройденной в обратном направлении.
• Если $X$$X$  — линейно связное пространство, то с точностью до изоморфизма фундаментальная группа не зависит от отмеченной точки. Поэтому для таких пространств можно писать ${\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}_1(X)$$\pi _{1}(X)$  вместо ${\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}_1(X,x_0)$$\pi _{1}(X,x_{0})$  не боясь вызвать путаницу. Однако для двух точек $x,y\in <!--\; \in \; -->X$$x,y\in X$  канонический изоморфизм между ${\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}_1(X,x)$$\pi _{1}(X,x)$  и ${\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}_1(X,y)$$\pi _{1}(X,y)$  существует лишь если фундаментальная группа абелева.

Связанные определенияПравить

• Каждое непрерывное отображение пунктированных пространств $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}:(X,x_0)\to <!--\; \to \; -->(Y,\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(x_0))$$\varphi :(X,x_{0})\to (Y,\varphi (x_{0}))$  индуцирует гомоморфизм ${\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_{\ast <!--\; \ast \; -->}={\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}_1\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}:{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}_1(X,x_0)\to <!--\; \to \; -->{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}_1(Y,\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(x_0))$$\varphi _{*}=\pi _{1}\varphi :\pi _{1}(X,x_{0})\to \pi _{1}(Y,\varphi (x_{0}))$ , определяемый формулой ${\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_{\ast <!--\; \ast \; -->}[f]=[\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}f]$$\varphi _{*}[f]=[\varphi f]$ . Таким образом, взятие фундаментальной группы вместе с описанной операцией образует функтор ${\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}_1:\mathbf{h}\mathbf{T}\mathbf{o}\mathbf{p}\to <!--\; \to \; -->\mathbf{G}\mathbf{r}\mathbf{p}$$\pi _{1}:{\mathbf {hTop}}\to {\mathbf {Grp}}$ .

• Пространство $X$$X$  называется односвязным, если оно линейно связно и группа ${\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}_1(X)$$\pi _{1}(X)$  тривиальна (состоит только из единицы).

ПримерыПравить

• В ${\mathbb{R}}^n$$\mathbb {R} ^{n}$  есть только один гомотопический класс петель. Следовательно, фундаментальная группа тривиальна, ${\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}_1({\mathbb{R}}^n)=0$$\pi _{1}(\mathbb {R} ^{n})=0$ . То же верно и для любого пространства — выпуклого подмножества ${\mathbb{R}}^n$$\mathbb {R} ^{n}$ .

• В окружности ${\mathbb{S}}^1$${\mathbb S}^{1}$ , каждый гомотопический класс состоит из петель, которые навиваются на окружность заданное число раз, которое может быть положительным или отрицательным в зависимости от направления. Следовательно, фундаментальная группа окружности изоморфна аддитивной группе целых чисел $\mathbb{Z}$$\mathbb {Z}$ .

• Фундаментальная группа $n$$n$ -мерной сферы ${\mathbb{S}}^n$${\mathbb S}^{n}$  тривиальна при всех $n\ge <!--\; \ge \; -->2$$n\geq 2$ .

• Фундаментальная группа восьмёрки ${\mathbb{S}}^1\vee <!--\; \vee \; -->{\mathbb{S}}^1$$\mathbb {S} ^{1}\vee \mathbb {S} ^{1}$  неабелева — это свободное произведение $\mathbb{Z}\ast <!--\; \ast \; -->\mathbb{Z}$$\mathbb {Z} *\mathbb {Z}$ . Справедлив более общий результат, следующий из теоремы ван Кампена: если $X$$X$  и $Y$$Y$  — линейно связные пространства и локально односвязны, то фундаментальная группа их букета (склейки по выделенной точке) изоморфна свободному произведению их фундаментальных групп: ${\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}_1(X\vee <!--\; \vee \; -->Y)\cong <!--\; \cong \; -->{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}_1(X)\ast <!--\; \ast \; -->{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}_1(Y).$$\pi _{1}(X\vee Y)\cong \pi _{1}(X)*\pi _{1}(Y).$ 

• Фундаментальная группа плоскости ${\mathbb{R}}^2$$\mathbb {R} ^{2}$  c $n$$n$  выколотыми точками — свободная группа с $n$$n$  порождающими.

• Фундаментальная группа ориентированной замкнутой поверхности рода $g$$g$  может быть задана образующими $a_1,\dots <!--\; \dots \; -->,a_g,b_1,\dots <!--\; \dots \; -->,b_g$$a_{1},\dots ,a_{g},b_{1},\dots ,b_{g}$  с единственным соотношением: $a_1{b}_1{a}_1^{-<!--\; -\; -->1}{b}_1^{-<!--\; -\; -->1}\dots <!--\; \dots \; -->a_g{b}_g{a}_g^{-<!--\; -\; -->1}{b}_g^{-<!--\; -\; -->1}=1$$a_{1}b_{1}a_{1}^{{-1}}b_{1}^{{-1}}\dots a_{g}b_{g}a_{g}^{{-1}}b_{g}^{{-1}}=1$ .

СвойстваПравить

• Фундаментальная группа пространства зависит только от его гомотопического типа.
  • Обратное верно для линейно связных асферических пространств; см. также K(G,n) пространство.

• Если $A$$A$  — ретракт $X$$X$ , содержащий отмеченную точку $x_0$$x_{0}$ , то гомоморфизм $i_{\ast <!--\; \ast \; -->}:{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}_1(A,x_0)\to <!--\; \to \; -->{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}_1(X,x_0)$$i_{*}:\pi _{1}(A,x_{0})\to \pi _{1}(X,x_{0})$ , индуцированный вложением $i:A\hookrightarrow <!--\; \hookrightarrow \; -->X$$i:A\hookrightarrow X$ , инъективен.
  • В частности, фундаментальная группа компоненты линейной связности $X$$X$ , содержащей отмеченную точку, изоморфна фундаментальной группе всего $X$$X$ .
  • Если $A$$A$  — строгий деформационный ретракт $X$$X$ , то $i_{\ast <!--\; \ast \; -->}:{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}_1(A,x_0)\to <!--\; \to \; -->{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}_1(X,x_0)$$i_{*}:\pi _{1}(A,x_{0})\to \pi _{1}(X,x_{0})$  является изоморфизмом.

• ${\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}_1$$\pi _{1}$  сохраняет произведение: для любой пары топологических пространств с отмеченными точками $(X,x_0)$$(X,x_{0})$  и $(Y,y_0)$$(Y,y_{0})$  существует изоморфизм

  ${\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}_1(X\times <!--\; \times \; -->Y,(x_0,y_0))\cong <!--\; \cong \; -->{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}_1(X,x_0)\times <!--\; \times \; -->{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}_1(Y,y_0),$$\pi _{1}(X\times Y,(x_{0},y_{0}))\cong \pi _{1}(X,x_{0})\times \pi _{1}(Y,y_{0}),$ 

естественный по $(X,x_0)$$(X,x_{0})$  и $(Y,y_0)$$(Y,y_{0})$ .

• Теорема ван Кампена: Если $X$$X$  — объединение линейно связных открытых множеств $A_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}$$A_{\alpha }$ , каждое из которых содержит отмеченную точку $x_0\in <!--\; \in \; -->X$$x_{0}\in X$ , и если каждое пересечение $A_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}\cap <!--\; \cap \; -->A_{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}$$A_{\alpha }\cap A_{\beta }$  линейно связно, то гомоморфизм $\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}:{\ast <!--\; \ast \; -->}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}_1(A_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}})\to <!--\; \to \; -->{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}_1(X)$$\Phi :\ast _{\alpha }\pi _{1}(A_{\alpha })\to \pi _{1}(X)$ , индуцированный вложениями $A_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}\hookrightarrow <!--\; \hookrightarrow \; -->X$$A_{\alpha }\hookrightarrow X$ , сюрьективен. Кроме того, если каждое пересечение $A_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}\cap <!--\; \cap \; -->A_{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}\cap <!--\; \cap \; -->A_{\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}$$A_{\alpha }\cap A_{\beta }\cap A_{\gamma }$  линейно связно, то ядро гомоморфизма $\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}$$\Phi$  — это наименьшая нормальная подгруппа $N$$N$ , содержащая все элементы вида $i_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->})i_{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}{)}^{-<!--\; -\; -->1}$$i_{{\alpha \beta }}(\omega )i_{{\beta \alpha }}(\omega )^{{-1}}$  (где $i_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}$$i_{{\alpha \beta }}$  индуцирован вложением $A_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}\cap <!--\; \cap \; -->A_{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}\hookrightarrow <!--\; \hookrightarrow \; -->A_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}$$A_{\alpha }\cap A_{\beta }\hookrightarrow A_{\alpha }$ ), а потому $\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}$$\Phi$  индуцирует изоморфизм ${\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}_1(x)\cong <!--\; \cong \; -->{\ast <!--\; \ast \; -->}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}_1(A_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}})/N$$\pi _{1}(x)\cong \ast _{\alpha }\pi _{1}(A_{\alpha })/N$  (первая теорема об изоморфизме). В частности,
  • ${\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}_1$$\pi _{1}$  сохраняет копроизведения: ${\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}_1(\underset{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{\bigvee <!--\; \bigvee \; -->}{X}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}})\cong <!--\; \cong \; -->{\ast <!--\; \ast \; -->}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}_1(X_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}})$$\pi _{1}(\bigvee _{\alpha }X_{\alpha })\cong \ast _{\alpha }\pi _{1}(X_{\alpha })$  естественно по всем $X_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}$$X_{\alpha }$ .
  • (случай двух $A_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}$$A_{\alpha }$ ): условие для тройных пересечений становится излишним, и получается, что ${\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}_1(A_1\cup <!--\; \cup \; -->A_2)\cong <!--\; \cong \; -->{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}_1(A_1){\ast <!--\; \ast \; -->}_{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}(A_1\cap <!--\; \cap \; -->A_2)}{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}_1(A_2)$$\pi _{1}(A_{1}\cup A_{2})\cong \pi _{1}(A_{1}){\mathbin {\ast _{{\pi (A_{1}\cap A_{2})}}}}\pi _{1}(A_{2})$ , что является ограниченной (случаем линейно связного $A_1\cap <!--\; \cap \; -->A_2$$A_{1}\cap A_{2}$ ) формой сохранения толчков.

• Фундаментальная группа топологической группы абелева, как демонстрирует аргумент Экманна-Хилтона.

• Свободные группы и только они могут быть реализованы как фундаментальные группы графов (действительно, стягивание остовного дерева в точку реализует гомотопическую эквивалентность графа и букета окружностей, также можно применить теорему ван Кампена).

• Произвольная группа может быть реализована как фундаментальная группа двумерного клеточного комплекса.

• Произвольная конечно заданная группа может быть реализована как фундаментальная группа замкнутого 4-мерного многообразия.

• Фундаментальная группа пространства действует сдвигами на универсальном накрытии этого пространства (если универсальное накрытие определено).

Вариации и обобщенияПравить

• Фундаментальная группа является первой из гомотопических групп.
• Фундаментальным группоидом пространства $X$$X$  называют группоид $\mathrm{\Pi <!--\; \Pi \; -->}(X)$$\Pi (X)$ , объектами которого являются точки $X$$X$ , а морфизмами — гомотопические классы путей с композицией путей. При этом ${\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}_1(X,x_0)\cong <!--\; \cong \; -->{\mathrm{Aut}}_{\mathrm{\Pi <!--\; \Pi \; -->}(X)}<!--\; \; -->x_0$$\pi _{1}(X,x_{0})\cong \operatorname {Aut}_{{\Pi (X)}}x_{0}$ , и если $X$$X$  линейно связно, то вложение ${\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}_1(X,x_0)\hookrightarrow <!--\; \hookrightarrow \; -->\mathrm{\Pi <!--\; \Pi \; -->}(X)$$\pi _{1}(X,x_{0})\hookrightarrow \Pi (X)$  является эквивалентностью категорий.

ЛитератураПравить

• Васильев В. А. Введение в топологию. — М.: ФАЗИС, 1997. — 132 с. — ISBN 5-7036-0036-7.
• Матвеев С. В. Фундаментальная группа: Лекции по курсу «Топология». — Челябинск: ЧелГУ, 2001. — 16 с. (есть pdf)
• Фоменко Анатолий Тимофеевич. Дифференциальная геометрия и топология (доп. главы). — R&C dinamic, 1999. — 250 с.