Нейтральный элемент

Запрос «Единичный элемент» перенаправляется сюда; про элемент «1» в кольцах и алгебрах см. единица (алгебра).

Нейтра́льный элеме́нт бинарной операции — элемент, который оставляет любой другой элемент неизменным при применении этой бинарной операции к этим двум элементам.

ОпределениеПравить

Пусть $(M,\cdot <!--\; \cdot \; -->)$$(M,\cdot )$  — множество $M$$M$  с определённой на нём бинарной операцией «$\cdot <!--\; \cdot \; -->$$\cdot$ ». Элемент $e\in <!--\; \in \; -->M$$e\in M$  называется нейтральным относительно $\cdot <!--\; \cdot \; -->$$\cdot$  (умножения), если

$x\cdot <!--\; \cdot \; -->e=e\cdot <!--\; \cdot \; -->x=x,\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}x\in <!--\; \in \; -->M$$x\cdot e=e\cdot x=x,\quad \forall x\in M$ .

В случаях некоммутативных операций, вводят левый нейтральный элемент $e_{\mathrm{l}}$$e_{\mathrm {l} }$ , для которого

$e_{\mathrm{l}}\cdot <!--\; \cdot \; -->x=x,\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}x\in <!--\; \in \; -->M$$e_{\mathrm {l} }\cdot x=x,\quad \forall x\in M$ ,

и правый нейтральный элемент $e_{\mathrm{r}}$$e_{\mathrm {r} }$ , для которого

$x\cdot <!--\; \cdot \; -->e_{\mathrm{r}}=x,\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}x\in <!--\; \in \; -->M$$x\cdot e_{\mathrm {r} }=x,\quad \forall x\in M$ .

В общем случае может существовать произвольное количество элементов, нейтральных слева или справа. Если одновременно существуют и нейтральный слева элемент $e_{\mathrm{l}}$$e_{{{\mathrm l}}}$ , и нейтральный справа элемент $e_{\mathrm{r}}$$e_{{{\mathrm r}}}$ , то они обязаны совпадать (так как $e_{\mathrm{r}}=e_{\mathrm{l}}\cdot <!--\; \cdot \; -->e_{\mathrm{r}}=e_{\mathrm{l}}$$e_{{{\mathrm r}}}=e_{{{\mathrm l}}}\cdot e_{{{\mathrm r}}}=e_{{{\mathrm l}}}$ ).

ПримерыПравить

Множество	Бинарная операция	Нейтральный элемент
Вещественные числа	$+$$+$  (сложение)	число 0
Вещественные числа	$\cdot <!--\; \cdot \; -->$$\cdot$  (умножение)	число 1
Вещественные числа	$-<!--\; -\; -->$$-$  (вычитание)	число 0 (нейтральный справа)
Вещественные числа	$a^b$$a^{b}$  (возведение в степень)	число 1 (нейтральный справа)
Расширенная числовая прямая	$÷<!--\; ÷\; -->$$\div$  (деление)	число 1 (нейтральный справа)
Векторное пространство	$+$$+$  (сложение векторов)	$\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{0}$${\vec 0}$  (нуль-вектор)
Матрицы размера $m\times <!--\; \times \; -->n$$m\times n$	$+$$+$  (матричное сложение)	нулевая матрица
Матрицы размера $n\times <!--\; \times \; -->n$$n\times n$	$\times <!--\; \times \; -->$$\times$  (матричное произведение)	единичная матрица
Функции вида $f:M\to <!--\; \to \; -->M$$f:M\to M$	$\circ <!--\; \circ \; -->$$\circ$  (композиция функций)	тождественное отображение
Символьные строки	конкатенация	пустая строка
Расширенная числовая прямая	$min$$\min$  (минимум) или $inf$$\inf$  (инфимум)	$+\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$+\infty$
Расширенная числовая прямая	$max$$\max$  (максимум) или $sup$$\sup$  (супремум)	$-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$-\infty$
Подмножества множества $M$$M$	$\cap <!--\; \cap \; -->$$\cap$  (пересечение множеств)	$M$$M$
Множества	$\cup <!--\; \cup \; -->$$\cup$  (объединение множеств)	$\mathrm{\varnothing <!--\; \varnothing \; -->}$$\varnothing$  (пустое множество)
Исчисление высказываний	$\wedge <!--\; \wedge \; -->$$\wedge$  (конъюнкция)	$\mathrm{\top <!--\; \top \; -->}$$\top$  (истина)
Исчисление высказываний	$\vee <!--\; \vee \; -->$$\lor$  (дизъюнкция)	$\mathrm{\perp <!--\; \perp \; -->}$$\bot$  (ложь)

ТерминологияПравить

В алгебреПравить

В приведённой в определении мультипликативной нотации нейтральный элемент принято называть единичным элементом или просто единицей по аналогии с одноимённым числом. См. статью «единица (алгебра)» о двусторонних нейтральных элементах умножения в кольцах, полях, и алгебрах над ними.

Если речь идёт о нейтральном элементе операции, обозначаемой (и называемой) сложением, то нейтральный элемент называют нулём, опять-таки по аналогии с одноимённым числом. Сложением называют не только операцию в теории колец и линейной алгебре, но, обычно, и групповую операцию в абелевых группах в аддитивной нотации.

В теории решётокПравить

В теории решёток нейтральный элемент операции «∨» обозначается «0», а нейтральный элемент операции «∧» обозначается «1».

См. такжеПравить

• Поглощающий элемент
• Обратный элемент
• Моноид
• Группа

СсылкиПравить

• Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел: Учеб. пособие для педагогических институтов. — М.: Высш. школа, 1979. — 559 с. стр 77 "Нейтральные элементы"
• http://www.algebraical.info/doku.php?id=glossary:element:groupoid:identity  (рус.)
• http://mathforum.org/library/drmath/view/56032.html  (рус.)
• https://brilliant.org/wiki/identity-element/  (англ.)
• Weisstein, Eric W. "Identity Element." From MathWorld--A Wolfram Web Resource (англ.)