Специальная унитарная группа

Специальная унитарная группа — группа унитарных матриц заданного порядка с определителем, равным 1, и произведением матриц как групповой операцией; для матриц размером $n\times <!--\; \times \; -->n$$n\times n$ обозначается $\mathrm{S}\mathrm{U}(n)$${\mathrm {SU}}(n)$.

Специальная унитарная группа является подгруппой унитарной группы $\mathrm{U}(n)$${\mathrm U}(n)$, состоящей из всех унитарных матриц $n\times <!--\; \times \; -->n$$n\times n$.

ГенераторыПравить

SU(2)Править

Для группы $\mathrm{S}\mathrm{U}(2)$${\mathrm {SU}}(2)$  генераторы известны как матрицы Паули:

00

$\sigma _{1}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}$

$\sigma _{2}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}$

$\sigma _{3}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}$

SU(3)Править

Аналогом матриц Паули для $\mathrm{S}\mathrm{U}(3)$${\mathrm {SU}}(3)$  служат тензоры Гелл-Манна:

00	$\lambda _{1}={\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}$	$\lambda _{2}={\begin{pmatrix}0&-i&0\\i&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}$	$\lambda _{3}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&0\end{pmatrix}}$
00	$\lambda _{4}={\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\1&0&0\end{pmatrix}}$	$\lambda _{5}={\begin{pmatrix}0&0&-i\\0&0&0\\i&0&0\end{pmatrix}}$	$\lambda _{6}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}}$
00	$\lambda _{7}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&-i\\0&i&0\end{pmatrix}}$	$\lambda _{8}={\frac {1}{{\sqrt {3}}}}{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-2\end{pmatrix}}$

Генераторы для $\mathrm{S}\mathrm{U}(3)$${\mathrm {SU}}(3)$  определяются как $T$$T$  с использованием соотношения:

$T_a=\frac{{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_a}{2}$$T_{a}={\frac {\lambda _{a}}{2}}$ .

Они подчиняются следующим соотношениям:

• $\left[T_a,T_b\right]=i\underset{c=1}{\overset{8}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{f}_{abc}{T}_c$$\left[T_{a},T_{b}\right]=i\sum _{{c=1}}^{8}{f_{{abc}}T_{c}}$ , где $f$$f$  — структурная константа, значения которой равны:

$f_{123}=1$$f_{{123}}=1$ ,

$f_{147}=f_{165}=f_{246}=f_{257}=f_{345}=f_{376}=\frac{1}{2}$$f_{{147}}=f_{{165}}=f_{{246}}=f_{{257}}=f_{{345}}=f_{{376}}={\frac {1}{2}}$ ,

$f_{458}=f_{678}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$f_{458}=f_{678}={\frac {\sqrt {3}}{2}}$ ;

• $\mathrm{tr}<!--\; \; -->(T_a)=0$$\operatorname {tr}(T_{a})=0$ .

SU(4)Править

Эрмитовы матрицы генераторы для $\mathrm{S}\mathrm{U}(4)$${\mathrm {SU}}(4)$ , аналогичные матрицам Паули и матрицам Гелл-Манна, имеют вид:

00	$\lambda _{1}={\begin{pmatrix}0&1&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}}$	$\lambda _{2}={\begin{pmatrix}0&-i&0&0\\i&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}}$	$\lambda _{3}={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}}$
00	$\lambda _{4}={\begin{pmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}}$	$\lambda _{5}={\begin{pmatrix}0&0&-i&0\\0&0&0&0\\i&0&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}}$	$\lambda _{6}={\begin{pmatrix}0&0&0&0\\0&0&1&0\\0&1&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}}$
00	$\lambda _{7}={\begin{pmatrix}0&0&0&0\\0&0&-i&0\\0&i&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}}$	$\lambda _{8}={\frac {1}{{\sqrt {3}}}}{\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&-2&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}}$	$\lambda _{9}={\begin{pmatrix}0&0&0&1\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\end{pmatrix}}$
00	$\lambda _{{10}}={\begin{pmatrix}0&0&0&-i\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\i&0&0&0\end{pmatrix}}$	$\lambda _{{11}}={\begin{pmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0\\0&1&0&0\end{pmatrix}}$	$\lambda _{{12}}={\begin{pmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&-i\\0&0&0&0\\0&i&0&0\end{pmatrix}}$
00	$\lambda _{{13}}={\begin{pmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&1\\0&0&1&0\end{pmatrix}}$	$\lambda _{{14}}={\begin{pmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&-i\\0&0&i&0\end{pmatrix}}$	$\lambda _{{15}}={\frac {1}{{\sqrt {6}}}}{\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&-3\end{pmatrix}}$

Эти матрицы ортогональны, а также удовлетворяют выражению для следа:

$Tr({\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_k^2)=2;k=\mathrm{1..15}$$Tr{(\lambda _{k}^{2})}=2;k=1..15$ 

и тождеству Якоби:

$[[\lambda _{l},\lambda _{k}],\lambda _{j}]+[[\lambda _{k},\lambda _{j}],\lambda _{l}]+[[\lambda _{j},\lambda _{l}],\lambda _{k}]=0;j<k<l;j,k,l=1..15$ 

При этом коммутатор вычисляется как:

$[{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_j,{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_k]=2i\underset{m}{\sum <!--\; \sum \; -->}{f}_{jkl}{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_l$$[\lambda _{j},\lambda _{k}]=2i\sum _{m}f_{{jkl}}\lambda _{l}$ 

Таблица структурных констант $f_{jkl}$$f_{{jkl}}$ 

$f_{1,2,3}=1$$f_{{1,2,3}}=1$ 

$f_{1,4,7}=f_{2,4,6}=f_{2,5,7}=f_{3,4,5}=f_{1,9,12}=f_{2,9,11}=f_{2,10,12}=f_{3,9,10}=f_{4,9,14}=f_{5,10,14}=f_{6,11,14}=f_{7,11,13}=f_{7,12,14}=\frac{1}{2}$$f_{{1,4,7}}=f_{{2,4,6}}=f_{{2,5,7}}=f_{{3,4,5}}=f_{{1,9,12}}=f_{{2,9,11}}=f_{{2,10,12}}=f_{{3,9,10}}=f_{{4,9,14}}=f_{{5,10,14}}=f_{{6,11,14}}=f_{{7,11,13}}=f_{{7,12,14}}={\frac 12}$ 

$f_{1,5,6}=f_{3,6,7}=f_{1,10,11}=f_{3,11,12}=f_{4,10,13}=f_{6,12,13}=-<!--\; -\; -->\frac{1}{2}$$f_{{1,5,6}}=f_{{3,6,7}}=f_{{1,10,11}}=f_{{3,11,12}}=f_{{4,10,13}}=f_{{6,12,13}}=-{\frac 12}$ 

$f_{4,5,8}=f_{6,7,8}=f_{8,9,10}=f_{8,11,12}=f_{9,10,15}=f_{11,12,15}=f_{13,14,15}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$f_{{4,5,8}}=f_{{6,7,8}}=f_{{8,9,10}}=f_{{8,11,12}}=f_{{9,10,15}}=f_{{11,12,15}}=f_{{13,14,15}}={\frac {{\sqrt {3}}}2}$ 

$f_{8,13,14}=-<!--\; -\; -->\frac{\sqrt{3}}{2}$$f_{{8,13,14}}=-{\frac {{\sqrt {3}}}2}$ 

ЛитератураПравить

• Halzen, Francis; Martin, Alan. Quarks & Leptons: An Introductory Course in Modern Particle Physics (англ.). — John Wiley & Sons, 1984. — ISBN 0-471-88741-2.
• Займан Дж. Современная квантовая теория. — М.: Мир, 1971. — 288 с.
• Исаев А. П., Рубаков В. А.  Теория групп и симметрий. Конечные группы. Группы и алгебры Ли. — М.: УРСС, 2018. — 491 с.

СсылкиПравить

• Physics 558 — Lecture 1, Winter 2003

См. такжеПравить

• Специальная ортогональная группа