Унитарная группа

Унитарной группой (обозн. $U(n)$$U(n)$) называется подгруппа группы $GL(n,\mathbb{C})$$GL(n,\mathbb{C})$ невырожденных линейных преобразований пространства ${\mathbb{C}}^n,$$\mathbb{C}^n,$ состоящая из так называемых унитарных линейных преобразований, то есть преобразований, сохраняющих эрмитово скалярное произведение в пространстве ${\mathbb{C}}^n.$$\mathbb{C}^n.$

А именно, если $⟨<!--\; ⟨\; -->x,y⟩<!--\; ⟩\; -->$$\langle x,y \rangle$ — эрмитово скалярное произведение, то линейное преобразование $A:{\mathbb{C}}^n\to <!--\; \to \; -->{\mathbb{C}}^n$$A: \mathbb{C}^n\to \mathbb{C}^n$ унитарное, если

$\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}x,y\in <!--\; \in \; -->{\mathbb{C}}^n⟨<!--\; ⟨\; -->A(x),A(y)⟩<!--\; ⟩\; -->=⟨<!--\; ⟨\; -->x,y⟩<!--\; ⟩\; -->.$$\forall x,y\in \mathbb {C} ^{n}\quad \langle A(x),A(y)\rangle =\langle x,y\rangle .$

СвойстваПравить

• Определитель унитарного преобразования — комплексное число, по модулю равное $1$$1$ . Унитарные преобразования с определителем $1$$1$  образуют подгруппу специальных унитарных преобразований $SU(n)$$SU(n)$  в $U(n).$$U(n).$ 

Вариации и обобщенияПравить

• Если вместо эрмитова скалярного произведения взять произведение

  $⟨<!--\; ⟨\; -->x,y⟩<!--\; ⟩\; -->=x_1{\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{y}}_1+\cdots <!--\; \cdots \; -->+x_p{\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{y}}_p-<!--\; -\; -->x_{p+1}{\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{y}}_{p+1}-<!--\; -\; -->\cdots <!--\; \cdots \; -->-<!--\; -\; -->x_{p+q}{\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{y}}_{p+q},$$\langle x,y\rangle=x_1\bar y_1+\dots+x_p\bar y_p-x_{p+1}\bar y_{p+1}-\dots-x_{p+q}\bar y_{p+q},$ 

то полученная группа обозначается $U(p,q)$$U(p,q)$ 

ЛитератураПравить

• Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре, — Любое издание.
• Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия (методы и приложения), — Любое издание.
• Мищенко А. С., Фоменко А. Т. Курс дифференциальной геометрии и топологии, — Факториал, Москва, 2000.
• Постников М. М. Линейная алгебра и дифференциальная геометрия, — Любое издание.

См. такжеПравить

• U(1)