Свободное произведение

О свободных материалах см. Свободный контент.

Свободным произведением групп называется группа, порождённая элементами этих двух групп, без каких-либо дополнительных соотношений.

Граф Кэли свободного произведения ${\mathbb{Z}}_2\ast <!--\; \ast \; -->{\mathbb{Z}}_3$$\mathbb {Z} _{2}*\mathbb {Z} _{3}$.

Свободное произведение $G_1$$G_{1}$ и $G_2$$G_{2}$ обычно обозначается $G_1\ast <!--\; \ast \; -->G_2$$G_{1}*G_{2}$.

ОпределенияПравить

• Если группы заданы через порождающие и соотношения $G_1=⟨<!--\; ⟨\; -->S_1|R_1⟩<!--\; ⟩\; -->$$G_{1}=\langle S_{1}|R_{1}\rangle$ , $G_2=⟨<!--\; ⟨\; -->S_2|R_2⟩<!--\; ⟩\; -->$$G_{2}=\langle S_{2}|R_{2}\rangle$  то

  $G_1\ast <!--\; \ast \; -->G_2=⟨<!--\; ⟨\; -->S_1\cup <!--\; \cup \; -->S_2|R_1\cup <!--\; \cup \; -->R_2⟩<!--\; ⟩\; -->$$G_{1}*G_{2}=\langle S_{1}\cup S_{2}|R_{1}\cup R_{2}\rangle$ 

  • Это определение также допускает естественное обобщение на случай свободного произведения любого числа групп.

• Свободное произведение $G_1\ast <!--\; \ast \; -->G_2$$G_{1}*G_{2}$  можно также определить как расслоенное копроизведение $G_1{⨿<!--\; ⨿\; -->}_{\{e\}}{G}_2$$G_{1}\amalg _{\{e\}}G_{2}$  для тривиальной группы $\{e\}$$\{e\}$  в категории групп.

ПримерыПравить

• Свободное произведение ${\mathbb{Z}}_2\ast <!--\; \ast \; -->{\mathbb{Z}}_2$$\mathbb {Z} _{2}*\mathbb {Z} _{2}$  изоморфно бесконечной группе диэдра $D_{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}$$D_{\infty }$ .
• Свободное произведение ${\mathbb{Z}}_2\ast <!--\; \ast \; -->{\mathbb{Z}}_3$$\mathbb {Z} _{2}*\mathbb {Z} _{3}$  изоморфно проективной группе $PSL(2,\mathbb{Z})$$PSL(2,\mathbb {Z} )$ .
• Свободное произведение $n$$n$  копий $\mathbb{Z}$$\mathbb {Z}$  — свободная группа с $n$$n$  образующими.
• Теорема Зейферта — ван Кампена в частности утверждает, что если $X$$X$  — топологическое пространство, и $V,U\subset <!--\; \subset \; -->X$$V,U\subset X$  — два связных открытых множества таких, что пересечение $W=V\cap <!--\; \cap \; -->U$$W=V\cap U$  односвязно, и $X=V\cup <!--\; \cup \; -->U$$X=V\cup U$ , то фундаментальная группа $X$$X$  есть свободное произведение фундаментальных групп $V$$V$  и $U$$U$ ; то есть

  ${\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}_{1}X={\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}_{1}V\ast <!--\; \ast \; -->{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}_{1}U.$$\pi _{1}X=\pi _{1}V*\pi _{1}U.$ 

ЛитератураПравить

• Каргаполов М. И., Мерзляков Ю. И. Основы теории групп. М.: Наука, 1982.
• Кострикин А. И. Введение в алгебру. М.: Наука, 1977.
• Курош А. Г. Теория групп. (3-е изд.). М.: Наука, 1967.
• Холл М. Теория групп. М.: Издательство иностранной литературы, 1962.