Ортогональная группа

Ортогональная группа — группа всех линейных преобразований $n$$n$-мерного векторного пространства $V$$V$ над полем $k$$k$, сохраняющих фиксированную невырожденную квадратичную форму $Q$$Q$ на $V$$V$ (то есть таких линейных преобразований $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}$$\varphi$, что $Q(\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(v))=Q(v)$$Q(\varphi(v))=Q(v)$ для любого $v\in <!--\; \in \; -->V$$v\in V$).

Обозначения и связанные определенияПравить

• Элементы ортогональной группы называются ортогональными (относительно $Q$$Q$ ) преобразованиями $V$$V$ , а также автоморфизмами формы $Q$$Q$  (точнее, автоморфизмами пространства $V$$V$  относительно формы $Q$$Q$ ).
• Обозначается $O_n$$O_{n}$ , $O_n(k)$$O_n(k)$ , $O_n(Q)$$O_n(Q)$  и т. п. Когда квадратичная форма не указана явно, то подразумевается форма, задаваемая суммой квадратов координат, то есть выражающаяся единичной матрицей.
• Над полем действительных чисел, ортогональная группа незнакоопределённой формы с сигнатурой ($l$$l$  плюсов, $m$$m$  минусов) где $n=l+m$$n = l + m$ , обозначается $O(l,m)$$O(l,m)$ , см. напр. O(1,3).

СвойстваПравить

• В случае, если характеристика основного поля не равна двум, то с $Q$$Q$  связана невырожденная симметрическая билинейная форма $F$$F$  на $V$$V$ , определенная формулой

  $F(u,v)=\frac{Q(u+v)-<!--\; -\; -->Q(u)-<!--\; -\; -->Q(v)}{2}.$$F(u,\;v)={\frac {Q(u+v)-Q(u)-Q(v)}{2}}.$ 

Тогда ортогональная группа состоит в точности из тех линейных преобразований пространства $V$$V$ , которые сохраняют $F$$F$ , и обозначается через $O_n(k,F)$$O_n(k,\;F)$  или (когда ясно о каком поле $k$$k$  и форме $F$$F$  идёт речь) просто через $O_n$$O_{n}$ .

• Если $B$$B$  — матрица формы $F$$F$  в неком базисе пространства $V$$V$ , то ортогональная группа может быть отождествлена с группой всех таких матриц $A$$A$  с коэффициентами в $k$$k$ , что

  $A^{T}BA=B.$$A^TBA=B.$ 

  В частности, если базис таков, что $Q$$Q$  является суммой квадратов координат (то есть, матрица $B$$B$  единична), то такие матрицы $A$$A$  называются ортогональными.

• Над полем вещественных чисел, группа $O_n(\mathbb{R},V)$$O_n({\mathbb R},\;V)$  компактна тогда и только тогда, когда форма $Q$$Q$  знакоопределена.
  • В этом случае любой элемент из $O_n(\mathbb{R})$$O_{n}({\mathbb {R} })$ , для подходящего базиаса представляется как блочно-диагональная матрица

    ${\begin{bmatrix}{\begin{matrix}R_{1}&&\\&\ddots &\\&&R_{k}\end{matrix}}&0\\0&{\begin{matrix}\pm 1&&\\&\ddots &\\&&\pm 1\end{matrix}}\\\end{bmatrix}}$ 

где R₁, ..., R_k — 2х2 матрицы поворотов; теорема вращения Эйлера является частным случем этого утверждения.

Другие группыПравить

Ортогональная группа является подгруппой полной линейной группы GL($n$$n$ ). Элементы ортогональной группы, определитель которых равен 1 (это свойство не зависит от базиса), образуют подгруппу — специальную ортогональную группу $SO(n,Q)$$SO(n,Q)$ , обозначаемую так же, как и ортогональная группа, но с добавлением буквы «S». $SO(n,Q)$$SO(n,Q)$ , по построению, является также подгруппой специальной линейной группы $SL(n)$$SL(n)$ .

См. такжеПравить

• SO(8)

СсылкиПравить

• Orthogonal group

• Исаев А. П., Рубаков В. А. Теория групп и симметрий. Конечные группы. Группы и алгебры Ли. Изд-во URSS. 2018. 491 с