Ряд Фурье

Ряд Фурье́ — представление функции $f$$f$ с периодом $\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}$$\tau$ в виде ряда

Результаты добавления членов ряда Фурье при аппроксимации разрывной кусочно-постоянной функции. Выбросы на фронтах обусловлены неравномерной сходимостью ряда Фурье в точках разрыва (явление Гиббса^[en]).

$f(x)=\frac{a_0}{2}+\underset{k=1}{\overset{+\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{A}_k\cos <!--\; \; -->\left(k\frac{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}x+{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}_k\right)$$f(x)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum \limits _{k=1}^{+\infty }A_{k}\cos \left(k{\frac {2\pi }{\tau }}x+\theta _{k}\right)$

Этот ряд может быть также записан в виде

$f(x)=\underset{k=-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\overset{+\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{f}}_k{e}^{ik\frac{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}x},$$f(x)=\sum \limits _{k=-\infty }^{+\infty }{\hat {f}}_{k}e^{ik{\frac {2\pi }{\tau }}x},$

где

$A_k$$A_k$ — амплитуда $k$$k$-го гармонического колебания,

$k\frac{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}=k\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}$$k{\frac {2\pi }{\tau }}=k\omega$ — круговая частота гармонического колебания,

${\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}_k$$\theta_k$ — начальная фаза $k$$k$-го колебания,

${\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{f}}_k$$\hat{f}_k$ — $k$$k$-я комплексная амплитуда

В более общем виде, рядом Фурье элемента некоторого пространства функций называется разложение этого элемента по полной системе ортонормированных функций или другими словами по базису, состоящему из ортогональных функций. В зависимости от используемого вида интегрирования говорят о рядах Фурье — Римана, Фурье — Лебега и т. п.

Существует множество систем ортогональных многочленов и других ортогональных функций (например, функции Хаара, Уолша и Котельникова), по которым может быть произведено разложение функции в ряд Фурье.

Разложение функции в ряд Фурье является мощным инструментом при решении самых разных задач благодаря тому, что ряд Фурье прозрачным образом ведёт себя при дифференцировании, интегрировании, сдвиге функции по аргументу и свёртке функций.

Существуют многочисленные обобщения рядов Фурье в различных разделах математики. Например, любую функцию на конечной группе можно разложить в ряд, аналогичный ряду Фурье, по матричным элементам неприводимых представлений этой группы (теорема полноты).

ИсторияПравить

Ряд Фурье назван в честь французского математика Жана-Батиста Жозефа Фурье (1768—1830), внесшего важный вклад в изучение тригонометрических рядов после предварительных исследований Леонарда Эйлера, Жана Лерона д’Аламбера и Даниила Бернулли. Фурье представил ряд с целью решения уравнения теплопроводности в металлической пластине, написав свои первоначальные результаты в своем «Воспоминании о распространении тепла в твердых телах» («Трактат о распространении тепла в твердых телах») и опубликовав в Аналитической теории тепла (Théorie analytique de la chaleur) в 1822 году. В Воспоминании приведен анализ Фурье, в частности ряд Фурье. Благодаря исследованиям Фурье был установлен факт того, что произвольная (непрерывная) функция может быть представлена ​​тригонометрическим рядом. Первое объявление об этом великом открытии было сделано Фурье в 1807 году перед Французской академией. Ранние идеи разложения периодической функции на сумму простых осциллирующих функций относятся к 3 веку до нашей эры, когда древние астрономы предложили эмпирическую модель движения планет, основанную на семействах и эпициклах.

Уравнение теплопроводности является уравнением в частных производных. До работы Фурье в общем случае не было известно решение уравнения теплопроводности, хотя были известны конкретные решения, если бы источник тепла вел себя простым образом, в частности, если источником тепла была волна синуса или косинуса. Эти простые решения теперь иногда называют собственными решениями. Идея Фурье состояла в том, чтобы смоделировать сложный источник тепла как суперпозицию (или линейную комбинацию) простых синусоидальных и косинусных волн и записать решение как суперпозицию соответствующих собственных решений. Эта суперпозиция или линейная комбинация называется рядом Фурье.

С современной точки зрения, результаты Фурье несколько неформальны из-за отсутствия точного понятия функции и интеграла в начале девятнадцатого века. Позднее Петер Густав Лежён Дирихле и Бернхард Риман выразили результаты Фурье с большей точностью и формальностью.

Хотя первоначальной мотивацией было решение уравнения теплопроводности, позже стало очевидно, что те же методы можно применять к широкому кругу математических и физических задач, особенно тех, которые включают линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами, для которых собственные решения являются синусоидами. Ряд Фурье имеет много применений в области электротехники, вибрации анализа, акустики, оптики, обработки сигналов, обработки изображений, квантовой механики, эконометрики, теории перекрытия-оболочки и т. д.

Тригонометрический ряд ФурьеПравить

Основная статья: Тригонометрический ряд Фурье

Тригонометрическим рядом Фурье функции $f\in <!--\; \in \; -->\mathcal{L}([-<!--\; -\; -->\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->},\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}])$$f\in {\mathcal {L}}([-\pi ,\pi ])$  (то есть функции, суммируемой на промежутке $([-<!--\; -\; -->\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->},\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}])$$([-\pi ,\pi ])$ , или её периодического продолжения на вещественную прямую) называют функциональный ряд вида

$f(x)=\frac{a_0}{2}+\underset{n=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}(a_n\cos <!--\; \; -->nx+b_n\sin <!--\; \; -->nx),$$f(x)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_{n}\cos nx+b_{n}\sin nx),$  (1)

где

$a_0=\frac{1}{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}\underset{-<!--\; -\; -->\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{\overset{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}}f(x)dx,$$a_0= \frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)dx,$ 

$a_n=\frac{1}{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}\underset{-<!--\; -\; -->\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{\overset{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}}f(x)\cos <!--\; \; -->(nx)dx,$$a_n= \frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx)dx,$ 

$b_n=\frac{1}{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}\underset{-<!--\; -\; -->\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{\overset{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}}f(x)\sin <!--\; \; -->(nx)dx,$$b_n= \frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx)dx,$ 

Числа $a_0$$a_{0}$ , $a_n$$a_n$  и $b_n$$b_n$  ($n=1,2,\dots <!--\; \dots \; -->$$n = 1, 2, \ldots$ ) называются коэффициентами Фурье функции $f$$f$ . Формулы для них можно объяснить следующим образом. Предположим, что мы хотим представить функцию $f\in <!--\; \in \; -->\mathcal{L}([-<!--\; -\; -->\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->},\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}])$$f\in {\mathcal {L}}([-\pi ,\pi ])$  в виде ряда (1) и нам надо определить неизвестные коэффициенты $a_0$$a_{0}$ , $a_n$$a_n$  и $b_n$$b_n$ . Если умножить правую часть (1) на $\cos <!--\; \; -->(kx)$$\cos(kx)$  и проинтегрировать по промежутку $[-<!--\; -\; -->\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->},\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}]$$[-\pi,\pi]$ , то все слагаемые в правой части, благодаря ортогональности синусов и косинусов на этом промежутке, обратятся в нуль, кроме одного. Из полученного равенства легко выражается коэффициент $a_k$$a_{k}$ . Аналогично для $b_k$$b_{k}$ .

Ряд (1) для функции $f$$f$  из пространства ${\mathcal{L}}_2([-<!--\; -\; -->\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->},\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}])$${\mathcal {L}}_{2}([-\pi ,\pi ])$  сходится в этом пространстве. Иными словами, если обозначить через $S_k(x)$$S_k(x)$  частичные суммы ряда (1):

$S_k(x)=\frac{a_0}{2}+\underset{n=1}{\overset{k}{\sum <!--\; \sum \; -->}}(a_n\cos <!--\; \; -->nx+b_n\sin <!--\; \; -->nx)$$S_k(x)=\frac{a_0}{2} + \sum^{k}_{n=1} (a_n \cos nx + b_n \sin nx)$ ,

то их среднеквадратичное отклонение от функции $f$$f$  будет стремиться к нулю:

$\underset{k\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}\underset{-<!--\; -\; -->\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{\overset{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}}(f(x)-<!--\; -\; -->S_k(x){)}^{2}dx=0$$\lim\limits_{k\rightarrow \infty}\int\limits_{-\pi}^{\pi}(f(x)-S_k(x))^2dx=0$ .

Несмотря на среднеквадратичную сходимость, ряд Фурье функции, вообще говоря, не обязан сходиться к ней поточечно.

Часто при работе с рядами Фурье бывает удобнее в качестве базиса использовать вместо синусов и косинусов экспоненты мнимого аргумента. Мы рассматриваем пространство ${\mathcal{L}}^2([-<!--\; -\; -->\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->},\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}],\mathbb{C})$${\mathcal {L}}^{2}([-\pi ,\pi ],\mathbb {C} )$  комплекснозначных функций со скалярным произведением

$⟨<!--\; ⟨\; -->f,g⟩<!--\; ⟩\; -->:=\underset{-<!--\; -\; -->\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{\overset{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}}f(x)\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{g(x)}dx$$\langle f,g\rangle := \int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)\overline{g(x)}dx$ .

Мы также рассматриваем систему функций

${\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_k(x)=e^{ikx}=\cos <!--\; \; -->(kx)+i\sin <!--\; \; -->(kx),k\in <!--\; \in \; -->\mathbb{Z}$$\varphi_k(x)=e^{ikx}=\cos(kx)+i\sin(kx), k\in\mathbb{Z}$ .

Как и прежде, эти функции являются попарно ортогональными и образуют полную систему, и, таким образом, любая функция $f\in <!--\; \in \; -->{\mathcal{L}}^2([-<!--\; -\; -->\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->},\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}],\mathbb{C})$$f\in {\mathcal {L}}^{2}([-\pi ,\pi ],\mathbb {C} )$  может быть разложена по ним в ряд Фурье:

$f(x)=\underset{k=-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\overset{+\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{f}}_k{e}^{ikx}$$f(x) = \sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty} \hat{f}_k e^{ikx}$ ,

где ряд в правой части сходится к $f$$f$  по норме в $L^2([-<!--\; -\; -->\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->},\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}],\mathbb{C})$$L^2([-\pi,\pi],\mathbb{C})$ . Здесь

${\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{f}}_k=\frac{1}{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}\underset{-<!--\; -\; -->\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{\overset{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}}f(x)e^{-<!--\; -\; -->ikx}dx$$\hat{f}_k= \frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)e^{-ikx}dx$ .

Коэффициенты ${\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{f}}_k$$\hat{f}_k$  связаны с классическими коэффициентами Фурье следующими соотношениями:

${\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{f}}_k=(a_k-<!--\; -\; -->i{b}_k)/2,k>0$$\hat{f}_k = (a_k-ib_k)/2, k>0$ 

${\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{f}}_0=a_0/2$$\hat{f}_0 = a_0/2$ 

$\hat{f}_k = (a_{|k|}+ib_{|k|})/2, k<0$ 

$a_k={\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{f}}_k+{\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{f}}_{-<!--\; -\; -->k},k>0$$a_k = \hat{f}_k+\hat{f}_{-k}, k>0$ 

$b_k=i({\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{f}}_k-<!--\; -\; -->{\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{f}}_{-<!--\; -\; -->k}),k>0$$b_k = i(\hat{f}_k-\hat{f}_{-k}), k>0$ 

Для вещественнозначной функции коэффициенты ${\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{f}}_k$$\hat{f}_k$  и ${\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{f}}_{-<!--\; -\; -->k}$$\hat{f}_{-k}$  комплексно сопряжены.

ОбобщенияПравить

Ряды Фурье в гильбертовом пространствеПравить

Описанную выше конструкцию можно обобщить со случая пространства $L^2[-<!--\; -\; -->\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->},\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}]$$L^2[-\pi,\pi]$  с тригонометрической системой на произвольное гильбертово пространство. Пусть даны ортогональная система $\{{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_1,{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_2,...,{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_n,...\}$$\{\varphi_1, \varphi_2, ..., \varphi_n, ...\}$  в гильбертовом пространстве $H$$H$  и $f$$f$  — произвольный элемент из $H$$H$ . Предположим, что мы хотим представить $f$$f$  в виде (бесконечной) линейной комбинации элементов $\{{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_k\}$$\{\varphi_k\}$ :

$f=\underset{n=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{c}_n{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_n.$$f=\sum _{n=1}^{\infty }c_{n}\varphi _{n}.$ 

Домножим это выражение на ${\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_k$$\varphi_k$ . С учётом ортогональности системы функций $\{{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_k\}$$\{\varphi_k\}$  все слагаемые ряда обращаются в ноль, кроме слагаемого при $n=k$$n=k$ :

$(f,{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_k)=c_k\Vert <!--\; \Vert \; -->{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_k{\Vert <!--\; \Vert \; -->}^2.$$(f,\varphi _{k})=c_{k}\|\varphi _{k}\|^{2}.$ 

Числа

$c_k=\frac{(f,{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_k)}{\Vert <!--\; \Vert \; -->{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_k{\Vert <!--\; \Vert \; -->}^2}$$c_{k}={\frac {(f,\varphi _{k})}{\|\varphi _{k}\|^{2}}}$ 

называются координатами, или коэффициентами Фурье элемента $f$$f$  по системе $\{{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_k\}$$\{\varphi_k\}$ , а ряд

$\underset{k}{\sum <!--\; \sum \; -->}{c}_k{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_k$$\sum_k c_k \varphi_k$ 

называется рядом Фурье элемента $f$$f$  по ортогональной системе $\{{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_k\}$$\{\varphi_k\}$ .

Ряд Фурье любого элемента $f$$f$  по любой ортогональной системе сходится в пространстве $H$$H$ , но его сумма не обязательно равна $f$$f$ . Для ортонормированной системы ${\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_k$${\varphi_k}$  в сепарабельном гильбертовом пространстве следующие условия эквивалентны:

• система является базисом, то есть сумма ряда Фурье любого элемента равна этому элементу.
• система является полной, то есть в $H$$H$  не существует ненулевого элемента, ортогонального всем элементам ${\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_1,{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_2,...,{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_n,...$$\varphi_1, \varphi_2, ..., \varphi_n, ...$  одновременно.
• система является замкнутой, то есть для любого $f\in <!--\; \in \; -->H$$f\in H$  выполнено равенство Парсеваля

$\underset{k=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}|c_k{|}^2=\Vert <!--\; \Vert \; -->f{\Vert <!--\; \Vert \; -->}^2$$\sum _{k=1}^{\infty }|c_{k}|^{2}=\|f\|^{2}$ .

• линейные комбинации элементов ${\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_1,{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_2,...,{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_n,...$$\varphi_1, \varphi_2, ..., \varphi_n, ...$  плотны в пространстве $H$$H$ .

Если эти условия не выполняются, то сумма ряда Фурье элемента $f$$f$  равна его ортогональной проекции на замыкание линейной оболочки элементов ${\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_1,{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_2,...,{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_n,...$$\varphi_1, \varphi_2, ..., \varphi_n, ...$ . В этом случае вместо равенства Парсеваля справедливо неравенство Бесселя:

$\underset{k=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{c}_k^2⩽<!--\; ⩽\; -->\Vert <!--\; \Vert \; -->f{\Vert <!--\; \Vert \; -->}^2.$$\sum _{k=1}^{\infty }c_{k}^{2}\leqslant \|f\|^{2}.$ 

Примеры

Тригонометрические функции $\sin <!--\; \; -->(kx)$$\sin(kx)$ , $\cos <!--\; \; -->(kx)$$\cos(kx)$  образуют базис гильбертова пространства $L_2[-<!--\; -\; -->\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->},\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}]$$L_2[-\pi,\pi]$ . Если мы рассмотрим только косинусы или только синусы, то такая система больше не будет полной. Замыкание линейной оболочки функций $\cos <!--\; \; -->(kx)$$\cos(kx)$  - это все четные функции из $L_2$$L_{2}$ , а замыкание линейной оболочки функций $\sin <!--\; \; -->(kx)$$\sin(kx)$  - все нечетные функции. Результатом разложения функции $f$$f$  в ряды Фурье по этим системам будут соответственно четная и нечетная части функции $f$$f$ :

$\underset{0}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{a}_k\cos <!--\; \; -->(kx)=\frac{f(x)+f(-<!--\; -\; -->x)}{2},$$\sum \limits _{0}^{n}a_{k}\cos(kx)={\frac {f(x)+f(-x)}{2}},$ 

$\underset{1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{b}_k\sin <!--\; \; -->(kx)=\frac{f(x)-<!--\; -\; -->f(-<!--\; -\; -->x)}{2}.$$\sum \limits _{1}^{n}b_{k}\sin(kx)={\frac {f(x)-f(-x)}{2}}.$ 

Еще более интересная ситуация возникает при рассмотрении системы $\{e^{ikx}{\}}_{k=0}^{+\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}$$\{e^{ikx}\}_{k=0}^{+\infty}$ . Эта система вновь не будет полной. Замыкание её линейной оболочки — пространство Харди $H_2$$H_2$ . Элементы этого пространства -- те и только те функции $f\in <!--\; \in \; -->L_2$$f\in L_2$ , которые имеют вид $f(t)=g(e^{it})$$f(t)=g(e^{it})$ , где $g$$g$  — граничные значения некоторой функции, аналитической в круге $|z|<1.$ 

Двойственность ПонтрягинаПравить

Основная статья: Двойственность Понтрягина

При обобщении теории рядов Фурье на случай гильбертовых пространств теряются свойства, выражающие связь рядов Фурье со свёрткой — то, что коэффициенты Фурье свертки функций являются почленными произведениями их коэффициентов Фурье, и наоборот, коэффициенты Фурье произведения представляются сверткой коэффициентов Фурье сомножителей. Эти свойства являются ключевыми для приложений теории Фурье к решению дифференциальных, интегральных и других функциональных уравнений. Поэтому большой интерес представляют такие обобщения теории рядов Фурье, при которых эти свойства сохраняются. Таким обобщением является теория двойственности Понтрягина. Она рассматривает функции, заданные на локально-компактных абелевых группах. Аналогом ряда Фурье такой функции будет функция, заданная на двойственной группе.

Сходимость ряда ФурьеПравить

 

Сходимость ряда Фурье

Обзор результатов о сходимости ряда ФурьеПравить

Обозначим через $S_N(f,x)$$S_N(f,x)$  частичные суммы ряда Фурье функции $f(x)$$f(x)$ :

$S_N(f,x):=\underset{k=-<!--\; -\; -->N}{\overset{N}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{f}}_k{e}^{ikx}$$S_N(f,x):=\sum\limits_{k=-N}^N\hat{f}_ke^{ikx}$ .

Далее обсуждается сходимость последовательности функций $S_N(f,x)$$S_N(f,x)$  к функции $f(x)$$f(x)$  в различных смыслах. Функция $f$$f$  предполагается $2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$2\pi$ -периодической (если она задана только на промежутке $[-<!--\; -\; -->\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->},\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}]$$[-\pi,\pi]$ , её можно периодически продолжить).

• Если $f\in <!--\; \in \; -->L_2([-<!--\; -\; -->\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->},\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}])$$f\in L_2([-\pi,\pi])$ , то последовательность $S_N(f,x)$$S_N(f,x)$  сходится к функции $f(x)$$f(x)$  в смысле $L_2$$L_{2}$ . Кроме того, $S_N(f,x)$$S_N(f,x)$  являются наилучшим (в смысле расстояния в $L_2$$L_{2}$ ) приближением функции $f$$f$  тригонометрическим многочленом степени не выше $N$$N$ .
• Сходимость ряда Фурье в заданной точке $x_0$$x_{0}$  — локальное свойство, то есть, если функции $f$$f$  и $g$$g$  совпадают в некоторой окрестности $x_0$$x_{0}$ , то последовательности $S_N(f,x_0)$$S_N(f,x_0)$  и $S_N(g,x_0)$$S_N(g,x_0)$  либо одновременно расходятся, либо одновременно сходятся, и в этом случае их пределы совпадают. (Принцип локализации).
• Если функция $f$$f$  дифференцируема в точке $x_0$$x_{0}$ , то её ряд Фурье в этой точке сходится к $f(x_0)$$f(x_{0})$ . Более точные достаточные условия в терминах гладкости функции $f$$f$  задаются признаком Дини.
• Функция, непрерывная в точке $x_0$$x_{0}$ , может иметь расходящийся в ней ряд Фурье. Однако, если он сходится, то непременно к $f(x_0)$$f(x_{0})$ . Это следует из того, что для непрерывной в $x_0$$x_{0}$  функции $f$$f$  последовательность $S_N(f,x_0)$$S_N(f,x_0)$  сходится по Чезаро к $f(x_0)$$f(x_{0})$ .
• Если функция $f$$f$  разрывна в точке $x_0$$x_{0}$ , но имеет пределы в этой точке справа и слева $f(x_0+0)\ne <!--\; \ne \; -->f(x_0-<!--\; -\; -->0),$$f(x_{0}+0)\neq f(x_{0}-0),$  то при некоторых дополнительных условиях $S_N(f,x_0)$$S_N(f,x_0)$  сходятся к $(f(x_0+0)+f(x_0-<!--\; -\; -->0))/2$$(f(x_0+0)+f(x_0-0))/2$ . Подробнее см. модифицированный признак Дини.
• Теорема Карлесона: если $f\in <!--\; \in \; -->L_2([-<!--\; -\; -->\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->},\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}])$$f\in L_2([-\pi,\pi])$ , то её ряд Фурье сходится к ней почти всюду. Это верно и если $f\in <!--\; \in \; -->L_p([-<!--\; -\; -->\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->},\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}]),p>1$$f\in L_p([-\pi,\pi]), p>1$ . Однако, существуют функции из $L_1([-<!--\; -\; -->\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->},\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}])$$L_1([-\pi,\pi])$ , ряд Фурье которых расходится во всех точках (пример такой функции построен Колмогоровым).
• Зафиксируем точку $x_0\in <!--\; \in \; -->(-<!--\; -\; -->\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->},\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->})$$x_0\in(-\pi,\pi)$ . Тогда множество всех непрерывных функций, ряд Фурье которых сходится в этой точке, является множеством первой категории в пространстве $C([-<!--\; -\; -->\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->},\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}])$$C([-\pi,\pi])$ . В некотором смысле это означает, что «типичная» непрерывная функция имеет расходящийся ряд Фурье.

Убывание коэффициентов Фурье и аналитичность функцииПравить

Существует фундаментальная связь между аналитичностью функции и скоростью убывания её коэффициентов Фурье. Чем «лучше» функция, тем быстрее её коэффициенты стремятся к нулю, и наоборот. Степенное убывание коэффициентов Фурье присуще функциям класса $C^{(k)}$$C^{(k)}$ , а экспоненциальное — аналитическим функциям. Примеры такого рода связи:

• Коэффициенты Фурье любой интегрируемой функции стремятся к нулю (лемма Римана — Лебега^[en]).
• Если функция $f$$f$  принадлежит классу $C^{(k)}([-<!--\; -\; -->\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->},\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}])$$C^{(k)}([-\pi,\pi])$ , то есть дифференцируема $k$$k$  раз и её $k$$k$ -я производная непрерывна, то ${\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{f}}_n=o\left(\frac{1}{n^k}\right)$$\hat{f}_n=o\left(\frac{1}{n^k}\right)$ 
• Если ряд $\sum <!--\; \sum \; -->n^{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{f}}_n$$\sum n^{\alpha}\hat{f}_n$  сходится абсолютно, то $f$$f$  совпадает почти всюду с функцией класса $C^{(k)}([-<!--\; -\; -->\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->},\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}])$$C^{(k)}([-\pi,\pi])$  при всех $k<\alpha$ .
• Если функция принадлежит классу Гёльдера с показателем $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}>1/2$$\alpha>1/2$ , то ряд $\sum <!--\; \sum \; -->{\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{f}}_n$$\sum \hat{f}_n$  сходится абсолютно (теорема Бернштейна).

См. такжеПравить

• Преобразование Фурье
• Быстрое преобразование Фурье
• Тригонометрический ряд
• Признак Жордана
• Признак Дини
• Числовой ряд
• АТС-теорема
• Натуральный звукоряд
• Явление Гиббса^[en]

ЛитератураПравить

• Жук В. В., Натансон Г. И. Тригонометрические ряды Фурье и элементы теории аппроксимации. — Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1983. — 188 с.
• Рудин У. Основы математического анализа. — 1976.
• Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления для ВТУЗов. — М.: «Наука», 1964. — Т. 2.
• Зигмунд А. Тригонометрические ряды. — М.: «Мир», 1965. — Т. 1.
• Харди Г. Х., Рогозинский В. В.^ru_en. Ряды Фурье. — М.: Физматгиз, 1959.

СсылкиПравить

• Представление периодических сигналов. Ряд Фурье  (неопр.).
• Некоторые свойства разложения периодических сигналов в ряд Фурье  (неопр.).