Категория Бэра

Категория Бэра — один из способов различать «большие» и «маленькие» множества. Подмножество топологического пространства может быть первой или второй категории Бэра.

Названа в честь французского математика Рене-Луи Бэра.

ОпределенияПравить

• Топологические пространства, допускающие счётное покрытие нигде не плотными подмножествами, относятся к пространствам первой категории Бэра, не допускающие такого покрытия — к пространствам второй категории Бэра.
• Подмножество топологического пространства $X$$X$ , которое можно представить в виде счётного объединения нигде не плотных в $X$$X$  множеств, называется множеством первой категории Бэра в пространстве $X$$X$ .
• Множество, которое нельзя представить в таком виде, называется множеством второй категории Бэра в пространстве $X$$X$ .
• Топологическое пространство, в котором любое множество первой категории не содержит внутренних точек, называется пространством Бэра.

СвойстваПравить

Для целей анализа удобно, когда рассматриваемое пространство относится ко второй категории Бэра, так как отнесение к этой категории равносильно справедливости теорем существования, таких как:

1. Если пространство второй категории Бэра покрыто счётным семейством замкнутых множеств, то хотя бы одно из них имеет внутреннюю точку (теорема существования внутренней точки).
2. В пространстве второй категории Бэра всякое счётное семейство открытых всюду плотных множеств имеет непустое пересечение (теорема существования общей точки).

Если всё-таки пространство относится к первой категории Бэра, из этого можно получить лишь результаты отрицательного характера — например, всякая метрика на этом пространстве, совместимая с топологией, неполна, а замыкание любого (непустого) открытого подмножества некомпактно. По этой причине, например, пространство многочленов неполно в любой метрике, в которой оно является топологическим векторным пространством (счётномерное векторное пространство во всякой векторной топологии относится к первой категории Бэра).

Применение категорий Бэра к подмножествам заданного топологического пространства имеет смысл, если объемлющее пространство относится ко второй категории Бэра (иначе все подмножества будут первой категории в данном пространстве). Грубо говоря, множества первой категории считаются «маленькими» («тощими»), а второй — «большими» («тучными»).

В этом смысле понятие категории напоминает понятие меры, однако в отличие от меры, категория подмножества зависит только от топологии объемлющего пространства.

Это делает удобным её применение в пространствах без естественно определённой меры. Например, используя категорию, можно придать точный смысл таким понятиям, как «почти все компактные выпуклые подмножества евклидова пространства».

Теорема БэраПравить

Теорема. Полные метрические пространства и локально компактные хаусдорфовы пространства относятся к пространствам второй категории Бэра.

Для доказательства достаточно показать, что всякое счётное семейство открытых всюду плотных множеств $G_k(k=1,2,\dots <!--\; \dots \; -->)$$G_{k}\;(k=1,\;2,\;\ldots )$  имеет непустое пересечение.

В случае полного метрического пространства индуктивно строится последовательность шаров $B_k$$B_{k}$  такая, что при каждом $k$$k$  ${\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{B}}_{k+1}\subset <!--\; \subset \; -->B_k\cap <!--\; \cap \; -->G_k$${\bar {B}}_{k+1}\subset B_{k}\cap G_{k}$  и радиус шара $B_k$$B_{k}$  был бы меньше, чем $2^{-<!--\; -\; -->k}$$2^{-k}$ . Последовательность стягивающихся замкнутых шаров имеет непустое пересечение в силу полноты пространства, и общая точка этих шаров будет общей и для множеств $G_k$$G_{k}$ .

В случае локально компактного хаусдорфова пространства индуктивно строится последовательность открытых множеств $B_k$$B_{k}$  такая, что при каждом $k$$k$  ${\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{B}}_{k+1}\subset <!--\; \subset \; -->B_k\cap <!--\; \cap \; -->G_k$${\bar {B}}_{k+1}\subset B_{k}\cap G_{k}$  и замыкание множества $B_k$$B_{k}$  компактно. Тогда последовательность множеств ${\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{B}}_k$${\bar {B}}_{k}$  образует центрированную систему замкнутых подмножеств в компактном хаусдорфовом пространстве ${\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{B}}_1$${\bar {B}}_{1}$  и потому имеет непустое пересечение.

Пример. В качестве приложения категорий Бэра, можно показать, что множество иррациональных точек $\mathbb{R}\setminus <!--\; \setminus \; -->\mathbb{Q}$$\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q}$  не может быть множеством всех точек разрыва никакой функции на числовой прямой. Множество всех точек разрыва любой функции $f$$f$  на $\mathbb{R}$$\mathbb {R}$  является счётным объединением замкнутых множеств $E_n$$E_{n}$ , состоящих из тех точек, в которых колебание функции $f$$f$  не меньше, чем $1/n$$1/n$ . Если бы искомая функция существовала, множества $E_n$$E_{n}$  были бы нигде не плотными, так как их объединение не имеет внутренних точек. Из этого получалось бы, что множество $\mathbb{R}\setminus <!--\; \setminus \; -->\mathbb{Q}$$\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q}$  первой категории в $\mathbb{R}$$\mathbb {R}$ , а так как его дополнение тоже имеет первую категорию, то и всё пространство $\mathbb{R}$$\mathbb {R}$  было бы первой категории, что противоречит его полноте.

См. такжеПравить

G-дельта-множество

СсылкиПравить

• Окстоби Дж. Мера и категория. — Перев. с англ. — М.: Мир, 1974. — 157 с.