Ортогональные многочлены

В математике последовательностью ортогональных многочленов называют бесконечную последовательность действительных многочленов

Пафнутий Львович Чебышёв

$p_0(x),p_1(x),p_2(x),\dots <!--\; \dots \; -->$$p_{0}(x),\ p_{1}(x),\ p_{2}(x),\ \ldots$,

где каждый многочлен $p_n(x)$$p_n(x)$ имеет степень $n$$n$, а также любые два различных многочлена этой последовательности ортогональны друг другу в смысле некоторого скалярного произведения, заданного в пространстве $L^2$$L^{2}$.

Понятие ортогональных многочленов было введено в конце XIX в. в работах Чебышёва П. Л. по непрерывным дробям и позднее развито Марковым А. А. и Стилтьесом Т. И. и нашло различные применения во многих областях математики и физики.

ОпределениеПравить

Ортогональность с весомПравить

Пусть $(a,b)$$(a,b)$  — промежуток на вещественной оси (конечный или бесконечный). Этот промежуток называется интервалом ортогональности. Пусть

$w:(a,b)\to <!--\; \to \; -->\mathbb{R}$$w : ~(a,b) \to \mathbb{R}$ 

заданная непрерывная, строго положительная внутри промежутка $(a,b)$$(a,b)$  функция. Такая функция называется весовой или просто весом. Функция $w(x)$$w(x)$  связана с пространством функций $L_2$$L_{{2}}$ , для которых сходится интеграл

$\int_{a}^{b} \left[f(x)\right]^2 w(x) \; dx < \infty$ .

В полученном пространстве можно ввести скалярное произведение по формуле

$⟨<!--\; ⟨\; -->f,g⟩<!--\; ⟩\; -->={\int <!--\; \int \; -->}_a^{b}f(x)g(x)w(x)dx$$\langle f, g \rangle = \int_{a}^{b} f(x) g(x) w(x) \; dx$  для вещественных функций,

$⟨<!--\; ⟨\; -->f,g⟩<!--\; ⟩\; -->={\int <!--\; \int \; -->}_a^{b}f(x)\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{g(x)}w(x)dx$$\langle f, g \rangle = \int_{a}^{b} f(x) \overline{g(x)} w(x) \; dx$  для комплекснозначных функций.

Если скалярное произведение двух функций равно нулю $⟨<!--\; ⟨\; -->f,g⟩<!--\; ⟩\; -->=0$$\langle f,g\rangle =0$ , то такие функции называются ортогональными с весом $w(x)$$w(x)$ . Как правило, среди ортогональных полиномов рассматриваются только вещественные функции.

Классическая формулировкаПравить

Систему многочленов

$p_0(x),p_1(x),\cdots <!--\; \cdots \; -->,p_n(x),\cdots <!--\; \cdots \; -->$$p_{0}(x),p_{1}(x),\cdots ,p_{n}(x),\cdots$ 

называют ортогональной, если

1. $p_n(x)$$p_n(x)$  — многочлен степени $n$$n$ ,
2. $⟨<!--\; ⟨\; -->p_m,p_n⟩<!--\; ⟩\; -->={\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}_{mn}{h}_n$$\langle p_m,p_n \rangle = \delta_{mn} h_{n}$ , где ${\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}_{mn}$$\delta _{{mn}}$  — символ Кронекера, $h_n$$h_{{n}}$  — нормировочный множитель.

Ортогональный базис называется ортонормированным, если все его элементы имеют единичную норму $||p_n||=h_n=1$$||p_n||=h_n=1$ . Некоторые классические многочлены, представленные ниже, могут быть нормированы по какому-либо другому правилу. Для таких многочленов значения $h_n$$h_{n}$  отличаются от единицы и указаны в таблице внизу.

Общие свойства последовательностей ортогональных многочленовПравить

Рекуррентные соотношенияПравить

Любые ортогональные полиномы удовлетворяют следующей рекуррентной формуле, связывающей три последовательных многочлена из системы:

$p_{n+1}(x)=(A_{n}x+B_n)p_n(x)-<!--\; -\; -->C_n{p}_{n-<!--\; -\; -->1}(x),$${p_{n+1}(x)\ =\ (A_nx+B_n)\ p_n(x)\ -\ C_n\ p_{n-1}(x)},$ 

где

$A_n=\frac{k_{n+1}}{k_n},B_n=A_n\left(r_{n+1}-<!--\; -\; -->r_n\right),C_n=\frac{A_n{h}_n}{A_{n-<!--\; -\; -->1}{h}_{n-<!--\; -\; -->1}},$$A_n=\frac{k_{n+1}}{k_n},\quad B_n=A_n \left(r_{n+1}-r_n \right), \quad C_n= \frac {A_n h_n} {A_{n-1} h_{n-1}},$ 

$r_n=\frac{k_n^{\prime }}{k_n},h_n=⟨<!--\; ⟨\; -->p_n(x),p_n(x)⟩<!--\; ⟩\; -->$$r_n=\frac{k'_n}{k_n}, \quad h_n= \langle p_n(x),p_n(x) \rangle$ ,

$k_n$$k_n$  и $k_n^{\prime }$$k'_{n}$  — коэффициенты при членах $x^n$$x^n$  и $x^{n-<!--\; -\; -->1}$$x^{{n-1}}$  в полиноме $p_n(x).$$p_{n}(x).$ 

Эта формула остаётся справедливой и для $n=0$$n=0$ , если положить $p_{-<!--\; -\; -->1}(x)=0$$p_{-1}(x)=0$ .

Доказательство

Докажем, что для любого n существуют такие коэффициенты a, b и c, что выполняется последнее рекуррентное соотношение.

• Выберем a так, чтобы коэффициент при $x^{n+1}$$x^{n+1}$  в многочлене $p_{n+1}(x)$$p_{n+1}(x)$  занулялся

$ax{p}_n(x)-<!--\; -\; -->p_{n+1}(x)$$a\ x\ p_n(x)\ -\ p_{n+1}(x)$  — многочлен n-ой степени.

• Выберем b так, чтобы коэффициент при $x^n$$x^n$  в многочлене $p_{n+1}(x)$$p_{n+1}(x)$  занулялся

$(ax+b)p_n(x)-<!--\; -\; -->p_{n+1}(x)$$(ax+b)\ p_n(x)\ -\ p_{n+1}(x)$  - многочлен (n-1)-ой степени.

• Разложим многочлен в ряд (это возможно, так как система ортогональных многочленов полна)

$(ax+b)p_n(x)-<!--\; -\; -->p_{n+1}(x)=\underset{i=0}{\overset{n-<!--\; -\; -->1}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_i{p}_i(x)$$(ax+b)\ p_n(x)\ -\ p_{n+1}(x)\ =\ \sum_{i=0}^{n-1} {\lambda}_i p_i(x)$ 

• Полученное выражение умножим скалярно на $p_j(x)$$p_j(x)$  степени $j\le <!--\; \le \; -->n-<!--\; -\; -->1$$j\le n-1$ 

$a⟨<!--\; ⟨\; -->x{p}_n,p_j⟩<!--\; ⟩\; -->-<!--\; -\; -->b⟨<!--\; ⟨\; -->p_n,p_j⟩<!--\; ⟩\; -->=\underset{i=0}{\overset{n-<!--\; -\; -->1}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_i⟨<!--\; ⟨\; -->p_i,p_j⟩<!--\; ⟩\; -->$$a\ \langle x\ p_n, p_j \rangle - b\ \langle p_n, p_j\rangle\ =\ \sum_{i=0}^{n-1} {\lambda}_i \langle p_i, p_j \rangle$ 

Сократим выражение, используя ортогональность полиномов и перестановочное свойство скалярного произведения

$a⟨<!--\; ⟨\; -->p_n,x{p}_j⟩<!--\; ⟩\; -->={\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_j⟨<!--\; ⟨\; -->p_j,p_j⟩<!--\; ⟩\; -->$$a\ \langle p_n,\ xp_j \rangle\ =\ {\lambda}_j \langle p_j,\ p_j \rangle$ 

• Если $j < n-1$ , то многочлен $x{p}_j(x)$$xp_j(x)$  все ещё имеет степень меньше n и ортогонален к $p_n(x)$$p_n(x)$ . Следовательно, ${\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_j=0$$\lambda_j = 0$  для $j < n-1$ .

Таким образом, ненулевой коэффициент только для $j=n-<!--\; -\; -->1$$j = n-1$  и, положив $c={\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_{n-<!--\; -\; -->1}$$c = \lambda_{n-1}$ , получаем искомое соотношение

$p_{n+1}(x)=(ax+b)p_n(x)-<!--\; -\; -->c{p}_{n-<!--\; -\; -->1}(x)$$p_{n+1}(x)\ =\ (ax+b)\ p_n(x)\ -\ c\ p_{n-1}(x)$ .

Формула Кристоффеля-ДарбуПравить

$\underset{k=0}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{p_k(x)p_k(y)}{h_k}=\frac{k_n}{k_{n+1}{h}_n}\frac{p_{n+1}(x)p_n(y)-<!--\; -\; -->p_{n+1}(y)p_n(x)}{x-<!--\; -\; -->y}$$\sum_{k=0}^{n}\frac{p_k(x)p_k(y)}{h_k}=\frac{k_n}{k_{n+1}h_n}\frac{p_{n+1}(x)p_n(y)-p_{n+1}(y)p_n(x)}{x-y}$ ,

или при $y\to <!--\; \to \; -->x$$y \to x$ 

$\underset{k=0}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{h}_k^{-<!--\; -\; -->1}{\left[p_k(x)\right]}^2=\frac{k_n}{k_{n+1}{h}_n}\left[p_{n+1}^{\prime }(x)p_n(x)-<!--\; -\; -->p_{n+1}(x)p_n^{\prime }(x)\right]$$\sum_{k=0}^{n}h_k^{-1}\left[p_k(x)\right]^2=\frac{k_n}{k_{n+1}h_n}\left[p'_{n+1}(x)p_n(x)-p_{n+1}(x)p'_n(x)\right]$ 

Корни многочленовПравить

Все корни многочлена $p_n(x)$$p_n(x)$  являются простыми, вещественными и все расположены внутри интервала ортогональности $\left[a;b\right]$$\left[a;b\right]$ .

Доказательство

Предположим, что $p_n(x)$$p_n(x)$  внутри интервала ортогональности меняет знак лишь в $m<n$  точках. Тогда существует многочлен $s_m(x)$$s_{m}(x)$  степени $m$$m$ , такой, что $p_n(x)s_m(x)\ge <!--\; \ge \; -->0$$p_{n}(x)s_{m}(x)\geq 0$ . С другой стороны, многочлен $s_m(x)$$s_{m}(x)$  можно представить в виде линейной комбинации многочленов $p_0(x),p_1(x),\cdots <!--\; \cdots \; -->,p_m(x)$$p_{0}(x),p_{1}(x),\cdots ,p_{m}(x)$ , а значит $s_m(x)$$s_{m}(x)$  ортогонален $p_n(x)$$p_n(x)$ , то есть $⟨<!--\; ⟨\; -->p_n(x),s_m(x)⟩<!--\; ⟩\; -->=0$$\langle p_{n}(x),s_{m}(x)\rangle =0$ . Полученное противоречие и доказывает наше утверждение.

Между двумя последовательными корнями многочлена $p_n(x)$$p_n(x)$  расположен в точности один корень многочлена $p_{n+1}(x)$$p_{n+1}(x)$  и, по крайней мере, один корень многочлена $p_m(x)$$p_{m}(x)$ , при $m>n$$m>n$ .

Минимальность нормыПравить

Каждый многочлен $p_n(x)$$p_n(x)$  в ортогональной последовательности имеет минимальную норму среди всех многочленов $P_n(x)$$P_n(x)$  такой же степени и с таким же первым коэффициентом.

Доказательство

Для данного n любой многочлен p(x) степени n с таким же первым коэффициентом может быть представлен как

$p(x)=p_n(x)+\underset{i=0}{\overset{n-<!--\; -\; -->1}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_i{p}_i(x).$$p(x) = p_n(x) + \sum_{i=0}^{n-1} {\alpha}_i\ p_i(x).$ 

Используя ортогональность, квадратная норма p(x) удовлетворяет

$||p(x)|{|}^2=⟨<!--\; ⟨\; -->p(x),p(x)⟩<!--\; ⟩\; -->=||p_n(x)|{|}^2+\underset{i=0}{\overset{n-<!--\; -\; -->1}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_i^2||p_i(x)|{|}^2\ge <!--\; \ge \; -->||p_n(x)|{|}^2.$$||p(x)||^2 = \langle p(x),p(x)\rangle = ||p_n(x)||^2 + \sum_{i=0}^{n-1} {\alpha}_i^2||p_i(x)||^2 \ge ||p_n(x)||^2.$ 

Так как нормы являются положительными, необходимо взять квадратные корни обеих сторон, и получится результат.

Полнота системыПравить

Система ортогональных многочленов $p_i(x)$$p_i(x)$  является полной. Это значит, что любой многочлен $S(x)$$S(x)$  степени n может быть представлен в виде ряда

$S(x)=\underset{i=0}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_i{p}_i(x)$$S(x)=\sum_{i=0}^n {\alpha}_i\ p_i(x)$ ,

где $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\alpha$  коэффициенты разложения.

Доказательство

Доказывается с помощью математической индукции. Выберем ${\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_n$$\ {\alpha}_n$  так, чтобы $S(x)-<!--\; -\; -->{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_n{P}_n(x)$$\ S(x)-{\alpha}_n P_n(x)$  был многочленом степени меньше $n$$n$ . Далее по индукции.

Дифференциальные уравнения, приводящие к ортогональным многочленамПравить

Очень важный класс ортогональных многочленов возникает при решении дифференциального уравнения следующего вида:

$Q(x)f^{″}+L(x)f^{\prime }+\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}f=0,$${Q(x)}\,f''+{L(x)}\,f'+{\lambda }f=0,$ 

где $Q(x)$$Q(x)$  и $L(x)$$L(x)$  заданные многочлены второго и первого порядка, соответственно, а $f(x)$$f(x)$  и $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}$$\lambda$  неизвестные функция и коэффициент. Это уравнение называется задачей Штурма — Лиувилля и может быть переписано в его более стандартной форме

$(R(x)y^{\prime }{)}^{\prime }+W(x)\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}y=0,$$(R(x)y')'+W(x)\,\lambda \,y=0,$ 

где $R(x)=e^{\int <!--\; \int \; -->\frac{L(x)}{Q(x)}dx},W(x)=\frac{R(x)}{Q(x)}.$$R(x)=e^{\int {\frac {L(x)}{Q(x)}}\,dx},\,W(x)={\frac {R(x)}{Q(x)}}.$  Решение этого уравнения приводит к множеству собственных чисел ${\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_0,{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_1,{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_2,\dots <!--\; \dots \; -->$${\lambda}_0, {\lambda}_1, {\lambda}_2, \dots$  и множеству собственных функций $P_0,P_1,P_2,\dots <!--\; \dots \; -->$$P_{0},P_{1},P_{2},\dots$ , обладающих следующими свойствами:

• $P_n(x)$$P_n(x)$  — полином степени n, зависящий от ${\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_n$${\lambda}_n$ 

• последовательность $P_0,P_1,P_2,\dots <!--\; \dots \; -->$$P_{0},P_{1},P_{2},\dots$  ортогональна с весовой функцией $W(x)$$W(x)$ 

• Промежуток ортогональности зависит от корней многочлена Q, причём корень L находится внутри промежутка ортогональности

• Числа ${\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_n$$\lambda_n$  и полиномы $P_n(x)$$P_n(x)$  могут быть получены из формул

${\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_n=-<!--\; -\; -->n\left(\frac{n-<!--\; -\; -->1}{2}{Q}^{″}+L^{\prime }\right)$${\lambda}_n = - n \left( \frac{n-1}{2} Q'' + L' \right)$ 

$P_n(x)=\frac{1}{e_{n}W(x)}\frac{d^n}{d{x}^n}\left(W(x)[Q(x){]}^n\right)$$P_{n}(x)={\frac {1}{e_{n}\,W(x)}}\ {\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left(W(x)[Q(x)]^{n}\right)$  формула Родрига.

Дифференциальное уравнение имеет нетривиальные решения только при выполнения одного из следующих условий. Во всех этих случаях при изменении масштаба или/и сдвига области определения и выбора способа нормировки многочлены решения сводятся к ограниченному набору классов, которые называются классическими ортогональными полиномами

1. Якобиподобные многочлены

Q — многочлен второго порядка, L — первого. Корни Q различны и действительны, корень L лежит строго между корнями Q. Первые коэффициенты Q и L имеют один знак. При помощи линейного преобразования уравнение сводится к $Q(x)=1-<!--\; -\; -->x^2$$Q(x)=1-x^2$  с интервалом ортогональности $[-<!--\; -\; -->1,1]$$[-1,1]$ . Решениями являются многочлены Якоби $P_n^{(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->},\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->})}(x)$$P_n^{(\alpha, \beta)}(x)$  или их частные случаи многочлены Гегенбауэра $C_n^{(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->})}(x)$$C_n^{(\alpha)}(x)$ , Лежандра $P_n(x)$$P_n(x)$  или Чебышёва обоих типов $T_n(x)$$T_{n}(x)$ , $U_n(x)$$U_{n}(x)$ .

2. Лагерроподобные многочлены

Q и L — многочлены первого порядка. Корни Q и L различны. Первые коэффициенты Q и L имеют один знак, если корень L меньше корня Q и наоборот. Сводится к $Q(x)=x$$Q(x)=x$  и интервалу ортогональности $[0,\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->})$$[0,\infty)$ . Решениями являются обобщённые многочлены Лагерра $L_n^{(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->})}(x)$$L_n^{(\alpha)}(x)$  или их частному случаю многочленам Лагерра $L_n(x)$$L_n(x)$ .

3. Эрмитоподобные многочлены

Q — ненулевая константа, L — многочлен первого порядка. Первые коэффициенты Q и L имеют противоположный знак. Сводится к $Q(x)=1$$Q(x)=1$  и интервалу ортогональности $(-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->},\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->})$$(-\infty,\infty)$ . Решениями являются многочлены Эрмита $H_n(x)$$H_n(x)$ .

Производные ортогональных полиномовПравить

Обозначим $P_n^m(x)$$P_n^{m}(x)$  как m-ую производную полинома $P_n(x)$$P_n(x)$ . Производная $P_n^m(x)$$P_n^{m}(x)$  является полиномом степени $n-<!--\; -\; -->m$$n-m$  и обладает следующими свойствами:

• ортогональность

Для заданного m последовательность полиномов $P_m^m,P_{m+1}^m,P_{m+2}^m,\dots <!--\; \dots \; -->$$P_m^{m}, P_{m+1}^{m}, P_{m+2}^{m}, \dots$  ортогональна с весовой функцией $W(x)[Q(x){]}^m$$W(x)[Q(x)]^m$ 

• формула Родрига

$P_n^m=\frac{1}{e_{n}W(x)[Q(x){]}^m}\frac{d^{n-<!--\; -\; -->m}}{d{x}^{n-<!--\; -\; -->m}}\left(W(x)[Q(x){]}^m\right)$$P_n^{m} = \frac{1}{e_nW(x)[Q(x)]^m} \ \frac{d^{n-m}}{dx^{n-m}}\left(W(x)[Q(x)]^m\right)$ 

• дифференциальное уравнение

$Q(x)y^{″}+(m{Q}^{\prime }(x)+L(x))y^{\prime }+[{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_n-<!--\; -\; -->{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_m]y=0$${Q(x)}\,y'' + (m\,Q'(x)+L(x))\,y' + [{\lambda}_n-{\lambda}_m]\ y = 0$ , где $y(x)=P_n^m(x)$$y(x)=P_n^{m}(x)$ 

• дифференциальное уравнение второго вида

$(R(x)[Q(x){]}^m{y}^{\prime }{)}^{\prime }+[{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_n-<!--\; -\; -->{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_m]W(x)[Q(x){]}^{m}y=0$$(R(x)[Q(x)]^m\ y')' + [\lambda_n-\lambda_m]W(x)[Q(x)]^{m}\ y = 0$ , где $y(x)=P_n^m(x)$$y(x)=P_n^{m}(x)$ 

• рекуррентные соотношения (для удобства у коэффициентов a, b и c опущены индексы n и m)

$P_n^m(x)=a{P}_{n+1}^{m+1}(x)+b{P}_n^{m+1}(x)+c{P}_{n-<!--\; -\; -->1}^{m+1}(x),$$P_{n}^{m}(x)=aP_{n+1}^{m+1}(x)+bP_{n}^{m+1}(x)+cP_{n-1}^{m+1}(x),$ 

$P_n^m(x)=(ax+b)P_n^{m+1}(x)+c{P}_{n-<!--\; -\; -->1}^{m+1}(x),$$P_{n}^{m}(x)=(ax+b)P_{n}^{m+1}(x)+cP_{n-1}^{m+1}(x),$ 

$Q(x)P_n^{m+1}(x)=(ax+b)P_n^m(x)+c{P}_{n-<!--\; -\; -->1}^m(x).$$Q(x)P_{n}^{m+1}(x)=(ax+b)P_{n}^{m}(x)+cP_{n-1}^{m}(x).$ 

Классические ортогональные многочленыПравить

Классические ортогональные полиномы, которые происходят из дифференциального уравнения, описанного выше, имеют много важных приложений в таких областях как: математическая физика, численные методы, и многие другие. Ниже приводятся их определения и основные свойства.

Многочлены ЯкобиПравить

Многочлены Якоби обозначаются $P_n^{(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->},\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->})}(x)$$P_n^{(\alpha, \beta)}(x)$ , где параметры $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\alpha$  и $\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}$$\beta$  вещественные числа больше −1. Если $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\alpha$  и $\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}$$\beta$  не равны, полиномы перестают быть симметричными относительно точки $x=0$$x=0$ .

• Весовая функция $W(x)=(1-<!--\; -\; -->x{)}^{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}(1+x{)}^{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}$$W(x)=(1-x)^\alpha(1+x)^\beta$  на промежутке ортогональности $[-<!--\; -\; -->1,1]$$[-1,1]$ 

• Дифференциальные уравнения

$(1-<!--\; -\; -->x^2)y^{″}+(\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}-<!--\; -\; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}-<!--\; -\; -->[\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}+\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}+2]x)y^{\prime }+\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}y=0$$(1-x^2)\,y'' + (\beta-\alpha-[\alpha+\beta+2]\,x)\,y' + {\lambda}\,y = 0$ 

• Собственные числа

${\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_n=n(n+1+\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}+\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->})$$\lambda_n = n(n+1+\alpha+\beta)$ 

• Рекуррентная формула

$P_{n+1}(x)=(A_{n}x+B_n)P_n(x)-<!--\; -\; -->C_n{P}_{n-<!--\; -\; -->1}(x),$$P_{n+1}(x)=(A_{n}\,x+B_{n})\,P_{n}(x)-C_{n}\,P_{n-1}(x),$ 

где

$A_n=\frac{(2n+1+\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}+\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->})(2n+2+\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}+\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->})}{2(n+1)(n+1+\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}+\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->})},$$A_{n}={\frac {(2n+1+\alpha +\beta )(2n+2+\alpha +\beta )}{2(n+1)(n+1+\alpha +\beta )}},$ 

$B_n=\frac{({\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^2-<!--\; -\; -->{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}^2)(2n+1+\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}+\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->})}{2(n+1)(2n+\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}+\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->})(n+1+\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}+\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->})},$$B_{n}={\frac {({\alpha }^{2}-{\beta }^{2})(2n+1+\alpha +\beta )}{2(n+1)(2n+\alpha +\beta )(n+1+\alpha +\beta )}},$ 

$C_n=\frac{(n+\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->})(n+\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->})(2n+2+\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}+\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->})}{(n+1)(n+1+\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}+\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->})(2n+\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}+\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->})}$$C_{n}={\frac {(n+\alpha )(n+\beta )(2n+2+\alpha +\beta )}{(n+1)(n+1+\alpha +\beta )(2n+\alpha +\beta )}}$ 

• Нормировка

$P_n^{(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->},\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->})}(1)=\frac{\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}(n+1+\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->})}{n!\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}(1+\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->})},h_n=\frac{2^{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}+\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}+1}\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}(n+\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}+1)\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}(n+\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}+1)}{n!(2n+\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}+\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}+1)\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}(n+\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}+\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}+1)},k_n=\frac{\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}(2n+1+\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}+\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->})}{n!2^n\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}(n+1+\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}+\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->})},e_n=(-<!--\; -\; -->2{)}^{n}n!$$P_n^{(\alpha, \beta)}(1)=\frac{\Gamma(n+1+\alpha)}{n!\,\Gamma(1+\alpha)}, \qquad h_n=\frac{2^{\alpha+\beta+1}\,\Gamma(n\!+\!\alpha\!+\!1)\,\Gamma(n\!+\!\beta\!+\!1)} {n!(2n\!+\!\alpha\!+\!\beta\!+\!1)\Gamma(n\!+\!\alpha\!+\!\beta\!+\!1)}, \qquad k_n=\frac{\Gamma(2n+1+\alpha+\beta)}{n!\,2^n\,\Gamma(n+1+\alpha+\beta)}, \qquad e_n=(-2)^n\,n!$ 

Многочлены ГегенбауэраПравить

Многочлены Гегенбауэра обозначаются $C_n^{(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->})}(x)$$C_n^{(\alpha)}(x)$ , где параметр $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\alpha$  вещественное число больше −1/2. Он выводится из многочленов Якоби для равных параметров $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\alpha$  и $\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}$$\beta$ 

$C_n^{(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->})}(x)=\frac{\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}(2\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}+n)\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}+1/2)}{\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}(2\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->})\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}+n+1/2)}{P}_n^{(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}-<!--\; -\; -->1/2,\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}-<!--\; -\; -->1/2)}.$$C_n^{(\alpha)}(x) = \frac{\Gamma(2\alpha\!+\!n)\,\Gamma(\alpha\!+\!1/2)} {\Gamma(2\alpha)\,\Gamma(\alpha\!+\!n\!+\!1/2)}\! \ P_n^{(\alpha-1/2, \alpha-1/2)}.$ 

Остальные Якобиподобные многочлены являются частным случаем полиномов Гегенбауэра с выбранным параметром $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\alpha$  и соответствующей нормализацией.

• Весовая функция $W(x)=(1-<!--\; -\; -->x^2{)}^{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}-<!--\; -\; -->1/2}$$W(x)=(1-x^2)^{\alpha-1/2}$  на промежутке ортогональности $[-<!--\; -\; -->1,1]$$[-1,1]$ 

• Дифференциальные уравнения

$(1-<!--\; -\; -->x^2)y^{″}-<!--\; -\; -->(2\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}+1)x{y}^{\prime }+\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}y=0$$(1-x^2)\,y'' - (2\alpha+1)\,x\,\,y' + {\lambda}\,y = 0$ 

• Собственные числа

${\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_n=n(n+2\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->})$$\lambda_n = n(n+2\alpha)$ 

• Рекуррентная формула

$(n+1)C_{n+1}^{(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->})}(x)=2(n+\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->})x{C}_n^{(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->})}(x)-<!--\; -\; -->(n+2\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}-<!--\; -\; -->1)C_{n-<!--\; -\; -->1}^{(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->})}(x)$$(n+1)\,C_{n+1}^{(\alpha )}(x)=2(n+\alpha )x\,C_{n}^{(\alpha )}(x)-(n+2\alpha -1)\,C_{n-1}^{(\alpha )}(x)$ 

• Нормировка

$C_n^{(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->})}(1)=\frac{\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}(n+2\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->})}{n!\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}(2\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->})}$$C_{n}^{(\alpha )}(1)={\frac {\Gamma (n+2\alpha )}{n!\,\Gamma (2\alpha )}}$  если $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\ne <!--\; \ne \; -->0,$$\alpha\ne0,\qquad$  $h_n=\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{2}^{1-<!--\; -\; -->2\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}(n+2\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->})}{n!(n+\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->})(\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}){)}^2},k_n=\frac{\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}(2n+2\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->})\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}(\frac{1}{2}+\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->})}{n!2^n\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}(2\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->})\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}(n+\frac{1}{2}+\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->})},e_n=\frac{(-<!--\; -\; -->2{)}^{n}n!\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}(2\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->})\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}(n+\frac{1}{2}+\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->})}{\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}(n+2\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->})\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}+\frac{1}{2})}$$h_n=\frac{\pi\,2^{1-2\alpha}\Gamma(n+2\alpha)}{n!(n+\alpha)(\Gamma(\alpha))^2}, \qquad k_n=\frac{\Gamma(2n+2\alpha)\Gamma(\frac{1}{2}+\alpha)}{n!\,2^n\,\Gamma(2\alpha)\Gamma(n+\frac{1}{2}+\alpha)}, \qquad e_n = \frac{(-2)^n\,n!\,\Gamma(2\alpha)\,\Gamma(n+\frac{1}{2}+\alpha)} {\Gamma(n+2\alpha)\Gamma(\alpha+\frac{1}{2})}$ 

• Прочие свойства

$C_n^{(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}+1)}(x)=\frac{1}{2\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}\frac{d}{dx}{C}_{n+1}^{(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->})}(x)$$C_n^{(\alpha+1)}(x) = \frac{1}{2\alpha}\! \ \frac{d}{dx}C_{n+1}^{(\alpha)}(x)$ 

Многочлены ЛежандраПравить

Многочлены Лежандра обозначаются $P_n(x)$$P_n(x)$  и являются частным случаем многочленов Гегенбауэра с параметром $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}=1/2$$\alpha=1/2$ 

$P_n(x)=C_n^{(1/2)}(x).$$P_{n}(x)=C_{n}^{(1/2)}(x).$ 

• Весовая функция $W(x)=1$$W(x)=1$  на промежутке ортогональности $[-<!--\; -\; -->1,1]$$[-1,1]$ 

• Дифференциальные уравнения

$(1-<!--\; -\; -->x^2)y^{″}-<!--\; -\; -->2x{y}^{\prime }+\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}y=0,([1-<!--\; -\; -->x^2]y^{\prime }{)}^{\prime }+\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}y=0$$(1-x^2)\,y'' - 2x\,y' + {\lambda}\,y = 0, \qquad ([1-x^2]\,y')' + \lambda\,y = 0$ 

• Собственные числа

${\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_n=n(n+1)$$\lambda_n = n(n+1)$ 

• Рекуррентная формула

$(n+1)P_{n+1}(x)=(2n+1)x{P}_n(x)-<!--\; -\; -->n{P}_{n-<!--\; -\; -->1}(x)$$(n+1)\,P_{n+1}(x)=(2n+1)x\,P_{n}(x)-n\,P_{n-1}(x)$ 

• Нормировка

$P_n(1)=1,h_n=\frac{2}{2n+1},k_n=\frac{(2n)!}{2^n(n!{)}^2},e_n=(-<!--\; -\; -->2{)}^{n}n!$$P_n(1)=1, \qquad h_n=\frac{2}{2n+1}, \qquad k_n=\frac{(2n)!}{2^n\,(n!)^2}, \qquad e_n=(-2)^n\,n!$ 

• Первые несколько многочленов

$P_0(x)=1;$$P_{0}(x)=1;$ 

$P_1(x)=x;$$P_{1}(x)=x;$ 

$P_2(x)=(3x^2-<!--\; -\; -->1)/2;$$P_2(x)=(3x^2-1) / 2;$ 

$P_3(x)=(5x^3-<!--\; -\; -->3x)/2;$$P_3(x)=(5x^3-3x) / 2;$ 

$P_4(x)=(35x^4-<!--\; -\; -->30x^2+3)/8;$$P_4(x)=(35x^4-30x^2+3) / 8;$ 

Многочлены ЧебышёваПравить

Многочлен Чебышёва $T_n(x)$$T_{n}(x)$  часто используется для аппроксимации функций как многочлен степени $n$$n$ , который меньше всего отклоняется от нуля на интервале $[-<!--\; -\; -->1,1]$$[-1,1]$ 

$T_n(x)=\cos <!--\; \; -->(narccos(x)).$$T_{n}(x)=\cos(n\,arccos(x)).$ 

Является частным случаем нормированного многочлена Гегенбауэра для параметра $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\to <!--\; \to \; -->0$$\alpha \to 0$ 

$T_n(x)=\underset{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\to <!--\; \to \; -->0}{lim}n\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->})C_n^{(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->})}.$$T_{n}(x)=\lim _{\alpha \to 0}n\,\Gamma (\alpha )\,C_{n}^{(\alpha )}.$ 

• Весовая функция $W(x)=(1-<!--\; -\; -->x^2{)}^{-<!--\; -\; -->1/2}$$W(x)=(1-x^2)^{-1/2}$  на промежутке ортогональности $[-<!--\; -\; -->1,1]$$[-1,1]$ 

• Дифференциальное уравнение

$(1-<!--\; -\; -->x^2)y^{″}-<!--\; -\; -->x{y}^{\prime }+\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}y=0$$(1-x^2)\,y'' - x\,y' + {\lambda}\,y = 0$ 

• Собственные числа

${\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_n=n^2$$\lambda_n = n^2$ 

• Рекуррентная формула

$T_{n+1}(x)=2x{T}_n(x)-<!--\; -\; -->T_{n-<!--\; -\; -->1}(x)$$T_{n+1}(x)=2x\,T_{n}(x)-T_{n-1}(x)$ 

• Нормировка

$T_n(1)=1, \qquad h_n=\left\{ \begin{matrix} \pi &:~n=0 \\ \pi/2 &:~n\ne 0 \end{matrix}\right. ,\qquad k_n = 2^{n-1}, \qquad e_n=(-2)^n\,\frac{\Gamma(n+1/2)}{\sqrt{\pi}}$ 

Многочлен Чебышёва второго рода $U_n(x)$$U_{n}(x)$  характеризуются как многочлен, интеграл от абсолютной величины которого на интервале $[-<!--\; -\; -->1,+1]$$[-1, +1]$  меньше всего отклоняется от нуля

$U_n=\frac{1}{n+1}{T}_{n+1}^{\prime }$$U_{n}={\frac {1}{n+1}}\,T_{n+1}'$ 

• Весовая функция $W(x)=(1-<!--\; -\; -->x^2{)}^{1/2}$$W(x)=(1-x^2)^{1/2}$  на промежутке ортогональности $[-<!--\; -\; -->1,1]$$[-1,1]$ 
• Дифференциальное уравнение

$(1-<!--\; -\; -->x^2)y^{″}-<!--\; -\; -->3x{y}^{\prime }+\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}y=0$$(1-x^2)\,y'' - 3x\,y' + {\lambda}\,y = 0$ 

• Нормировка

$U_n(1)=n+1,h_n=\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}/2,k_n=2^n,e_n=2(-<!--\; -\; -->2{)}^n\frac{\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}(n+3/2)}{(n+1)\sqrt{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}}$$U_n(1)=n+1, \qquad h_n=\pi / 2, \qquad k_n = 2^n, \qquad e_n=2(-2)^n\,\frac{\Gamma(n+3/2)}{(n+1)\,\sqrt{\pi}}$ 

Многочлены ЛагерраПравить

Ассоциированные или обобщённые многочлены Лагерра обозначаются $L_n^{(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->})}(x)$$L_n^{(\alpha)}(x)$ , где параметр $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\alpha$  вещественное число больше -1. Для $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}=0$$\alpha = 0$  обобщённые многочлены сводятся к обычным многочленам Лагерра

$L_n(x)=L_n^{(0)}(x).$$L_{n}(x)=L_{n}^{(0)}(x).$ 

• Весовая функция $W(x)=x^{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{e}^{-<!--\; -\; -->x}$$W(x)=x^{\alpha}e^{-x}$  на промежутке ортогональности $[0,\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->})$$[0,\infty)$ 

• Дифференциальные уравнения

$x{y}^{″}+(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}+1-<!--\; -\; -->x)y^{\prime }+\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}y=0(x^{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}+1}{e}^{-<!--\; -\; -->x}{y}^{\prime }{)}^{\prime }+\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}{x}^{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{e}^{-<!--\; -\; -->x}y=0$$x\,y''+(\alpha +1-x)\,y'+{\lambda }\,y=0\,\qquad (x^{\alpha +1}\,e^{-x}\,y')'+{\lambda }\,x^{\alpha }\,e^{-x}\,y=0$ 

• Собственные числа

${\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_n=n$$\lambda_n = n$ 

• Рекуррентная формула

$(n+1)L_{n+1}^{(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->})}(x)=(2n+1+\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}-<!--\; -\; -->x)L_n^{(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->})}(x)-<!--\; -\; -->(n+\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->})L_{n-<!--\; -\; -->1}^{(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->})}(x)$$(n+1)\,L_{n+1}^{(\alpha )}(x)=(2n+1+\alpha -x)\,L_{n}^{(\alpha )}(x)-(n+\alpha )\,L_{n-1}^{(\alpha )}(x)$ 

• Нормировка

$k_n=\frac{(-<!--\; -\; -->1{)}^n}{n!},h_n=\frac{\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}(n+\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}+1)}{n!},e_n=n!$$k_n=\frac{(-1)^n}{n!}, \qquad h_n=\frac{\Gamma(n+\alpha+1)}{n!}, \qquad e_n=n!$ 

• Прочие свойства

$L_n^{(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}+1)}(x)=-<!--\; -\; -->\frac{d}{dx}{L}_{n+1}^{(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->})}(x)$$L_n^{(\alpha+1)}(x) = - \frac{d}{dx}L_{n+1}^{(\alpha)}(x)$ 

Многочлены ЭрмитаПравить

• Весовая функция $W(x)=e^{-<!--\; -\; -->x^2}$$W(x)=e^{-x^2}$  на промежутке ортогональности $[-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->},\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}]$$[-\infty,\infty]$ 

• Дифференциальные уравнения

$y^{″}-<!--\; -\; -->2x{y}^{\prime }+\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}y=0(e^{-<!--\; -\; -->x^2}{y}^{\prime }{)}^{\prime }+e^{-<!--\; -\; -->x^2}\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}y=0$$y''-2xy'+{\lambda }\,y=0\,\qquad (e^{-x^{2}}\,y')'+e^{-x^{2}}\,\lambda \,y=0$ 

• Собственные числа

${\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_n=2n$$\lambda_n = 2n$ 

• Рекуррентная формула

$H_{n+1}(x)=2x{H}_n(x)-<!--\; -\; -->2n{H}_{n-<!--\; -\; -->1}(x)$$H_{n+1}(x)=2x\,H_{n}(x)-2n\,H_{n-1}(x)$ 

• Нормировка

$k_n=2^n,h_n=2^{n}n!\sqrt{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}},e_n=(-<!--\; -\; -->1{)}^n$$k_n = 2^n, \qquad h_n=2^n\,n!\,\sqrt{\pi}, \qquad e_n=(-1)^n$ 

• Первые несколько многочленов

$H_0(x)=1$$H_{0}(x)=1$ 

$H_1(x)=2x$$H_{1}(x)=2x$ 

$H_2(x)=4x^2-<!--\; -\; -->2$$H_{2}(x)=4x^{2}-2$ 

$H_3(x)=8x^3-<!--\; -\; -->12x$$H_{3}(x)=8x^{3}-12x$ 

$H_4(x)=16x^4-<!--\; -\; -->48x^2+12$$H_{4}(x)=16x^{4}-48x^{2}+12$ 

Построение ортогональных многочленовПравить

Процесс ортогонализации Грама-ШмидтаПравить

Система ортогональных многочленов $f_1,f_2,\dots <!--\; \dots \; -->,f_k$$f_1, f_2, \ldots, f_k$  может быть построена путём применения процесса Грама-Шмидта к системе многочленов $g_k(x)=x^k$$g_k(x)=x^k$  следующим образом. Определим проектор как

${\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{j}}_f(g)=\frac{⟨<!--\; ⟨\; -->f,g⟩<!--\; ⟩\; -->}{⟨<!--\; ⟨\; -->f,f⟩<!--\; ⟩\; -->}f=\frac{{\int <!--\; \int \; -->}_{x_1}^{x_2}f(x)g(x)W(x)dx}{{\int <!--\; \int \; -->}_{x_1}^{x_2}(f(x){)}^{2}W(x)dx}f(x)$$\mathrm{proj}_{f}\,(g) = {\langle f, g\rangle\over\langle f, f\rangle}f = { \int_{x_1}^{x_2} f(x) g(x) W(x) \; dx \over \int_{x_1}^{x_2} (f(x))^2 W(x) \; dx} f(x)$ ,

тогда ортогональные полиномы последовательно вычисляются по схеме

$\begin{align} f_1 & = g_1, \\ f_2 & = g_2-\mathrm{proj}_{f_1}\,(g_2), \\ f_3 & = g_3-\mathrm{proj}_{f_1}\,(g_3)-\mathrm{proj}_{f_2}\,(g_3), \\ & {}\ \ \vdots \\ f_k & = g_k-\sum_{j=1}^{k-1}\mathrm{proj}_{f_j}\,(g_k). \end{align}$ 

Данный алгоритм относится к численно неустойчивым алгоритмам. При вычислении коэффициентов разложения ошибки округления и погрешности численного интегрирования накапливаются с увеличением номера полинома.

По моментам весовой функцииПравить

Весовая функция $w(x)$$w(x)$ , заданная на промежутке $\left[a;b\right]$$\left[a;b\right]$ , однозначно определяет систему ортогональных многочленов $\{p_n(x){\}}_{n=0}^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}$$\{p_n(x)\}_{n=0}^{\infty}$  с точностью до постоянного множителя. Обозначим через числа

${\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_n={\int <!--\; \int \; -->}_a^{b}w(x)x^{n}dx$$\mu_n=\int_a^b{w(x)x^ndx}$ 

моменты весовой функции, тогда многочлен $p_n(x)$$p_n(x)$  может быть представлен в виде:

$p_n(x) = \det\left[ \begin{matrix} \mu_0 & \mu_1 & \mu_2 & \cdots & \mu_n \\ \mu_1 & \mu_2 & \mu_3 & \cdots & \mu_{n+1} \\ \mu_2 & \mu_3 & \mu_4 & \cdots & \mu_{n+2} \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ \mu_{n-1} & \mu_n & \mu_{n+1} & \cdots & \mu_{2n-1} \\ 1 & x & x^2 & \cdots & x^n \end{matrix} \right]$ .

Сложность вычисления ортогональных полиномов определяется сложностью вычисления определителя матрицы. Существующие алгоритмические реализации вычисления требуют минимум $O(n^3)$$O(n^{3})$  операций.

Доказательство

Докажем, что заданный таким образом многочлен $p_n(x)$$p_n(x)$  ортогонален всем многочленам степени меньше n. Рассмотрим скалярное произведение $p_n(x)$$p_n(x)$  на $x^k$$x^{k}$  для $k < n$ .

$\begin{align} \int_\mathbb{R} x^k p_n(x)\,d\mu & {} = \int_\mathbb{R} x^k \det\left[ \begin{matrix} \mu_0 & \mu_1 & \mu_2 & \cdots & \mu_n \\ \mu_1 & \mu_2 & \mu_3 & \cdots & \mu_{n+1} \\ \mu_2 & \mu_3 & \mu_4 & \cdots & \mu_{n+2} \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ \mu_{n-1} & \mu_n & \mu_{n+1} & \cdots & \mu_{2n-1} \\ 1 & x & x^2 & \cdots & x^n \end{matrix} \right] \,d\mu \\ \\ & {} = \int_\mathbb{R} \det\left[ \begin{matrix} \mu_0 & \mu_1 & \mu_2 & \cdots & \mu_n \\ \mu_1 & \mu_2 & \mu_3 & \cdots & \mu_{n+1} \\ \mu_2 & \mu_3 & \mu_4 & \cdots & \mu_{n+2} \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ \mu_{n-1} & \mu_n & \mu_{n+1} & \cdots & \mu_{2n-1} \\ x^k & x^{k+1} & x^{k+2} & \cdots & x^{k+n} \end{matrix} \right] \,d\mu \\ \\ & {} = \det\left[ \begin{matrix} \mu_0 & \mu_1 & \mu_2 & \cdots & \mu_n \\ \mu_1 & \mu_2 & \mu_3 & \cdots & \mu_{n+1} \\ \mu_2 & \mu_3 & \mu_4 & \cdots & \mu_{n+2} \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ \mu_{n-1} & \mu_n & \mu_{n+1} & \cdots & \mu_{2n-1} \\ \displaystyle \int_\mathbb{R} x^k \, d\mu & \displaystyle \int_\mathbb{R} x^{k+1} \, d\mu & \displaystyle \int_\mathbb{R} x^{k+2} \, d\mu & \cdots & \displaystyle \int_\mathbb{R} x^{k+n} \, d\mu \end{matrix} \right] \\ \\ & {} = \det \left[ \begin{matrix} \mu_0 & \mu_1 & \mu_2 & \cdots & \mu_n \\ \mu_1 & \mu_2 & \mu_3 & \cdots & \mu_{n+1} \\ \mu_2 & \mu_3 & \mu_4 & \cdots & \mu_{n+2} \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ \mu_{n-1} & \mu_n & \mu_{n+1} & \cdots & \mu_{2n-1} \\ \mu_k & \mu_{k+1} & \mu_{k+2} & \cdots & \mu_{k+n} \end{matrix} \right] \\ \\ & {} = 0. \end{align}$ 

Поскольку матрица имеет две совпадающие строки для $k < n$ .

По рекуррентным формуламПравить

Если выбрать нормировку многочлена $p_n(x)$$p_n(x)$  таким образом, что коэффициент $k_n$$k_n$  при главном члене равен единице, рекуррентное соотношение может быть переписано в следующем виде:

$p_{n+1}(x)=(x-<!--\; -\; -->{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_n)p_n(x)-<!--\; -\; -->{\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}_n{p}_{n-<!--\; -\; -->1}(x),$${p_{n+1}(x)\ =\ (x-\alpha_n)\ p_n(x)\ -\ \gamma_n\ p_{n-1}(x)},$ 

где

${\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_n=\frac{⟨<!--\; ⟨\; -->x{p}_n,p_n⟩<!--\; ⟩\; -->}{⟨<!--\; ⟨\; -->p_n,p_n⟩<!--\; ⟩\; -->},{\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}_n=\frac{⟨<!--\; ⟨\; -->x{p}_n,p_{n-<!--\; -\; -->1}⟩<!--\; ⟩\; -->}{⟨<!--\; ⟨\; -->p_{n-<!--\; -\; -->1},p_{n-<!--\; -\; -->1}⟩<!--\; ⟩\; -->}$$\alpha_n = \frac{\langle x p_n, p_n\rangle}{\langle p_n, p_n\rangle}, \qquad \gamma_n = \frac{\langle x p_n, p_{n-1}\rangle}{\langle p_{n-1}, p_{n-1}\rangle}$ .

Применение ортогональных многочленовПравить

Ортогональные полиномы применяются для построения точных квадратурных формул

$\underset{\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}f(x)w(x)dx\approx <!--\; \approx \; -->\underset{i=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{w}_{i}f(x_i),$$\int\limits_{\Omega} f(x) w(x) dx \approx \sum\limits_{i=1}^{n} w_i f(x_i),$ 

где $x_i$$x_{i}$  и $w_i$$w_{i}$  являются узлами и весами квадратурной формулы. Квадратурная формула является точной для всех полиномов $f(x)$$f(x)$  до степени $2n-<!--\; -\; -->1$$2n-1$  включительно. При этом узлы $x_i$$x_{i}$  есть корни n-го полинома из последовательности полиномов $p_0(x),p_1(x),...$$p_0(x),p_1(x), ...$ , ортогональных с весовой функцией $w(x)$$w(x)$ . Веса $w_i$$w_{i}$  вычисляются из формулы Кристоффеля-Дарбу.

Так же многочлены Чебышёва первого $T_n(x)$$T_{n}(x)$  и второго $U_n(x)$$U_{n}(x)$  типа часто используется для аппроксимации функций.

СсылкиПравить

• Gabor Szego. Orthogonal Polynomials (неопр.). — Colloquium Publications - American Mathematical Society, 1939. — ISBN 0-8218-1023-5.
• Dunham Jackson. Fourier Series and Orthogonal Polynomials (англ.). — New York: Dover, 1941, 2004. — ISBN 0-486-43808-2.
• Refaat El Attar. Special Functions and Orthogonal Polynomials (англ.). — Lulu Press, Morrisville NC 27560, 2006. — ISBN 1-4116-6690-9.
• Theodore Seio Chihara. An Introduction to Orthogonal Polynomials (англ.). — Gordon and Breach, New York, 1978. — ISBN 0-677-04150-0.

Для дальнейшего чтенияПравить

• Ismail, Mourad E. H. Classical and Quantum Orthogonal Polynomials in One Variable (англ.). — Cambridge: Cambridge University Press, 2005. — ISBN 0-521-78201-5.
• Vilmos Totik  (англ.) (рус.. Orthogonal Polynomials (неопр.) // Surveys in Approximation Theory. — 2005. — Т. 1. — С. 70—125.
• Бейтмен Г., Эрдейи А. . Функции Бесселя, функции параболического цилиндра, ортогональные многочлены // Высшие трансцендентные функции. Т. 2. / Пер. с англ. Н. Я. Виленкина. — М.: Наука, 1966. — 296 с.