Ортогональная система

Ортогона́льная систе́ма элементов векторного пространства со скалярным произведением — такое подмножество векторов $\left\{{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_i\right\}\subset <!--\; \subset \; -->H$$\left\{\varphi _{i}\right\}\subset H$, что любые различные два из них ортогональны, то есть их скалярное произведение равно нулю:

$({\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_i,{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_j)=0$$(\varphi _{i},\varphi _{j})=0$.

Ортогональная система в случае её полноты может быть использована в качестве базиса пространства. При этом разложение любого элемента $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{a}$$\vec a$ может быть вычислено по формулам: $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{a}=\underset{k}{\sum <!--\; \sum \; -->}{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_i{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_i$${\vec a}=\sum _{{k}}\alpha _{i}\varphi _{i}$, где ${\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_i=\frac{(\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{a},{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_i)}{({\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_i,{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_i)}$$\alpha _{i}={\frac {({\vec {a}},\varphi _{i})}{(\varphi _{i},\varphi _{i})}}$.

Случай, когда норма всех элементов $||{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_i||=1$$||\varphi _{i}||=1$, называется ортонормированной системой.

ОртогонализацияПравить

По любой линейно независимой системе можно построить ортонормированную систему, применив процесс ортогонализации Грама ― Шмидта.

Любая полная линейно независимая система в конечномерном пространстве является базисом. От простого базиса, следовательно, можно перейти к ортонормированному базису.

Ортогональное разложениеПравить

При разложении векторов векторного пространства по ортонормированному базису упрощается вычисление скалярного произведения: $(\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{a},\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{b})=\underset{k}{\sum <!--\; \sum \; -->}{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_k{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}_k$$({\vec {a}},{\vec {b}})=\sum _{k}\alpha _{k}\beta _{k}$ , где $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{a}=\underset{k}{\sum <!--\; \sum \; -->}{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_k{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_k$${\vec {a}}=\sum _{k}\alpha _{k}\varphi _{k}$  и $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{b}=\underset{k}{\sum <!--\; \sum \; -->}{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}_k{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_k$${\vec {b}}=\sum _{k}\beta _{k}\varphi _{k}$ .

См. такжеПравить

• Ортогональный базис
• Ортогональные многочлены