Ортонормированная система

Ортонорми́рованная система — ортогональная система, у которой каждый элемент системы имеет единичную норму.

Определение Править

Для любых элементов этой системы ${\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_i,{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_j$$\varphi _{i},\varphi _{j}$  скалярное произведение $({\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_i,{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_j)={\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}_{ij}$$(\varphi _{i},\varphi _{j})=\delta _{{ij}}$ , где ${\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}_{ij}$$\delta _{{ij}}$  — символ Кронекера:

$\delta _{{ij}}=\left\{{\begin{matrix}1,&i=j\\0,&i\neq j\end{matrix}}\right.$ 

Ортонормированная система в случае её полноты может быть использована в качестве базиса пространства. При этом разложение любого элемента $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{a}$$\vec a$  может быть вычислено по формулам: $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{a}=\underset{k}{\sum <!--\; \sum \; -->}{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_i{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_i$${\vec a}=\sum _{{k}}\alpha _{i}\varphi _{i}$ , где ${\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_i=(\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{a},{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_i)$$\alpha _{i}=({\vec a},\varphi _{i})$ .

Примеры Править

• В конечномерном пространстве $R^n$$R^{n}$  ортонормированной системой будет набор векторов:

$e_1=(1,0,\dots <!--\; \dots \; -->,0),e_2=(0,1,0,\dots <!--\; \dots \; -->,0),\dots <!--\; \dots \; -->,e_n=(0,0,\dots <!--\; \dots \; -->,0,1)$$e_{1}=(1,0,\dots ,0),e_{2}=(0,1,0,\dots ,0),\dots ,e_{n}=(0,0,\dots ,0,1)$ .

• В пространстве $L^2[0,l]$$L^{2}[0,l]$  ортонормированной системой будет множество функций:

${\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_k(x)=\sqrt{\frac{2}{l}}\sin <!--\; \; -->k\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{l}x$$\varphi _{k}(x)={\sqrt {{\frac {2}{l}}}}\sin k{\frac {\pi }{l}}x$ .

Более того, эта система функций также будет ортонормированным базисом в пространстве $L^2[0,l]$$L^{2}[0,l]$ .

• В пространстве $L^2[0,1]$$L^{2}[0,1]$  система функций Радемахера является ортонормированной.

Ортогонализация Править

По любой линейно независимой системе можно построить ортонормированную систему, применив процесс ортогонализации Грамма-Шмидта.

См. также Править

• Ортонормированный базис
• Ортогональные многочлены