Признак Дини

Признак Ди́ни — признак поточечной сходимости ряда Фурье. Несмотря на то, что ряд Фурье функции из $L_2([-<!--\; -\; -->\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->},\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}])$$L_2([-\pi,\pi])$ сходится к ней в смысле $L_2$$L_{2}$-нормы, он вовсе не обязан сходиться к ней поточечно (даже в случае непрерывной функции). Тем не менее при некоторых дополнительных условиях (например, в случае, когда функция гладкая или хотя бы удовлетворяет условию Гёльдера или Липшица с каким-нибудь положительным показателем) поточечная сходимость всё же имеет место.

Сходимость ряда Фурье в конкретной точке является локальным свойством функции: если две функции совпадают в некоторой окрестности точки $t$$t$, то их ряды Фурье в этой точке сходятся или расходятся одновременно.

Признак Дини устанавливает весьма общее условие такой сходимости. Назван в честь итальянского математика Улисса Ди́ни.

Признак ДиниПравить

Положим для $\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}>0$$\delta >0$ 

${\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_f(t,\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->})=\underset{s:|s-<!--\; -\; -->t|⩽<!--\; ⩽\; -->\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}{sup}|f(t)-<!--\; -\; -->f(s)|$$\omega _{f}(t,\delta )=\sup \limits _{{s:|s-t|\leqslant \delta }}|f(t)-f(s)|$ .

(модуль непрерывности функции $f$$f$  в точке $t$$t$ ).

Если функция $f$$f$  удовлетворяет условию

$\int \limits _{{0+}}\limits {\frac {\omega _{f}(t,\delta )\,d\delta }{\delta }}<+\infty$ ,

то её ряд Фурье в точке $t$$t$  сходится к $f(t)$$f(t)$  .

---

Замечание. Условия признака Дини выполняются, в частности, при

${\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_f(t,\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->})⩽<!--\; ⩽\; -->C{\left(\frac{1}{\mathrm{l}\mathrm{n}<!--\; \; -->\frac{1}{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}}\right)}^{\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}},$$\omega _{f}(t,\delta )\leqslant C\left({\frac 1{{\mathop {{\mathrm {ln}}}}{\frac 1\delta }}}\right)^{\gamma },$ 

где $\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}>1$$\gamma >1$  (Это гораздо более слабое условие, чем любое условие Гёльдера). Взять $\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}=1$$\gamma =1$  нельзя.

Модифицированный признак ДиниПравить

Справедлива также модификация признака Дини для случая, когда функция $f$$f$  имеет разрыв в точке $t$$t$ , но тем не менее её сужения на промежутки $(t-<!--\; -\; -->\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->},t)$$(t-\varepsilon ,t)$  и $(t,t+\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->})$$(t,t+\varepsilon )$  могут быть продолжены до функций, удовлетворяющих признаку Дини.

Пусть $f_{+},f_{-<!--\; -\; -->}$$f_{+},f_{-}$  — некоторые числа. Положим для $\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}>0$$\delta >0$ 

${\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_{f,f_{+}}^{+}(t,\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}):=\underset{s\in <!--\; \in \; -->(t,t+\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->})}{sup}|f(s)-<!--\; -\; -->f_{+}|$$\omega _{{f,f_{+}}}^{+}(t,\delta ):=\sup \limits _{{s\in (t,t+\delta )}}|f(s)-f_{+}|$ ,

${\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_{f,f_{-<!--\; -\; -->}}^{-<!--\; -\; -->}(t,\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}):=\underset{s\in <!--\; \in \; -->(t-<!--\; -\; -->\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->},t)}{sup}|f(s)-<!--\; -\; -->f_{-<!--\; -\; -->}|$$\omega _{{f,f_{-}}}^{-}(t,\delta ):=\sup \limits _{{s\in (t-\delta ,t)}}|f(s)-f_{-}|$ .

Если числа $f_{+}$$f_{+}$ , $f_{-<!--\; -\; -->}$$f_{-}$  и функция $f$$f$  таковы, что

$\int \limits _{{0+}}\limits {\frac {\omega _{{f,f_{+}}}^{+}(t,\delta )\,d\delta }{\delta }}<+\infty$ ,

$\int \limits _{{0+}}\limits {\frac {\omega _{{f,f_{-}}}^{-}(t,\delta )\,d\delta }{\delta }}<+\infty$ ,

то ряд Фурье функции $f$$f$  в точке $t$$t$  сходится к $\frac{f_{+}+f_{-<!--\; -\; -->}}{2}$${\frac {f_{+}+f_{-}}2}$ .

Признак Дини — ЛипшицаПравить

Если модуль непрерывности функции $f$$f$  в точке $t$$t$  удовлетворяет условию

${\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_f(t,\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->})=o\left(\frac{1}{\mathrm{l}\mathrm{n}<!--\; \; -->\frac{1}{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}}\right)$$\omega _{f}(t,\delta )=o\left({\frac 1{{\mathop {{\mathrm {ln}}}}{\frac 1\delta }}}\right)$ ,

то ряд Фурье функции $f$$f$  в точке $t$$t$  сходится к $f(t)$$f(t)$ 

Точность признаков Дини и Дини — ЛипшицаПравить

Если возрастающая неотрицательная функция $\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}$$\Omega$  такова, что

$\underset{0+}{\int <!--\; \int \; -->}\frac{\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}(\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->})d\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}=+\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$\int \limits _{{0+}}\limits {\frac {\Omega (\delta )\,d\delta }{\delta }}=+\infty$ ,

то существует функция $f$$f$ , такая, что

${\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_f(t,\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->})⩽<!--\; ⩽\; -->\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}(\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->})$$\omega _{f}(t,\delta )\leqslant \Omega (\delta )$ 

при всех достаточно маленьких $\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}$$\delta$ , и ряд Фурье функции $f$$f$  расходится в точке $t$$t$ .

Существует функция $f$$f$  с расходящимся в нуле рядом Фурье, удовлетворяющая условию

${\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_f(0,\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->})=O\left(\frac{1}{\mathrm{l}\mathrm{n}<!--\; \; -->\frac{1}{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}}\right)$$\omega _{f}(0,\delta )=O\left({\frac 1{{\mathop {{\mathrm {ln}}}}{\frac 1\delta }}}\right)$ ,

Пример применения признака Дини: сумма обратных квадратовПравить

Рассмотрим периодическое продолжение функции $x^2$$x^{2}$  с промежутка $[-<!--\; -\; -->\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->},\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->})$$[-\pi ,\pi )$ :

$f(x)={\left(\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\left\{\frac{x}{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}\right\}\right)}^2,$$f(x)=\left(\pi \left\{{\frac {x}{\pi }}\right\}\right)^{2},$ 

где фигурные скобки означают дробную часть числа. Несложно найти разложение этой функции в ряд Фурье:

$f(x)\sim <!--\; \sim \; -->\frac{{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}^2}{3}+4\underset{n=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{(-<!--\; -\; -->1{)}^n}{n^2}\cos <!--\; \; -->nx$$f(x)\sim {\frac {\pi ^{2}}3}+4\sum \limits _{{n=1}}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n^{2}}}\cos nx$ 

Подставляя $x=0$$x=0$  и $x=\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$x=\pi$ , и пользуясь для обоснования поточечной сходимости соответственно обычным и модифицированным признаком Дини, получаем равенства:

$\underset{n=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{(-<!--\; -\; -->1{)}^{n-<!--\; -\; -->1}}{n^2}=\frac{{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}^2}{12}$$\sum \limits _{{n=1}}^{\infty }{\frac {(-1)^{{n-1}}}{n^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{12}}$ 

и

$\underset{n=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{1}{n^2}=\frac{{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}^2}{6}$$\sum \limits _{{n=1}}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}$ .

См. такжеПравить

• Теорема Дини