Сходимость по Чезаро

Сходимость по Чезаро — обобщение понятия сходимости числовых и функциональных рядов, введённое итальянским математиком Эрнесто Чезаро. Фактически существует целое семейство определений, зависящих от параметра k. Сначала сходимость была определена Чезаро для целых положительных значений параметра k и применена ко множеству рядов. Позднее понятие сходимости по Чезаро было расширено на произвольные значения k, в том числе и на комплексные. Методы нахождения суммы по Чезаро имеют многочисленные приложения: при умножении рядов, в теории рядов Фурье и других вопросах.

ОпределениеПравить

Ряд $\underset{n=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{a}_n$$\sum _{{n=1}}^{\infty }a_{n}$  называется сходящимся по Чезаро порядка k или (C, k)-сходящимся с суммой S, если:

$\underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}\frac{A_n^k}{E_n^k}=S$$\lim _{{n\to \infty }}{\frac {A_{n}^{k}}{E_{n}^{k}}}=S$ 

где $A_n,E_n$$A_{n},E_{n}$  определяются как коэффициенты разложения:

$\underset{n=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{A}_n^{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{x}^n=\frac{\underset{n=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{a}_n{x}^n}{(1-<!--\; -\; -->x{)}^{1+\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}},$$\sum _{{n=0}}^{\infty }A_{n}^{\alpha }x^{n}={\frac {\displaystyle {\sum _{{n=0}}^{\infty }a_{n}x^{n}}}{(1-x)^{{1+\alpha }}}},$ 

$\underset{n=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{E}_n^{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{x}^n=(1-<!--\; -\; -->x{)}^{-<!--\; -\; -->1-<!--\; -\; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}},$$\sum _{{n=0}}^{\infty }E_{n}^{\alpha }x^{n}=(1-x)^{{-1-\alpha }},$ 

СвойстваПравить

При k = 0 сходимость по Чезаро является обычной сходимостью ряда, при k = 1 ряд является сходящимся с суммой S, если $\underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}\frac{1}{n}\underset{j=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{s}_j=S,$$\lim _{{n\to \infty }}{\frac {1}{n}}\sum _{{j=1}}^{n}s_{j}=S,$  где $s_j=a_1+\cdots <!--\; \cdots \; -->+a_j$$s_{j}=a_{1}+\cdots +a_{j}$  — частичные суммы ряда.

Методы (C, k) нахождения суммы ряда являются полностью регулярными при $k\ge <!--\; \ge \; -->0$$k\geq 0$  и не являются регулярными при $k<0$ . Сила метода возрастает с увеличением k: если ряд является сходящимся для k, то он является сходящимся с той же суммой для k^' при k^' > k > −1.

При k <-1 это свойство не сохраняется.

Если ряд $\underset{n=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{a}_n$$\sum _{{n=1}}^{\infty }a_{n}$  является (C, k)-сходящимся, то $a_n=o(n^k)$$a_{n}=o(n^{k})$ .

Сходимость по Чезаро (C, k) равносильна и совместима со сходимостью Гёльдера (H, k) и Риса (R, n, k) (k >0). При любом k > −1 метод (C, k) слабее метода Абеля.

ПримерПравить

Пусть a_n = (-1)ⁿ⁺¹ для n ≥ 1. То есть, {a_n} является последовательностью

$1,-<!--\; -\; -->1,1,-<!--\; -\; -->1,\dots <!--\; \dots \; -->.$$1,-1,1,-1,\ldots .$ 

Последовательность частичных сумм {s_n} имеет вид:

$1,0,1,0,\dots <!--\; \dots \; -->,$$1,0,1,0,\ldots ,$ 

и очевидно, что данный ряд не сходится в привычном понимании. Зато членами последовательности {(s₁ + … + s_n)/n} являются

$\frac{1}{1},\frac{1}{2},\frac{2}{3},\frac{2}{4},\frac{3}{5},\frac{3}{6},\frac{4}{7},\frac{4}{8},\dots <!--\; \dots \; -->,$${\frac {1}{1}},\,{\frac {1}{2}},\,{\frac {2}{3}},\,{\frac {2}{4}},\,{\frac {3}{5}},\,{\frac {3}{6}},\,{\frac {4}{7}},\,{\frac {4}{8}},\,\ldots ,$ 

и в общей сложности

$\underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}\frac{s_1+\cdots <!--\; \cdots \; -->+s_n}{n}=1/2.$$\lim _{{n\to \infty }}{\frac {s_{1}+\cdots +s_{n}}{n}}=1/2.$ 

Поэтому ряд $\underset{n=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{a}_n$$\sum _{{n=1}}^{\infty }a_{n}$  является сходящимся по Чезаро с параметром 1 и его сумма равна 1/2.

См. такжеПравить

• Сходимость по Борелю
• Сходимость по Пуассону — Абелю
• Сходимость по Эйлеру
• 1 − 2 + 3 − 4 + …
• Чезаровское среднее

СсылкиПравить

• Сходимость по Чезаро (англ.) на сайте PlanetMath.

ЛитератураПравить

• Математическая энциклопедия / Под ред. И. М. Виноградова. Том 5 — М.: Наука, 1985
• Барон С. А., Введение в теорию суммируемости рядов, 2 изд., Таллин, 1977.
• Зигмунд А., Тригонометрические ряды, пер. с англ., т.1, М., 1965;
• Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2. — Изд. 6-является, стереотипное. — М.: Наука, 1966
• Xapди Г., Расходящиеся ряды, пер. с англ., М., 1951;
• Shawyer, Bruce; Watson, Bruce (1994), Borel’s Methods of Summability: Theory and Applications, Oxford UP, ISBN 0-19-853585-6 .