Тригонометрический ряд

Тригонометрический ряд — числовой ряд вида:

$\frac{A_0}{2}+\underset{n=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}(A_n\cos <!--\; \; -->nx+B_n\sin <!--\; \; -->nx)$${\frac {A_{0}}{2}}+\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(A_{n}\cos {nx}+B_{n}\sin {nx})$.

Тригонометрический ряд называется рядом Фурье функции $f(x)$$f(x)$, если коэффициенты $A_n$$A_{{n}}$ и $B_n$$B_{{n}}$ определяются следующим образом:

$A_n=\frac{1}{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}_{-<!--\; -\; -->\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}^{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}f(x)\cos <!--\; \; -->nxdx(n=0,1,2,3\dots <!--\; \dots \; -->)$$A_{n}={\frac {1}{\pi }}\displaystyle \int _{-\pi }^{\pi }\!f(x)\cos {nx}\,dx\qquad (n=0,1,2,3\dots )$

$B_n=\frac{1}{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}_{-<!--\; -\; -->\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}^{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}f(x)\sin <!--\; \; -->nxdx(n=1,2,3,\dots <!--\; \dots \; -->)$$B_{n}={\frac {1}{\pi }}\displaystyle \int _{-\pi }^{\pi }\!f(x)\sin {nx}\,dx\qquad (n=1,2,3,\dots )$

где $f(x)$$f(x)$ — это суммируемая на $[-<!--\; -\; -->\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->},\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}]$$[-\pi ,\pi ]$ функция. .

Не каждый тригонометрический ряд является рядом Фурье.

Типичная задача в теории тригонометрических рядов: найти, при каких значениях переменной $x$$x$ данный тригонометрический ряд сходится.

СсылкиПравить

• «Trigonometric Series» by A. Zygmund