Сходимость в Lp

Сходи́мость в $L^p$$L^{p}$ в функциональном анализе, теории вероятностей и смежных дисциплинах — вид сходимости измеримых функций или случайных величин.

ОпределениеПравить

Пусть $(X,\mathcal{F},\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->})$$(X,\mathcal{F},\mu)$  — пространство с мерой. Тогда пространство $L^p\equiv <!--\; \equiv \; -->L^p(X,\mathcal{F},\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->})$$L^p\equiv L^p(X,\mathcal{F},\mu)$  измеримых функций, таких что их $p$$p$ -я степень, где $p⩾<!--\; ⩾\; -->1$$p\geqslant 1$ , интегрируема по Лебегу, является метрическим. Метрика в этом пространстве имеет вид:

$d(f,g)=\Vert <!--\; \Vert \; -->f-<!--\; -\; -->g{\Vert <!--\; \Vert \; -->}_p\equiv <!--\; \equiv \; -->{\left(\underset{X}{\int <!--\; \int \; -->}|f(x)-<!--\; -\; -->g(x){|}^p\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}(dx)\right)}^{1/p}$$d(f,g) = \|f - g\|_p \equiv \left(\, \int\limits_X |f(x)-g(x)|^p\, \mu(dx)\, \right)^{1/p}$ .

Пусть дана последовательность $\{f_n{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}\subset <!--\; \subset \; -->L^p$$\{f_{n}\}_{n=1}^{\infty }\subset L^{p}$ . Тогда говорят, что эта последовательность сходится в $L^p$$L^{p}$  к функции $f\in <!--\; \in \; -->L^p$$f \in L^p$ , если она сходится в метрике, определённой выше, то есть

$\underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}\Vert <!--\; \Vert \; -->f_n-<!--\; -\; -->f{\Vert <!--\; \Vert \; -->}_p=0$$\lim\limits_{n \to \infty} \|f_n - f\|_p = 0$ .

Пишут: $f_n\stackrel{L^p}{⟶<!--\; ⟶\; -->}f$$f_n \stackrel{L^p}{\longrightarrow} f$ . Иногда также используют обозначение $f(x)=\underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\mathrm{l}.\mathrm{i}.\mathrm{m}.}<!--\; \; -->f_n(x)$$f(x)=\mathop{\mathrm{l.i.m.}}_{n\to\infty} f_n(x)$  — от англ.  англ. limit in mean .

В терминах теории вероятностей, последовательность случайных величин $\{X_n{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}\subset <!--\; \subset \; -->L^p(\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->},\mathcal{F},\mathbb{P})$$\{X_n\}_{n=1}^{\infty}\subset L^p(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$  сходится к $X$$X$  из того же пространства, если

$\underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}\mathbb{E}|X_n-<!--\; -\; -->X{|}^p=0$$\lim\limits_{n\to \infty}\mathbb{E}|X_n-X|^p = 0$ .

Пишут: $X_n\stackrel{L^p}{⟶<!--\; ⟶\; -->}X$$X_n \stackrel{L^p}{\longrightarrow} X$ .

ТерминологияПравить

• Сходимость в пространстве $L^1$$L^1$  называется сходимостью в среднем.
• Сходимость в пространстве $L^2$$L^{2}$  называется сходимость в среднеквадратичном.

Свойства сходимости в $L^p$$L^{p}$Править

• Единственность предела. Если $f_n\stackrel{L^p}{⟶<!--\; ⟶\; -->}f$$f_n \stackrel{L^p}{\longrightarrow} f$  и $f_n\stackrel{L^p}{⟶<!--\; ⟶\; -->}g$$f_n \stackrel{L^p}{\longrightarrow} g$ , то $f=g$$f = g$  $\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}$$\mu$ -почти всюду ($\mathbb{P}$$\mathbb {P}$ -почти наверное).

• Пространство $L^p$$L^{p}$  полно. Если $\Vert <!--\; \Vert \; -->f_n-<!--\; -\; -->f_m{\Vert <!--\; \Vert \; -->}_p\to <!--\; \to \; -->0$$\|f_n-f_m\|_p \to 0$  при $min(n,m)\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$\min(n,m) \to \infty$ , то существует $f\in <!--\; \in \; -->L^p$$f \in L^p$ , такой что $f_n\stackrel{L^p}{⟶<!--\; ⟶\; -->}f$$f_n \stackrel{L^p}{\longrightarrow} f$ .

• Сходимость в $L^p$$L^{p}$  влечёт сходимость по мере (по вероятности). Если $f_n\stackrel{L^p}{⟶<!--\; ⟶\; -->}f$$f_n \stackrel{L^p}{\longrightarrow} f$ , то $f_n\stackrel{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}{⟶<!--\; ⟶\; -->}f$$f_n \stackrel{\mu}{\longrightarrow} f$ .