Тригонометрический многочлен

Тригонометрический многочлен — функция вещественного аргумента, которая является конечной тригонометрической суммой, то есть функция, представленная в виде:

$f(x)=\frac{a_0}{2}+\underset{k=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}(a_k\cos <!--\; \; -->(kx)+b_k\sin <!--\; \; -->(kx))$$f(x)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{k=1}^{n}(a_{k}\cos(kx)+b_{k}\sin(kx))$,

где аргумент и коэффициенты $x,a_k,b_k\in <!--\; \in \; -->\mathbb{R}$$x,a_{k},b_{k}\in \mathbb {R}$, а $k=1,2,...,n$$k=1,2,...,n$.

В комплексной форме согласно формуле Эйлера такой многочлен записывается следующим образом:

$f(x)=\underset{k=-<!--\; -\; -->n}{\overset{k=n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{c}_k{e}^{ikx}$$f(x)=\sum _{k=-n}^{k=n}c_{k}e^{ikx}$,

где $c_0=\frac{a_0}{2},c_k=\frac{(a_k-<!--\; -\; -->i{b}_k)}{2},c_{-<!--\; -\; -->k}=\frac{(a_k+i{b}_k)}{2}$$c_{0}={\frac {a_{0}}{2}},c_{k}={\frac {(a_{k}-ib_{k})}{2}},c_{-k}={\frac {(a_{k}+ib_{k})}{2}}$.

Эта функция бесконечно дифференцируема и $2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$2\pi$-периодична — непрерывна на единичном круге.

Тригонометрические многочлены являются важнейшим средством приближения функций, используются для интерполяции и решения дифференциальных уравнений.

Согласно теореме Вейерштрасса для любой непрерывной на круге функции существует последовательность тригонометрических многочленов, которая к ней равномерно сходится.

Тригонометрический многочлен является частичной суммой ряда Фурье. Согласно теореме Фейера последовательность арифметических средних частичных сумм ряда Фурье равномерно сходится к непрерывной на круге функции. Это даёт простой конструктивный метод построения равномерно сходящейся последовательности тригонометрических многочленов.

ЛитератураПравить

• Математический энциклопедический словарь. — М.: «Сов. энциклопедия », 1988. — С. 847.
• Жук В.В., Натансон Г.И. Тригонометрические ряды Фурье и элементы теории аппроксимации. — Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1983. — С. 188.