Теорема полноты

Теорема полноты — утверждение о свойствах представлений конечных групп о том, что любую функцию на конечной группе можно разложить по элементам матрицы неприводимых представлений этой группы. Коэффициенты этого разложения называются коэффициентами Фурье по аналогии с теорией тригонометрических рядов. Играет важную роль при применении методов теории групп в физике.

ФормулировкаПравить

Любую функцию $F(h)$$F(h)$  на конечной группе $G$$G$  можно разложить по матричным элементам неприводимых представлений:

$F(h)=\underset{i=1}{\overset{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\underset{m,n=1}{\overset{s_i}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{C}_{mn}^{(i)}{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_{mn}^{(i)}(h)$$F(h)=\sum _{i=1}^{\sigma }\sum _{m,n=1}^{s_{i}}C_{mn}^{(i)}\tau _{mn}^{(i)}(h)$ ,

здесь: $\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}$$\sigma$  - общее число неэквивалентных неприводимых представлений группы $G$$G$ , $s_i$$s_{i}$  - число векторов канонического базиса $i$$i$  - го неприводимого представления, ${\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_{mn}^{(i)}$$\tau _{mn}^{(i)}$  - элементы матрицы $i$$i$  - го неприводимого представления.

ДоказательствоПравить

Зададим регулярное представление $T$$T$  на группе $G$$G$  при помощи оператора $T(g)$$T(g)$ , действующего в пространстве $\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}$$\Phi$  функций на группе и определенного соотношением

$T(g)\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(h)=\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}(h)\equiv <!--\; \equiv \; -->\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(hg)$$T(g)\phi (h)=\psi (h)\equiv \phi (hg)$  (1),

где $\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(h)$$\phi (h)$  - произвольная функция на группе.

Оператор $T(g)$$T(g)$  задаёт представление $T$$T$  группы $G$$G$  в пространстве $\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}$$\Phi$ , так как $T(e)=E$$T(e)=E$  и $T(g_1)T(g_2)=T(g_1{g}_2)$$T(g_{1})T(g_{2})=T(g_{1}g_{2})$  в силу $T(g_1)T(g_2)\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(h)=T(g_1)\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}(h)=\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}(h{g}_1)=\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(h{g}_1{g}_2)=T(g_1{g}_2)\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(h)$$T(g_{1})T(g_{2})\phi (h)=T(g_{1})\psi (h)=\psi (hg_{1})=\phi (hg_{1}g_{2})=T(g_{1}g_{2})\phi (h)$ .

Пространство $\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}$$\Phi$  можно представить в виде суммы подпространств:

$\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}=\underset{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}=1}{\overset{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\underset{m=1}{\overset{m_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}}_m^{(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->})}$$\Phi =\sum _{\alpha =1}^{\sigma }\sum _{m=1}^{m_{\alpha }}\Phi _{m}^{(\alpha )}$ 

вследствие того, что, как всякое представление конечной группы, представление $T$$T$  является суммой неприводимых представлений. Здесь ${\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}}_m^{(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->})},m=1,...,m_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}$$\Phi _{m}^{(\alpha )},m=1,...,m_{\alpha }$  - подпространства, преобразующиеся под действием оператора $T(g)$$T(g)$  по неприводимому представлению ${\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}$$\tau _{\alpha }$ , $m_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}$$m_{\alpha }$  - целое число, означающее число вхождений представления ${\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}$$\tau _{\alpha }$  в регулярное представление $T$$T$ .

Воспользуемся тем, что в каждом подпространстве ${\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}}_m^{(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->})}$$\Phi _{m}^{(\alpha )}$  существует канонический базис, совокупность функций ${\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_j^{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}m}(h),j=1,2,...,s_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}$$\phi _{j}^{\alpha m}(h),j=1,2,...,s_{\alpha }$ , преобразующихся под действием операторов $T(g)$$T(g)$  как:

$T(g){\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_j^{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}m}(h)=\underset{l=1}{\overset{s_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_{lj}^{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}(g){\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_l^{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}m}(h)$$T(g)\phi _{j}^{\alpha m}(h)=\sum _{l=1}^{s_{\alpha }}\tau _{lj}^{\alpha }(g)\phi _{l}^{\alpha m}(h)$  (2)

Базис в пространстве $\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}$$\Phi$  можно получить, объединив базисные функции всех его подпространств и вычислив таким образом коэффициенты $C_j^{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}m}$$C_{j}^{\alpha m}$ . В результате получим:

$F(h)=\underset{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}=1}{\overset{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\underset{m=1}{\overset{m_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\underset{j=1}{\overset{s_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{C}_j^{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}m}{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_j^{(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}m)}$$F(h)=\sum _{\alpha =1}^{\sigma }\sum _{m=1}^{m_{\alpha }}\sum _{j=1}^{s_{\alpha }}C_{j}^{\alpha m}\phi _{j}^{(\alpha m)}$  (3)

Для завершения доказательства определим функции ${\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_j^{(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}m)}$$\phi _{j}^{(\alpha m)}$ . Из формул (1, 2) получаем:

${\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_j^{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}m}(hg)=\underset{l=1}{\overset{s_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_{lj}^{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}(g){\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_l^{(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}m)}(h)$$\phi _{j}^{\alpha m}(hg)=\sum _{l=1}^{s_{\alpha }}\tau _{lj}^{\alpha }(g)\phi _{l}^{(\alpha m)}(h)$ 

Положим в этой формуле $h=e$$h=e$ . Формула примет вид:

${\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_j^{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}m}(g)=\underset{l=1}{\overset{s_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_{lj}^{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}(g){\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_l^{(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}m)}(e)$$\phi _{j}^{\alpha m}(g)=\sum _{l=1}^{s_{\alpha }}\tau _{lj}^{\alpha }(g)\phi _{l}^{(\alpha m)}(e)$ 

Таким образом, всякая функция ${\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_j^{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}m}(g)$$\phi _{j}^{\alpha m}(g)$  раскладывается в ряд по матричным элементам ${\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_{lj}^{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}(g),l=1,\mathrm{2....},s_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}$$\tau _{lj}^{\alpha }(g),l=1,2....,s_{\alpha }$ . Из равенства (3) следует, что и произвольная функция $F(h)$$F(h)$  обладает таким же свойством.

См. такжеПравить

• Коэффициенты Фурье

ЛитератураПравить

• Любарский Г.Я. Теория групп и физика. — М.: Наука, 1986. — 224 с.