Расширение группы

Расширение группы — группа, содержащая заданную группу в качестве нормальной подгруппы. В задаче расширения как правило заданы нормальная подгруппа $N$$N$ и факторгруппа $Q$$Q$, и ищется расширение $G\supset <!--\; \supset \; -->N$$G\supset N$ такое, что $G/N\cong <!--\; \cong \; -->Q$$G/N\cong Q$, или, что эквивалентно, такая $G$$G$, что существует короткая точная последовательность:

$1\to <!--\; \to \; -->N\to <!--\; \to \; -->G\to <!--\; \to \; -->Q\to <!--\; \to \; -->1$$1\to N\to G\to Q\to 1$.

В этом случае говорят, что $G$$G$ является расширением $Q$$Q$ при помощи $N$$N$ (иногда используется другая формулировка: группа $G$$G$ является расширением $N$$N$ с помощью $Q$$Q$).

Расширение называется центральным расширением, если подгруппа $N$$N$ лежит в центре группы $G$$G$.

ПримерыПравить

Группы ${\mathbb{Z}}_4$$\mathbb {Z} _{4}$  также как ${\mathbb{Z}}_2\times <!--\; \times \; -->{\mathbb{Z}}_2$$\mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{2}$  являются расширениями ${\mathbb{Z}}_2$${\mathbb {Z}}_{2}$  при помощи ${\mathbb{Z}}_2$${\mathbb {Z}}_{2}$ .

Очевидное расширение — прямое произведение: если $G=K\times <!--\; \times \; -->H$$G=K\times H$ , то $G$$G$  является как расширением $H$$H$ , так и $K$$K$ . Если $G$$G$  является полупрямым произведением групп $K$$K$  и $H$$H$  ($G=K⋊<!--\; ⋊\; -->H$$G=K\rtimes H$ ), то $G$$G$  является расширением $H$$H$  с помощью $K$$K$ .

Сплетения групп^[en] дают дальнейшие примеры расширений.

СвойстваПравить

Если потребовать, что $G$$G$  и $Q$$Q$  были абелевыми группами, то множество классов изоморфизмов расширения группы $Q$$Q$  с помощью заданной (абелевой) группы $N$$N$ , фактически, является группой, которая изоморфна:

${\mathrm{Ext}}_{\mathbb{Z}}^1<!--\; \; -->(Q,N)$$\operatorname {Ext} _{\mathbb {Z} }^{1}(Q,N)$ 

(функтор Ext). Некоторые другие общие классы расширений известны, но нет теории, которая рассматривает все возможные расширения одновременно, в этом смысле задача расширения группы обычно считается трудной.

Поскольку любая конечная группа $G$$G$  обладает максимальной нормальной подгруппой $N$$N$  с простой факторгруппой $G/N$$G/N$ , все конечные группы могут быть построены как композиционные ряды^[en] $\{A_i\}$$\{A_{i}\}$ , где каждая группа $A_{i+1}$$A_{{i+1}}$  является расширением $A_i$$A_{i}$  при помощи некоторой простой группы. Этот факт стал одним из важных стимулов для решения задачи классификации простых конечных групп.

Классификация расширенийПравить

Решение задачи расширения означает классификацию всех расширений группы $H$$H$  при помощи $K$$K$ , или, более конкретно, выражение всех таких расширений в терминах математических объектов, которые в каком-либо их смысле проще (легко вычислить или хорошо изучены). В общем случае эта задача очень трудна, и все наиболее полезные результаты классифицируют расширения, которые удовлетворяют некоторым дополнительным условиям.

Для задачи классификации важным понятием является эквивалентности расширений; говорят, что расширения:

$1\to <!--\; \to \; -->K\stackrel{i}{\to <!--\; \to \; -->}G\stackrel{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{\to <!--\; \to \; -->}H\to <!--\; \to \; -->1$$1\to K{\stackrel {i}{{}\to {}}}G{\stackrel {\pi }{{}\to {}}}H\to 1$ 

и

$1\to <!--\; \to \; -->K\stackrel{i^{\prime }}{\to <!--\; \to \; -->}{G}^{\prime }\stackrel{{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}^{\prime }}{\to <!--\; \to \; -->}H\to <!--\; \to \; -->1$$1\to K{\stackrel {i'}{{}\to {}}}G'{\stackrel {\pi '}{{}\to {}}}H\to 1$ 

эквивалентны (или конгруэнтны), если существует изоморфизм группы $T:G\to <!--\; \to \; -->G^{\prime }$$T:G\to G'$ , делающий коммутативной диаграмму:

 

Фактически, достаточно иметь группу гомоморфизмов. Вследствие предполагаемой коммутативности диаграммы отображение вынужденно будет изоморфизмом по короткой лемме о пяти гомоморфизмах^[en].

Может случиться, что расширения $1\to <!--\; \to \; -->K\to <!--\; \to \; -->G\to <!--\; \to \; -->H\to <!--\; \to \; -->1$$1\to K\to G\to H\to 1$  и $1\to <!--\; \to \; -->K\to <!--\; \to \; -->G^{\mathrm{\prime <!--\; \prime \; -->}}\to <!--\; \to \; -->H\to <!--\; \to \; -->1$$1\to K\to G^{\prime }\to H\to 1$  не эквивалентны, но $G$$G$  и $G^{\prime }$$G'$  изоморфны как группы. Например, имеется $8$$8$  неэквивалентных расширений четверной группы Клейна с помощью $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$${\mathbb {Z}}/2{\mathbb {Z}}$ , но существуют, с точностью до изоморфизма, только четыре группы порядка 8, содержащие нормальную подгруппу порядка $2$$2$  с факторгруппой, изоморфной четверной группе Клейна.

Тривиальные расширенияПравить

Тривиальное расширение — это расширение:

$1\to <!--\; \to \; -->K\to <!--\; \to \; -->G\to <!--\; \to \; -->H\to <!--\; \to \; -->1$$1\to K\to G\to H\to 1$ ,

которое эквивалентно расширению:

$1\to <!--\; \to \; -->K\to <!--\; \to \; -->K\times <!--\; \times \; -->H\to <!--\; \to \; -->H\to <!--\; \to \; -->1$$1\to K\to K\times H\to H\to 1$ ,

где левая и правая стрелки являются соответственно включением и проекцией каждого множителя $K\times <!--\; \times \; -->H$$K\times H$ .

Классификации расщепляемых расширенийПравить

Расщепляемое расширение — это расширение:

$1\to <!--\; \to \; -->K\to <!--\; \to \; -->G\to <!--\; \to \; -->H\to <!--\; \to \; -->1$$1\to K\to G\to H\to 1$ 

с гомоморфизмом $s:<!--\; :\; -->H\to <!--\; \to \; -->G$$s\colon H\to G$ , таким что переход от $H$$H$  к $G$$G$  с помощью $s$$s$ , а затем обратно к $H$$H$  по факторотображению короткой точной последовательности порождает тождественное отображение на $H$$H$ , то есть $\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\circ <!--\; \circ \; -->s={\mathrm{i}\mathrm{d}}_H$$\pi \circ s=\mathrm {id} _{H}$ . В этой ситуации обычно говорят, что $s$$s$  расщепляет вышеупомянутую точную последовательность.

Расщепляемые расширения очень легко классифицировать, поскольку расширение расщепляемо тогда и только тогда, когда группа $G$$G$  является полупрямым произведением $K$$K$  и $H$$H$ . Полупрямые произведения сами по себе легко классифицировать, поскольку они взаимно однозначно соответствуют гомоморфизмам $H\to <!--\; \to \; -->\mathrm{Aut}<!--\; \; -->(K)$$H\to \operatorname {Aut} (K)$ , где $\mathrm{Aut}<!--\; \; -->(K)$$\operatorname {Aut} (K)$  является группой автоморфизмов $K$$K$ .

Центральное расширениеПравить

Центральное расширение группы $G$$G$  является короткой точной последовательностью групп

$1\to <!--\; \to \; -->A\to <!--\; \to \; -->E\to <!--\; \to \; -->G\to <!--\; \to \; -->1$$1\to A\to E\to G\to 1$ 

такой что $A$$A$  лежит в $Z(E)$$Z(E)$  (центре группы $E$$E$ ). Множество классов изоморфизмов центральных расширений группы $G$$G$  с помощью $A$$A$  (где $G$$G$  действует тривиально на $A$$A$ ) является взаимно-однозначным соответствием с группой когомологий^[en] $H^2(G,A)$$H^{2}(G,A)$ .

Примеры центральных расширений могут быть построены путём взятия любой группы $G$$G$  и любой абелевой группы $A$$A$ , полагая $E$$E$  равным $A\times <!--\; \times \; -->G$$A\times G$ . Этот вид расщепляемого примера (расщепляемое расширение в смысле задачи расширения, поскольку $G$$G$  является подгруппой $E$$E$ ) не представляет особого интереса, поскольку он соответствует элементу $0$$0$  в $H^2(G,A)$$H^{2}(G,A)$  согласно вышеупомянутому соответствию. Более серьёзные примеры найдены в теории проективных представлений в случаях, когда проективные представления не могут быть подняты до обычных линейных представлений.

В случае конечных совершенных групп имеется универсальное совершенное центральное расширение^[en].

Аналогично, центральное расширение алгебры Ли $\mathfrak{g}$$\mathfrak{g}$  является точной последовательностью

$0\to <!--\; \to \; -->\mathfrak{a}\to <!--\; \to \; -->\mathfrak{e}\to <!--\; \to \; -->\mathfrak{g}\to <!--\; \to \; -->0,$$0\rightarrow {\mathfrak {a}}\rightarrow {\mathfrak {e}}\rightarrow {\mathfrak {g}}\rightarrow 0,$ 

такой что $\mathfrak{a}$$\mathfrak{a}$  находится в центре $\mathfrak{e}$${\mathfrak {e}}$ .

Существует общая теория центральных расширений в многообразиях Мальцева.

Группы ЛиПравить

В теории групп Ли центральные расширения возникают в связи с алгебраической топологией. Грубо говоря, центральные расширения групп Ли с помощью дискретных групп это то же самое, что накрывающие группы^[en]. Более точно, связное накрывающее пространство $G^{\ast <!--\; \ast \; -->}$$G^{\ast }$  связной группы Ли $G$$G$  является естественным центральным расширением группы $G$$G$ , при этом проекция

$\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}:<!--\; :\; -->G^{\ast <!--\; \ast \; -->}\to <!--\; \to \; -->G$$\pi \colon G^{*}\to G$ 

является группой гомоморфизмов и сюръективна. (Структура группы на $G^{\star <!--\; \star \; -->}$$G^{\star }$  зависит от выбора отображения тождественного элемента в тождественный элемент $G$$G$ .) Например, когда $G^{\star <!--\; \star \; -->}$$G^{\star }$  является универсальным накрытием группы $G$$G$ , ядро $\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$\pi$  является фундаментальной группой группы $G$$G$ , которое, как известно, абелево (H-пространство). Обратно, если дана группа Ли $G$$G$  и дискретная центральная подгруппа $Z$$Z$ , факторгруппа $G/Z$$G/Z$  является группой Ли, а $G$$G$  является её накрывающим пространством.

Более общо, если группы $A$$A$ , $E$$E$  и $G$$G$  в центральном расширении являются группами Ли и отображения между ними являются гомоморфизмами группы Ли, то если алгеброй Ли группы $G$$G$  является $\mathfrak{g}$$\mathfrak g$ , алгеброй $A$$A$  является $\mathfrak{a}$${\mathfrak a}$ , а алгеброй $E$$E$  является $\mathfrak{e}$${\mathfrak {e}}$ , то $\mathfrak{e}$${\mathfrak {e}}$  является центральным расширением алгебры Ли^[en] $\mathfrak{g}$$\mathfrak g$  с помощью $\mathbf{a}$$\mathbf {a}$ . В терминологии теоретической физики генераторы алгебры $\mathfrak{a}$${\mathfrak a}$  называются центральными зарядами^[en]. Эти генераторы лежат в центре алгебры $\mathfrak{e}$${\mathfrak {e}}$ . По теореме Нётер генераторы групп симметрии соответствуют сохраняющимся величинам и называются зарядами.

Основные примеры центральных расширений как накрывающих групп:

• спинорные группы, которые дважды накрывают специальные ортогональные группы, которые (в чётной размерности) дважды накрывают проективную ортогональную группу^[en];
• метаплектические группы^[en], которые дважды накрывают симплектические группы.

Случай $S{L}_2(\mathbf{R})$$SL_{2}(\mathbf {R} )$  вовлекает фундаментальную группу, которая является бесконечной циклической группой; здесь центральное расширение хорошо известно из теории модулярных форм для случая форм с весом $\frac{1}{2}$${\tfrac {1}{2}}$ . Соответствующее проективное представление является представлением Вейля^[en], построенным из преобразования Фурье, в этом случае, на вещественной оси. Метаплектические группы появляются также в квантовой механике.

См. такжеПравить

• Расширение алгебры Ли^[en]
• Расширение кольца^[en]
• Алгебра Вирасоро
• HNN-расширение^[en]
• Расширение топологической группы^[en]

ЛитератураПравить

• David S. Dummit, Richard M. Foote. Abstract algebra. — third edition. — Hoboken, NJ: John Wiley & Sons, Inc., 2004. — ISBN 0-471-43334-9.
• Маклейн С. Гомология. — М.: Мир, 1966.
• Taylor R.L. Covering groups of non connected topological groups // Proceedings of the American Mathematical Society. — 1954. — Т. 5. — С. 753–768.
• Brown R., Mucuk O. Covering groups of non-connected topological groups revisited // Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. — 1994. — Т. 115. — С. 97–110.
• Brown R., Porter T. On the Schreier theory of non-abelian extensions: generalisations and computations // Proceedings of the Royal Irish Academy. — 1996. — Т. 96A. — С. 213–227.
• Janelidze G., Kelly G. M. Central extensions in Malt'sev varieties // Theory and Applications of Categories. — 2000. — Т. 7. — С. 219–226.
• Morandi P. J. Group Extensions and $H^3$$H^{3}$ .
• Group extensions  (неопр.). Group​Names. Дата обращения: 14 июня 2019.