Накрытие

Накрытие — непрерывное сюръективное отображение $p:X\to <!--\; \to \; -->Y$$p:X\to Y$ линейно связного пространства $X$$X$ на линейно связное пространство $Y$$Y$, такое, что у любой точки $y\in <!--\; \in \; -->Y$$y\in Y$ найдётся окрестность $U\subset <!--\; \subset \; -->Y$$U\subset Y$, полный прообраз которой $p^{-<!--\; -\; -->1}(U)$$p^{{-1}}(U)$ представляет собой объединение попарно непересекающихся областей $V_k\subset <!--\; \subset \; -->X$$V_{k}\subset X$:

Пример накрытия: накрытие $\mathbb{R}\to <!--\; \to \; -->S^1$$\mathbb {R} \to S^{1}$ окружности $S^1$$S^{1}$ спиралью, гомеоморфной пространству вещественных чисел $\mathbb{R}$$\mathbb {R}$

$p^{-<!--\; -\; -->1}(U)=V_1\cup <!--\; \cup \; -->V_2\cup <!--\; \cup \; -->\dots <!--\; \dots \; -->$$p^{{-1}}(U)=V_{1}\cup V_{2}\cup \dots$,

причём на каждой области $V_k$$V_{k}$ отображение $p:V_k\to <!--\; \to \; -->U$$p:\,V_{k}\to U$ является гомеоморфизмом между $V_k$$V_{k}$ и $U$$U$.

Формальное определениеПравить

 

Отображение $p:X\to <!--\; \to \; -->Y$$p:X\to Y$  линейно связного пространства $X$$X$  на линейно связное пространство $Y$$Y$  называется накрытием, если у любой точки $y\in <!--\; \in \; -->Y$$y\in Y$  имеется окрестность $U\subset <!--\; \subset \; -->Y$$U\subset Y$ , для которой существует гомеоморфизм $h:p^{-<!--\; -\; -->1}(U)\to <!--\; \to \; -->U\times <!--\; \times \; -->\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}$$h:p^{-1}(U)\to U\times \Gamma$ , где $\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}$$\Gamma$  — дискретное пространство, такое что если $\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}:U\times <!--\; \times \; -->\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}\to <!--\; \to \; -->U$$\pi:U\times \Gamma\to U$  обозначает естественную проекцию, то

$p{|}_{p^{-<!--\; -\; -->1}(U)}=\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\circ <!--\; \circ \; -->h$$p|_{p^{-1}(U)}=\pi\circ h$ .

Связанные определенияПравить

• Пространство $Y$$Y$  называется базой накрытия, а $X$$X$  — пространством накрытия (или накрывающим пространством).
• Прообраз $p^{-<!--\; -\; -->1}(y)$$p^{{-1}}(y)$  точки $y\in <!--\; \in \; -->Y$$y\in Y$  называют слоем над точкой $y$$y$ .
• Число областей $V_k$$V_{k}$  в полном прообразе $p^{-<!--\; -\; -->1}(U)$$p^{{-1}}(U)$  называется числом листов.
  • Если это число конечно и равно $n$$n$ , то накрытие называется $n$$n$ -листным.
• Накрытие $p:<!--\; :\; -->\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{Y}\to <!--\; \to \; -->Y$$p\colon {\tilde {Y}}\to Y$  называется универсальным если для любого другого накрытия $q:<!--\; :\; -->X\to <!--\; \to \; -->Y$$q\colon X\to Y$  существует накрытие $s:<!--\; :\; -->\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{Y}\to <!--\; \to \; -->X$$s\colon {\tilde {Y}}\to X$  такое, что $p=q\circ <!--\; \circ \; -->s$$p=q\circ s$ .

ПримерыПравить

• Пусть $S^1$$S^{1}$  обозначает единичную окружность комплексной плоскости $S^1=\{z\in <!--\; \in \; -->\mathbb{C}||z|=1\}$$S^{1}=\{z\in {{\mathbb C}||z|=1}\}$ .
  • $p:\mathbb{R}\to <!--\; \to \; -->S^1$$p:{{\mathbb R}}\to S^{1}$ ,   $p:x\mapsto <!--\; \mapsto \; -->e^{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}ix}$$p:x\mapsto e^{{2\pi ix}}$ .
  • $p:S^1\to <!--\; \to \; -->S^1$$p:S^{1}\to S^{1}$ ,   $p:z\mapsto <!--\; \mapsto \; -->z^k$$p:z\mapsto z^{k}$ , где $k\ne <!--\; \ne \; -->0$$k\neq 0$ , $k\in <!--\; \in \; -->\mathbb{Z}$$k\in {{\mathbb Z}}$ .

СвойстваПравить

• Накрытия являются локальными гомеоморфизмами
• Накрытия являются частным случаем локально тривиальных расслоений. Их можно рассматривать как локально тривиальные расслоения с дискретным слоем.
• Все двулистные накрытия регулярны.
• Универсальное накрытие регулярно.

Связь с фундаментальной группойПравить

Обычно накрытие рассматривается в предположении связности $X$$X$  и $Y$$Y$  и также локальной односвязности $Y$$Y$ . При этих предположениях устанавливается связь между фундаментальными группами ${\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}_1(X,x_0)$$\pi _{1}(X,x_{0})$  и ${\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}_1(Y,y_0)$$\pi _{1}(Y,y_{0})$ : если $p(x_0)=y_0$$p(x_{0})=y_{0}$ , то индуцированный гомоморфизм $p:{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}_1(X,x_0)\to <!--\; \to \; -->{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}_1(Y,y_0)$$p:\pi _{1}(X,x_{0})\to \pi _{1}(Y,y_{0})$ , отображает ${\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}_1(X,x_0)$$\pi _{1}(X,x_{0})$  изоморфно на подгруппу в ${\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}_1(Y,y_0)$$\pi _{1}(Y,y_{0})$  и, меняя точку $x_0$$x_{0}$  в $p^{-<!--\; -\; -->1}(y_0)$$p^{{-1}}(y_{0})$ , можно получить в точности все подгруппы из некоторого класса сопряжённых подгрупп.

Если этот класс состоит из одной подгруппы $H$$H$  (то есть $H$$H$  — нормальный делитель), то накрытие называется регулярным. В этом случае возникает свободное действие группы $G={\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}_1(Y,y_0)/H$$G=\pi _{1}(Y,y_{0})/H$  на $X$$X$ , причём $p$$p$  оказывается факторотображением на пространство орбит $Y$$Y$ . Вообще, свободные действия дискретных групп — обычный источник регулярных накрытий (над пространством орбит, хотя и не всякое такое действие задает накрытие, пространство орбит может оказаться неотделимым), но это так для конечных групп. Это действие порождается поднятием петель: если петле $q:[0,1]\to <!--\; \to \; -->Y$$q:[0,1]\to Y$ , $q(0)=q(1)=y_0$$q(0)=q(1)=y_{0}$ , сопоставить единственный путь $\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{q}:[0,1]\to <!--\; \to \; -->X$${\tilde q}:[0,1]\to X$ , для которого $\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{q}(0)=x_0$${\tilde q}(0)=x_{0}$  и $p\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{q}=q$$p{\tilde q}=q$ , то точка $\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{q}(1)$${\tilde q}(1)$  будет зависеть только от класса этой петли в $G$$G$  и от точки $x_0$$x_{0}$ . Таким образом, элементу из $G$$G$  отвечает перестановка точек в $p^{-<!--\; -\; -->1}(y_0)$$p^{{-1}}(y_{0})$ . Эта перестановка не имеет неподвижных точек, и непрерывно зависит от точки $y_0$$y_0$ . Это определяет гомеоморфизм $X$$X$  коммутирующий с $p$$p$ .

 

Гавайская серьга — пример пространства, не имеющего универсального накрытия

 

Пространство неодносвязного универсального накрытия

В общем случае эта конструкция определяет лишь перестановку в $p^{-<!--\; -\; -->1}(y_0)$$p^{{-1}}(y_{0})$ , то есть имеется действие ${\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}_1(Y,y_0)$$\pi _{1}(Y,y_{0})$  на $p^{-<!--\; -\; -->1}(y_0)$$p^{{-1}}(y_{0})$ , называемое монодромией накрытия. Частным случаем регулярного накрытия является универсальное накрытие, для которого $G={\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}_1(Y,y_0)$$G=\pi _{1}(Y,y_{0})$  или, что эквивалентно, X — односвязно.

Вообще, по каждой группе $H\subset <!--\; \subset \; -->{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}_1(Y,y_0)$$H\subset \pi _{1}(Y,y_{0})$  однозначно строится накрытие $p:X\to <!--\; \to \; -->Y$$p:X\to Y$ , для которого образ ${\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}_1(X,x_0)$$\pi _{1}(X,x_{0})$  есть $H$$H$ .

Для любого отображения $f$$f$  линейно связного пространства $(Z,z_0)$$(Z,z_{0})$  в $(Y,y_0)$$(Y,y_{0})$  поднятие его до отображения $\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{f}:(Z,z_0)\to <!--\; \to \; -->(X,x_0)$${\tilde f}:(Z,z_{0})\to (X,x_{0})$  существует тогда и только тогда, когда образ $f({\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}_1(Z,z_0))$$f(\pi _{1}(Z,z_{0}))$  лежит в $H$$H$ . Между накрытиями $Y$$Y$  имеется отношение частичного порядка (накрытие накрытия есть накрытие), двойственное включению подгрупп в ${\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}_1(Y,y_0)$$\pi _{1}(Y,y_{0})$ . В частности, универсальное накрытие является единственным максимальным элементом.

ЛитератураПравить

• Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия. Методы и приложения. — М.: Наука, 1986.
• Болтянский В. Г., Ефремович В. А. Наглядная топология. — М.: Наука, 1982. — (Библиотечка «Квант», вып. 21).