Спинорная группа

Запрос «Spin» перенаправляется сюда; о музыкальном журнале см. Spin (журнал).

Спинорная группа — подмножество элементов алгебры Клиффорда над $V$$V$ (со скалярным произведением), состоящее из элементов вида $q_1\cdot <!--\; \cdot \; -->q_2\cdots <!--\; \cdots \; -->q_{2n}$$q_{1}\cdot q_{2}\cdots q_{2n}$, где $q_i\in <!--\; \in \; -->V$$q_{i}\in V$ — единичные векторы. Операцией в спинорной группе является умножение в алгебре Клиффорда.

Спинорная группа над евклидовым пространством ${\mathbb{R}}^n$$\mathbb {R} ^{n}$ обычно обозначается $\mathrm{Spin}<!--\; \; -->(n)$$\operatorname {Spin} (n)$. Существует короткая точная последовательность

$1\to <!--\; \to \; -->{\mathbb{Z}}_2\to <!--\; \to \; -->\mathrm{Spin}<!--\; \; -->(n)\to <!--\; \to \; -->\mathrm{SO}<!--\; \; -->(n)\to <!--\; \to \; -->1$$1\to \mathbb {Z} _{2}\to \operatorname {Spin} (n)\to \operatorname {SO} (n)\to 1$

Таким образом спинорная группа является двулистным накрытием специальной ортогональной группы $\mathrm{SO}<!--\; \; -->(n)$$\operatorname {SO} (n)$. Гомоморфизм $\mathrm{Spin}<!--\; \; -->(n)\to <!--\; \to \; -->\mathrm{SO}<!--\; \; -->(n)$$\operatorname {Spin} (n)\to \operatorname {SO} (n)$ может быть построен следующим образом: Каждому единичному вектору q можно сопоставить отражение $R_q$$R_{q}$ относительно гиперплоскости, перпендикулярной q. Таким образом, элементу спинорной группы $q_1\cdot <!--\; \cdot \; -->q_2\cdots <!--\; \cdots \; -->q_{2n}$$q_{1}\cdot q_{2}\cdots q_{2n}$ можно сопоставить композицию отражений

$R_{q_1,}\circ <!--\; \circ \; -->\cdots <!--\; \cdots \; -->\circ <!--\; \circ \; -->R_{q_{2n}}$$R_{q_{1},}\circ \cdots \circ R_{q_{2n}}$

которая принадлежит группе $\mathrm{SO}<!--\; \; -->(n)$$\operatorname {SO} (n)$. Проективные представления накрываемой группы $\mathrm{SO}<!--\; \; -->(n)$$\operatorname {SO} (n)$ находятся при этом во взаимно-однозначном соответствии с представлениями её накрытия $\mathrm{Spin}<!--\; \; -->(n)$$\operatorname {Spin} (n)$.

Строение первых спинорных группПравить

$\mathrm{Spin}<!--\; \; -->(1)\simeq <!--\; \simeq \; -->\mathrm{O}<!--\; \; -->(1)\simeq <!--\; \simeq \; -->{\mathbb{Z}}_2\simeq <!--\; \simeq \; -->{\mathbb{S}}^0$$\operatorname {Spin} (1)\simeq \operatorname {O} (1)\simeq \mathbb {Z} _{2}\simeq \mathbb {S} ^{0}$ 

$\mathrm{Spin}<!--\; \; -->(2)\simeq <!--\; \simeq \; -->\mathrm{U}<!--\; \; -->(1)\simeq <!--\; \simeq \; -->{\mathbb{S}}^1$$\operatorname {Spin} (2)\simeq \operatorname {U} (1)\simeq \mathbb {S} ^{1}$ 

$\mathrm{Spin}<!--\; \; -->(3)\simeq <!--\; \simeq \; -->\mathrm{Sp}<!--\; \; -->(1)\simeq <!--\; \simeq \; -->\mathrm{SU}<!--\; \; -->(2)\simeq <!--\; \simeq \; -->{\mathbb{S}}^3$$\operatorname {Spin} (3)\simeq \operatorname {Sp} (1)\simeq \operatorname {SU} (2)\simeq \mathbb {S} ^{3}$ 

$\mathrm{Spin}<!--\; \; -->(4)\simeq <!--\; \simeq \; -->\mathrm{Sp}<!--\; \; -->(1)\times <!--\; \times \; -->\mathrm{Sp}<!--\; \; -->(1)\simeq <!--\; \simeq \; -->\mathrm{SU}<!--\; \; -->(2)\times <!--\; \times \; -->\mathrm{SU}<!--\; \; -->(2)\simeq <!--\; \simeq \; -->{\mathbb{S}}^3\times <!--\; \times \; -->{\mathbb{S}}^3$$\operatorname {Spin} (4)\simeq \operatorname {Sp} (1){\times }\operatorname {Sp} (1)\simeq \operatorname {SU} (2){\times }\operatorname {SU} (2)\simeq \mathbb {S} ^{3}{\times }\mathbb {S} ^{3}$ 

$\mathrm{Spin}<!--\; \; -->(5)\simeq <!--\; \simeq \; -->\mathrm{Sp}<!--\; \; -->(2)$$\operatorname {Spin} (5)\simeq \operatorname {Sp} (2)$ 

$\mathrm{Spin}<!--\; \; -->(6)\simeq <!--\; \simeq \; -->\mathrm{SU}<!--\; \; -->(4)$$\operatorname {Spin} (6)\simeq \operatorname {SU} (4)$