H-пространство

H-пространство — обобщение понятия топологической группы определённого типа.

ОпределениеПравить

Связное топологическое пространство $X$$X$  вместе с непрерывным отображением

$\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}:<!--\; :\; -->X\times <!--\; \times \; -->X\to <!--\; \to \; -->X$$\mu \colon X\times X\to X$ 

с единичным элементом, то есть элементом $e\in <!--\; \in \; -->X$$e\in X$  такое, что

$\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}(e,x)=\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}(x,e)=x$$\mu (e,x)=\mu (x,e)=x$ 

для любого $x\in <!--\; \in \; -->X$$x\in X$  называется H-пространством.

ЗамечанияПравить

• Иногда ограничиваются более слабым условием, что отображения $x\mapsto <!--\; \mapsto \; -->\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}(e,x)$$x\mapsto \mu (e,x)$  и $x\mapsto <!--\; \mapsto \; -->\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}(x,e)$$x\mapsto \mu (x,e)$  гомотопны тождественному (иногда с фиксированным $e\in <!--\; \in \; -->X$$e\in X$ ).
  • Данные три определения являются эквивалентными для СW-комплексов.

ПримерыПравить

• Каждая топологическая группа является H-пространством.
• Для произвольного топологического пространства $X$$X$  пространство ${\mathcal{H}}_X$${\mathcal {H}}_{X}$  всех непрерывных отображений $X\to <!--\; \to \; -->X$$X\to X$ , гомотопных тождественному, является H-пространством.
  • При этом $\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}:<!--\; :\; -->{\mathcal{H}}_X\times <!--\; \times \; -->{\mathcal{H}}_X\to <!--\; \to \; -->{\mathcal{H}}_X$$\mu \colon {\mathcal {H}}_{X}\times {\mathcal {H}}_{X}\to {\mathcal {H}}_{X}$  можно определить как композицию $\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}(f,g)=f\circ <!--\; \circ \; -->g$$\mu (f,g)=f\circ g$ .

• Среди сфер, только ${\mathbb{S}}^0$$\mathbb {S} ^{0}$ , ${\mathbb{S}}^1$$\mathbb {S} ^{1}$ , ${\mathbb{S}}^3$$\mathbb {S} ^{3}$  и ${\mathbb{S}}^7$$\mathbb {S} ^{7}$  являются H-пространствами. При этом
  • Каждое из этих пространств образует подмножество элементов с единичной нормой среди  вещественных чисел, комплексных чисел, кватернионов и октонионов соответственно.
  • ${\mathbb{S}}^0$$\mathbb {S} ^{0}$ , ${\mathbb{S}}^1$$\mathbb {S} ^{1}$  и ${\mathbb{S}}^3$$\mathbb {S} ^{3}$  являются группами Ли, а ${\mathbb{S}}^7$$\mathbb {S} ^{7}$  — нет.

СвойстваПравить

• Фундаментальная группа H-пространства является абелевой.

См. такжеПравить

• Топологическая группа
• Когомологии Александрова — Чеха
• Алгебра Хопфа

СсылкиПравить

• Hatcher, Allen (2002), Algebraic Topology, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 0-521-79540-0, <http://www.math.cornell.edu/~hatcher/AT/ATpage.html> . Section 3.C