Четверная группа Клейна

Четверна́я гру́ппа Кле́йна — нециклическая конечная коммутативная группа четвёртого порядка, играет важную роль в общей алгебре, комбинаторике и геометрии. Обычно обозначается $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $V$ $V$ или $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $V_{4}$ $V_{4}$ (от нем. Vierergruppe — четверная группа). Впервые описана и исследована Феликсом Клейном в 1884 году.

Граф циклов четверной группы Клейна
Граф Кэли четверной группы Клейна

Бинарная операция между элементами $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\{1,a,b,ab\}$ $\{1,a,b,ab\}$ (единица — нейтральный элемент группы) задаётся следующей таблицей Кэли^[1]:

\text{[math]}

{\begin{array}{c||rrrr|}\cdot &1&a&b&ab\\\hline 1&1&a&b&ab\\a&a&1&ab&b\\b&b&ab&1&a\\ab&ab&b&a&1\\\end{array}}

{\begin{array}{c||rrrr|}\cdot &1&a&b&ab\\\hline 1&1&a&b&ab\\a&a&1&ab&b\\b&b&ab&1&a\\ab&ab&b&a&1\\\end{array}}

Порядок каждого элемента, отличного от единицы, равен 2, поэтому группа не является циклической. Является прямым произведением циклических групп второго порядка $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $C_{2}\times C_{2}$ $C_{2}\times C_{2}$ ; наименьшей по порядку нециклической группой.

Является простейшей группой диэдра $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $D_{2}$ $D_{2}$ ^[2]. Любая группа четвёртого порядка изоморфна либо циклической группе, либо четверной группе Клейна. Симметрическая группа $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $S_{4}$ $S_{4}$ имеет, кроме себя самой и единичной подгруппы, лишь две нормальные подгруппы — знакопеременную группу $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $A_{4}$ $A_{4}$ и четверную группу Клейна $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $V_{4}$ $V_{4}$ , состоящую из подстановок $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $(),(12)(34),(13)(24),(14)(23)$ $(),(12)(34),(13)(24),(14)(23)$ ^[2].

Симметрии ромба

Встречается во многих разделах математики, примеры изоморфных ей групп:

множество $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\{0,1,2,3\}$ $\{0,1,2,3\}$ с операцией побитовое исключающее ИЛИ;
приведённая система вычетов по модулю 8, состоящая из классов 1, 3, 5, 7 и по модулю 12, состоящая из классов 1, 5, 7, 11;
группа симметрий ромба в трёхмерном пространстве, состоящая из 4 преобразований: тождественное, поворот на $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $180^{\circ }$ $180^{\circ }$ и два отражения относительно диагоналей^[3].
группа поворотов тетраэдра на угол $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\pi$ $\pi$ вокруг всех трёх рёберных медиан (вместе с тождественным поворотом)^[4].

ПримечанияПравить

↑ Александров, 1980, гл. 1 «Понятие группы», п. 2 «Вводные примеры», п. 4 «Клейновская группа четвёртого порядка», с. 23.
↑ ¹ ² В. Ф. Зайцев. п. 2, Дискретные группы преобразований // Введение в современный групповой анализ. — СПб., 1996. — С. 10.
↑ Александров, 1980, гл. 5 «Простейшие группы самосовмещений», п. 3 «Группы поворотов правильной пирамиды и двойной пирамиды», п. 3 «Случай вырождения: группы поворотов отрезка и ромба», с. 71.
↑ Александров, 1980, гл. 5 «Простейшие группы самосовмещений», п. 3 «Группы поворотов правильной пирамиды и двойной пирамиды», п. 4 «Группа поворотов правильного тетраэдра», с. 75.

ЛитератураПравить

П. С. Александров. Введение в теорию групп. — М.: Наука, 1980. — 144 с. с. — (Библиотечка Квант, вып. 7).
Ф. Клейн. Лекции об икосаэдре и решении уравнений пятой степени. — М.: Наука, 1989. — 336 с.

[_649c17c4ff103e5a-1] Александров, 1980, гл. 1 «Понятие группы», п. 2 «Вводные примеры», п. 4 «Клейновская группа четвёртого порядка», с. 23.

[zaizev-2] ¹ ² В. Ф. Зайцев. п. 2, Дискретные группы преобразований // Введение в современный групповой анализ. — СПб., 1996. — С. 10.

[_857bc9b22fadd898-3] Александров, 1980, гл. 5 «Простейшие группы самосовмещений», п. 3 «Группы поворотов правильной пирамиды и двойной пирамиды», п. 3 «Случай вырождения: группы поворотов отрезка и ромба», с. 71.

[_6188b391b844fc60-4] Александров, 1980, гл. 5 «Простейшие группы самосовмещений», п. 3 «Группы поворотов правильной пирамиды и двойной пирамиды», п. 4 «Группа поворотов правильного тетраэдра», с. 75.

[1]

[2]

[3]

[4]