Точная последовательность

Точная последовательность — последовательность алгебраических объектов $G_i$$G_{i}$ с последовательностью гомоморфизмов ${\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_i:<!--\; :\; -->G_i\to <!--\; \to \; -->G_{i+1}$$\varphi _{i}\colon G_{i}\rightarrow G_{i+1}$, такая что для любого $i$$i$ образ ${\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_{i-<!--\; -\; -->1}$$\varphi _{i-1}$ совпадает с ядром ${\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_i$$\varphi _{i}$ (если оба гомоморфизма с такими индексами существуют). В большинстве приложений роль $G_i$$G_{{i}}$ играют коммутативные группы, иногда векторные пространства или алгебры над кольцами.

Связанные определенияПравить

• Точные последовательности типа

  $0⟶<!--\; ⟶\; -->A\stackrel{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}{⟶<!--\; ⟶\; -->}B\stackrel{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}{⟶<!--\; ⟶\; -->}C⟶<!--\; ⟶\; -->0$$0\longrightarrow A{\stackrel {\varphi }{\longrightarrow }}B{\stackrel {\psi }{\longrightarrow }}C\longrightarrow 0$ 

называются короткими точными последовательностями, в этом случае $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}$$\varphi$  — мономорфизм, а $\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}$$\psi$  — эпиморфизм.

• При этом, если у $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}$$\varphi$  есть правый обратный или у $\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}$$\psi$  левый обратный морфизм, то $B$$B$  можно отождествить с $A\oplus <!--\; \oplus \; -->C$$A\oplus C$  таким образом, что $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}$$\varphi$  отождествляется с каноническим вложением $A$$A$  в $A\oplus <!--\; \oplus \; -->C$$A\oplus C$ , а $\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}$$\psi$  — с канонической проекцией $A\oplus <!--\; \oplus \; -->C$$A\oplus C$  на $C$$C$ . В этом случае короткая точная последовательность называется расщепляющейся.

• Длинная точная последовательность — это точная последовательность с бесконечным числом объектов и гомоморфизмов.
• Если $\mathrm{I}\mathrm{m}{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_i\subset <!--\; \subset \; -->\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_{i+1},$$\mathrm {Im} \,\varphi _{i}\subset \mathrm {Ker} \,\varphi _{i+1},$  то последовательность называется полуточной.

ПримерыПравить

• В теории гомотопических групп большое значение имеет точная последовательность пары, в частности, точная последовательность расслоения. Если $F\to <!--\; \to \; -->M\to <!--\; \to \; -->B$$F\to M\to B$  — локально тривиальное расслоение над $B$$B$  со слоем $F$$F$ , то следующая последовательность гомотопических групп точна:

$\dots <!--\; \dots \; -->\to <!--\; \to \; -->{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}_n(F)\to <!--\; \to \; -->{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}_n(M)\to <!--\; \to \; -->{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}_n(B)\to <!--\; \to \; -->{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}_{n-<!--\; -\; -->1}(F)\to <!--\; \to \; -->\dots <!--\; \dots \; -->\to <!--\; \to \; -->{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}_0(F)\to <!--\; \to \; -->{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}_0(M)\to <!--\; \to \; -->{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}_0(B)$$\ldots \to \pi _{n}(F)\to \pi _{n}(M)\to \pi _{n}(B)\to \pi _{n-1}(F)\to \ldots \to \pi _{0}(F)\to \pi _{0}(M)\to \pi _{0}(B)$ 

• Точная последовательность Майера — Вьеториса имеет большое значение для вычисления групп гомологий сложных пространств:

${\begin{aligned}\cdots \rightarrow H_{n+1}(X)\,&{\xrightarrow {\partial _{*}}}\,H_{n}(A\cap B)\,{\xrightarrow {(i_{*},j_{*})}}\,H_{n}(A)\oplus H_{n}(B)\,{\xrightarrow {k_{*}-l_{*}}}\,H_{n}(X){\xrightarrow {\partial _{*}}}\\&\quad {\xrightarrow {\partial _{*}}}\,H_{n-1}(A\cap B)\rightarrow \cdots \rightarrow H_{0}(A)\oplus H_{0}(B)\,{\xrightarrow {k_{*}-l_{*}}}\,H_{0}(X)\rightarrow \,0.\end{aligned}}$ 

• Цепной комплекс — это полуточная последовательность абелевых групп.
• Пусть $E\to <!--\; \to \; -->X$$E\to X$  — локально тривиальное расслоение многообразий. Тогда с ним связана короткая точная последовательность расслоений

$0⟶<!--\; ⟶\; -->VX⟶<!--\; ⟶\; -->TE⟶<!--\; ⟶\; -->HX⟶<!--\; ⟶\; -->0$$0\longrightarrow VX\longrightarrow TE\longrightarrow HX\longrightarrow 0$ 

и двойственная к ней

$0⟵<!--\; ⟵\; -->V^{\ast <!--\; \ast \; -->}X⟵<!--\; ⟵\; -->T^{\ast <!--\; \ast \; -->}E⟵<!--\; ⟵\; -->H^{\ast <!--\; \ast \; -->}X⟵<!--\; ⟵\; -->0$$0\longleftarrow V^{*}X\longleftarrow T^{*}E\longleftarrow H^{*}X\longleftarrow 0$ 

Здесь $TE$$TE$  — касательное расслоение к многообразию $E$$E$ , $VX$$VX$  и $HX$$HX$  — вертикальное и горизонтальное расслоения к $X$$X$  соответственно. ${}^{\ast <!--\; \ast \; -->}$$^{*}$  обозначает двойственное расслоение (кокасательное и т. п.).

• Экспоненциальная точная последовательность

$0\to <!--\; \to \; -->2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}i\mathbb{Z}\to <!--\; \to \; -->{\mathcal{O}}_M\to <!--\; \to \; -->{\mathcal{O}}_M^{\ast <!--\; \ast \; -->}\to <!--\; \to \; -->0,$$0\to 2\pi i\,\mathbb {Z} \to {\mathcal {O}}_{M}\to {\mathcal {O}}_{M}^{*}\to 0,$ 

где ${\mathcal{O}}_M$${\mathcal {O}}_{M}$  и ${\mathcal{O}}_M^{\ast <!--\; \ast \; -->}$${\mathcal {O}}_{M}^{*}$  — пучок голоморфных функций на комплексном многообразии $M$$M$  и его подпучок, состоящий из нигде не обнуляющихся функций