Проективное представление

Проективное представление группы $G$$G$ на векторном пространстве $V$$V$ над полем $F$$F$ — это гомоморфизм $G$$G$ в проективную группу

$\mathrm{P}\mathrm{G}\mathrm{L}(V)=\mathrm{G}\mathrm{L}(V)/F^{\ast <!--\; \ast \; -->},$$\mathrm {PGL} (V)=\mathrm {GL} (V)/F^{*},$

где $\mathrm{G}\mathrm{L}(V)$$\mathrm {GL} (V)$ — полная линейная группа, а $F^{\ast <!--\; \ast \; -->}$$F^{*}$ — нормальная подгруппа, состоящая из скалярных множителей тождественного оператора. Иными словами, это набор операторов $\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}(g)\in <!--\; \in \; -->\mathrm{G}\mathrm{L}(V),g\in <!--\; \in \; -->G$$\rho (g)\in \mathrm {GL} (V),\,g\in G$ таких, что

$\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}(g)\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}(h)=c(g,h)\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}(gh)$$\rho (g)\rho (h)=c(g,h)\rho (gh)$

для некоторой константы $c(g,h)\in <!--\; \in \; -->F$$c(g,h)\in F$.

Некоторые проективные представления можно получить из представлений $\mathrm{G}\mathrm{L}(V)$$\mathrm {GL} (V)$ с помощью факторотображения $\mathrm{G}\mathrm{L}(V)\to <!--\; \to \; -->\mathrm{P}\mathrm{G}\mathrm{L}(V)$$\mathrm {GL} (V)\to \mathrm {PGL} (V)$. Особый интерес для алгебры представляет ситуация, когда данное проективное представление может быть «поднятно» до обычного линейного представления $\mathrm{G}\mathrm{L}(V);$$\mathrm {GL} (V);$ в общем случае препятствия к этому описываются когомологиями групп.

Важнейшим случаем являются проективные представления групп Ли, изучение которых приводит к рассмотрению представлений их центральных расширений. Во многих интересных случаях достаточно исследовать представления накрывающих групп, которым соответствуют проективные представления накрываемой группы:

• Специальная ортогональная группа $\mathrm{S}\mathrm{O}(n,F)$$\mathrm {SO} (n,F)$ дважды накрывается спинорной группой $\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{i}\mathrm{n}(n,F)$$\mathrm {Spin} (n,F)$.
• В частности, группа вращений трёхмерного пространства $\mathrm{S}\mathrm{O}(3)$${\mathrm {SO}}(3)$ накрывается $\mathrm{S}\mathrm{U}(2)$${\mathrm {SU}}(2)$, изучение представлений которой соответственно имеет важнейшее значение для нерелятивистской теории спина.
• Аналогично, релятивистская теория спина начинается с рассмотрения представлений $\mathrm{S}\mathrm{L}(2,\mathbb{C})$$\mathrm {SL} (2,\mathbb {C} )$ универсального накрытия группы Лоренца ${\mathrm{S}\mathrm{O}}^{+}(3,1)$$\mathrm {SO} ^{+}(3,1)$.
• Универсальное накрытие группы Пуанкаре есть полупрямое произведение ${\mathbb{R}}^{3,1}⋊<!--\; ⋊\; -->\mathrm{SL}<!--\; \; -->(2,\mathbb{C})$$\mathbb {R} ^{3,1}\rtimes \operatorname {SL} (2,\mathbb {C} )$, представления которой дают нам классификацию Вигнера частиц и полей в физике.

Теорема Баргмана утверждает, что если двумерные когомологии $H^2(\mathfrak{g};\mathbb{R})$$H^{2}({\mathfrak {g}};\mathbb {R} )$ алгебры Ли $\mathfrak{g}$$\mathfrak g$ тривиальны, то всякое проективное унитарное представление $G$$G$ может быть поднятно до обычного унитарного представления $G$$G$. Условия теоремы выполнены, в частности, для полупростых групп Ли и группы Пуанкаре.

См. такжеПравить

• Спинор
• Спинорная группа
• Физика элементарных частиц и теория представлений
• Расширение группы
• Симметрия в квантовой механике
• Теория представлений группы Лоренца

ЛитератураПравить

• Bargmann, Valentine (1954), On unitary ray representations of continuous groups, Annals of Mathematics Т. 59 (1): 1–46, DOI 10.2307/1969831 
• Gannon, Terry (2006), Moonshine Beyond the Monster: The Bridge Connecting Algebra, Modular Forms and Physics, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-83531-2 
• Hall, Brian C. (2013), Quantum Theory for Mathematicians, vol. 267, Graduate Texts in Mathematics, Springer, ISBN 978-1461471158 
• Hall, Brian C. (2015), Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction, vol. 222 (2nd ed.), Graduate Texts in Mathematics, Springer, ISBN 978-3319134666 
• Schur, I. (1911), Über die Darstellung der symmetrischen und der alternierenden Gruppe durch gebrochene lineare Substitutionen, Crelle's Journal Т. 139: 155–250, <http://gdz.sub.uni-goettingen.de/no_cache/en/dms/load/img/?IDDOC=261150> 
• Simms, D. J. (1971), A short proof of Bargmann's criterion for the lifting of projective representations of Lie groups, Reports on Mathematical Physics Т. 2 (4): 283–287, DOI 10.1016/0034-4877(71)90011-5