Глоссарий теории узлов

Эта страница — глоссарий.

В этом глоссарии приведены определения основных терминов, использующихся в теории узлов. Курсивом выделены ссылки внутри глоссария.

# А Б В Г Д Е Ё Ж З И К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

АПравить

Аддитивный инвариант: Числовой инвариант, значения которого складываются при связном суммировании узлов и зацеплений.
Альтернированная диаграмма: Диаграмма, при движении вдоль каждой компоненты которой проходы чередуются с переходами^[1].
Альтернированное зацепление: Зацепление, имеющее альтернированную диаграмму.
Альтернированный узел: Частный случай понятия альтернированное зацепление для однокомпонентных зацеплений.

БПравить

Брунново зацепление: Нетривиальное зацепление, которое становится тривиальным при удалении любой его компоненты^[2].

ГПравить

Геометрический узел: 1. Непрерывное инъективное отображение $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $f\colon S^{1}\to \mathbb {R} ^{3}$ окружности в трёхмерное евклидово пространство. Или, что то же самое, топологическое вложение окружности в $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\mathbb {R} ^{3}$ .; 2. Образ подобного топологического вложения $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $f\colon S^{1}\to \mathbb {R} ^{3}$ . Иными словами, подмножество трёхмерного евклидова пространства, гомеоморфное окружности^[3]. Или, что то же самое, связное замкнутое одномерное подмногообразие евклидова пространства $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\mathbb {R} ^{3}$ .; Частный случай геометрического зацепления.
Геометрическое зацепление: 1. Непрерывное инъективное отображение $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $f\colon S^{1}\sqcup \ldots \sqcup S^{1}\to \mathbb {R} ^{3}$ дизъюнктного объединения конечного числа окружностей в трёхмерное евклидово пространство. Или, что то же самое, топологическое вложение конечного набора окружностей в $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\mathbb {R} ^{3}$ .; 2. Образ подобного топологического вложения $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $f\colon S^{1}\sqcup \ldots \sqcup S^{1}\to \mathbb {R} ^{3}$ . Иными словами, подмножество трёхмерного евклидова пространства, гомеоморфное дизъюнктному объединению конечного числа окружностей. Или, что то же самое, замкнутое одномерное подмногообразие евклидова пространства $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\mathbb {R} ^{3}$ .; Обобщение геометрического узла.
Гомотопность зацеплений: Два геометрических зацепления $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $f,g\colon S^{1}\sqcup \ldots \sqcup S^{1}\to \mathbb {R} ^{3}$ называются гомотопными, если существует такая гомотопия $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $F_{t}\colon S^{1}\sqcup \ldots \sqcup S^{1}\to \mathbb {R} ^{3}$ , параметризованная числом $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $t\in [0,1]$ , что $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $F_{0}=f$ , $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $F_{1}=g$ и для каждого $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $t\in [0,1]$ образы сужений отображения $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $F_{t}$ на различные окружности не пересекаются.
Группа симметрий: Группа классов отображений^[en] дополнительного пространства данного узла или зацепления. Представляет собой инвариант.
Группа зацепления: Фундаментальная группа дополнительного пространства данного зацепления^[4]^[5]. Представляет собой инвариант.
Группа классов конкордантности узлов: Абелева группа, состоящая из классов эквивалентности ручных ориентированных узлов относительно конкордантности с операцией связная сумма^[6]. Её нейтральным элементом является класс срезанных узлов.
Группа Милнора зацепления^[en]: Факторгруппа группы зацепления по произведению коммутантов ядер гомомоморфизмов, индуцированных удалением компонент данного зацепления. Представляет собой инвариант.
Группа узла: Частный случай понятия группа зацепления для однокомпонентных зацеплений.
Гиперболический объём: Объём гиперболического трёхмерного многообразия^[en], являющегося дополнительным пространством данного гиперболического узла или гиперболического зацепления. Представляет собой инвариант.
Гиперболическое зацепление: Зацепление, дополнительное пространство которого является гиперболическим трёхмерным многообразием^[en].
Гиперболический узел: Частный случай понятия гиперболическое зацепление для однокомпонентных зацеплений.
Гладкий геометрический узел: Частный случай понятия гладкое геометрическое зацепление для однокомпонентных геометрических зацеплений.
Гладкое геометрическое зацепление: Геометрическое зацепление, представляющее собой набор гладких замкнутых кривых.

ДПравить

Движение Рейдемейстера: Один из трёх типов преобразований диаграмм фигурирующих в теореме Рейдемейстера^[7].
Диаграмма^[en]: Подмножество плоскости, получающееся из образа некоторой регулярной плоской проекции определёнными разрывами в её двойных точках, называющихся перекрёстками этой диаграммы. А именно, разрывами тех частей маленькой окрестности каждой двойной точки, прообраз которой проходит ближе к плоскости проекции. Такую часть называют проход, а оставшуюся часть перекрёстка — переход^[2].; Также используется термин плоская диаграмма.
Дикий узел: Частный случай понятия дикое зацепление для однокомпонентных зацеплений.
Дикое зацепление: Зацепление, не являющееся ручным.
Дополнительное пространство: 1. Дополнение некоторого геометрического представителя данного узла или зацепления до трёхмерного евклидова пространства $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\mathbb {R} ^{3}$ ^[4]. Является некомпактным трёхмерным многообразием без края.; 2. Дополнение некоторого геометрического представителя зацепления до трёхмерной сферы $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $S^{3}=\mathbb {R} ^{3}\cup \{\infty \}$ .; 3. Дополнение трубчатой окрестности некоторого представителя зацепления до $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\mathbb {R} ^{3}$ . Является некомпатным трёхмерным многообразием, край которого гомеоморфен набору торов.; 4. Дополнение трубчатой окрестности некоторого представителя зацепления до $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $S^{3}$ . Является компатным трёхмерным многообразием, край которого гомеоморфен набору торов.; 5. Топологический тип топологического пространства, заданного одним из способов выше. Является инвариантом.; Также используются термины дополнение и внешность.
Дуга диаграммы: Компонента связности диаграммы зацепления^[8].

ЗПравить

Задача развязывания: Частный случай задачи распознавания, в котором одно из зацеплений является тривиальным.; В случае узлов также используются термины задача распознавания тривиального узла и проблема распознавания тривиального узла^[9].
Задача распознавания: Задача разрешимости, заключающаяся в определении того, являются ли изотопными два заданных некоторым образом геометрических узла или зацепления.; Также используется термин проблема распознавания^[9].
Закрученность: Разность между количеством положительных перекрёстков и количеством отрицательных перекрёстков ориентированной диаграммы^[10].; Также используется термин индекс скрещивания.
Зацепление (теория узлов): Класс эквивалентности геометрических зацеплений по отношению изотопности.; Также используется термин цепь^[3].
Зеркальный образ: 1. Диаграмма, получающееся из данной заменой типов всех перекрёстков, т. е. заменой проходов на переходы и наоборот без изменения тени диаграммы.; 2. Зацепление, получающееся из данного отражением относительно некоторой плоскости.; Также используется термин зеркальное отражение.
Зеркальное зацепление: Зацепления, эквивалентное своему зеркальному образу^[11].; Также используются термины амфихиральное зацепление и ахиральное зацепление. Противоположное понятие — хиральное зацепление.
Зеркальный узел: Частный случай понятия зеркальное зацепление для однокомпонентных зацеплений.

ИПравить

Изотопность геометрических зацеплений: Два геометрических зацепления называются изотопными, если существует объемлющая изотопия, переводящая первое геометрическое зацепление во второе.
Изотопность ориентированных геометрических зацеплений: Два ориентированных геометрических зацепления называются изотопными, если существует объемлющая изотопия, переводящая первое геометрическое зацепление во второе и совмещающая ориентацию компонент первого зацепления с ориентацией компонент второго.
Изотопность ориентированных геометрических узлов: Частный случай понятия изотопность ориентированных геометрических зацеплений для однокомпонентных зацеплений.
Изотопность геометрических узлов: Частный случай понятия изотопность геометрических зацеплений для однокомпонентных зацеплений.
Изотопность упорядоченных геометрических зацеплений: Два упорядоченных геометрических зацепления называются изотопными, если существует объемлющая изотопия, переводящая первое геометрическое зацепление во второе и совмещающая порядок (нумерацию) компонент первого зацепления с порядком компонент второго.
Изогнутость: Наименьшее значение вариации поворота среди всех гладких представителей данного узла. Является инвариантом.
Инвариант: Произвольная функция, действующая из множества узлов или зацеплений. Или, что то же самое, функция, действующая из множества геометрических узлов или геометрических зацеплений, принимающая одинаковые значения на изотопных элементах^[9].
Инвариант конечного типа: Элемент определённого семейства инвариантов ручных узлов и зацеплений.; Также используются термины инвариант конечного порядка и инвариант Васильева — Гусарова.
Инвариант Милнора^[en]: Элемент определённого семейства инвариантов зацеплений.

КПравить

Квадрисеканта^[en]: Прямая, пересекающая данное геометрическое зацепление или геометрический узел в ровно четырёх точках.
Классификация Тёрстона: Разбиение множества всех ручных узлов на торические, сателлитные и гиперболические, основанное на применении теоремы о геометризации к дополнительному пространству узла.
Кобордизм: 1. Компактная, ориентируемая поверхность $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\Sigma$ , топологически вложенная в пространство $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\mathbb {R} ^{3}\times [0,1]$ , пересекающаяся с объединением $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $(\mathbb {R} ^{3}\times \{0\})\cup (\mathbb {R} ^{3}\times \{1\})$ по своему краю^[12].; 2. Само такое топологическое вложение.; Кобордизм называется локально плоским или гладким в зависимости от того, является ли вложение локально плоским или гладким.; Говорят, что кобордизм $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\Sigma$ соединяет один узел или зацепление с другим, если у них имеются такие геометрические представители $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $L_{1}\subset \mathbb {R} ^{3}$ и $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $L_{2}\subset \mathbb {R} ^{3}$ , что $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\Sigma \cap (\mathbb {R} ^{3}\times \{0\})=L_{1}\times \{0\}$ и $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\Sigma \cap (\mathbb {R} ^{3}\times \{1\})=L_{2}\times \{1\}$ .; Если зацепления ориентированы, предполагается, что ориентация поверхности согласована с ориентацией зацеплений, а точнее, последнее условие заменяется на $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\Sigma \cap (\mathbb {R} ^{3}\times \{1\})=L_{2}^{rev}\times \{1\}$ , где $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $L_{2}^{rev}$ — результат обращения ориентации на $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $L_{2}$ .
Кобордизм-расстояние: 1. Топологическое кобордизм-расстояние — наименьшее значение рода локально плоского кобордизма, соединяющего один узел или зацепление с другим.; 2. Гладкое кобордизм-расстояние — наименьшее значение рода гладкого кобордизма, соединяющего один узел или зацепление с другим.
Компонента диаграммы: 1. Объединение дуг диаграммы, соответствующих некоторой компоненте зацепления.; 2. Тень диаграммы некоторой компоненты зацепления.
Компонента зацепления: 1. Сужение геометрического представителя данного зацепления на одну из окружностей.; 2. Компонента связности геометрического представителя данного зацепления.; 3. Узел, соответствующий описанному выше геометрическому зацеплению^[13].; Количество компонент зацепления является инвариантом.
Конкордантность^[en]: 1. Два узла или зацепления называются топологически конкордантными, если между ними существует локально плоский кобордизм, чей род равен нулю. Иными словами, если топологическое кобордизм-расстояние между ними равно нулю.; 2. Два узла или зацепления называются гладко конкордантными, если между ними существует гладкий кобордизм, чей род равен нулю^[14]. Иными словами, если гладкое кобордизм-расстояние между ними равно нулю.
Копредставление Виртингера^[en]: Определённый способ задать группу зацепления, представленного диаграммой, образующими и соотношениями^[15]^[16]. В качестве образующих выступают меридианальные петли, огибающие дуги диаграммы, а в качестве соотношений — определённые тождества на перекрёстках.; Также используется термин задание Виртингера.
Коэффициент зацепления: Определённый целочисленный инвариант двухкомпонентных ориентированных зацеплений^[17].

МПравить

Меридиан: Петля в дополнительном пространстве зацепления, гомотопная меридианальной окружности на поверхности полнотория, являющегося утолщением одной из компонент его геометрического представителя.
Меридианальный ранг: Наименьшее значение мощности порождающего множества группы зацепления, каждый элемент которого представляется меридианом. Является инвариантом.
Моноид узлов: Коммутативный моноид, состоящий из всех ручных ориентированных узлов с операцией связная сумма.
Мост диаграммы: Дуга диаграммы, содержащая хотя бы один перекрёсток.
Мутанты: Такая пара узлов или зацеплений, что первое зацепление можно получить из второго конечной последовательностью мутаций.
Мутация: Определённый тип преобразований узлов и зацеплений^[18].

НПравить

Несвязное объединение: Коммутативная бинарная операция на множестве всех зацеплений, сопоставляющая паре зацеплений из $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $n$ и $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $m$ компонент зацепление из $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $n+m$ компонент, заданное геометрическим представителем, полученным расположением геометрических представителей исходных зацеплений по разные стороны от некоторой плоскости^[19].
Нотация Александера — Бриггса^[en]: Определённый способ табуляции ручных узлов и зацеплений.
Нотация Гаусса^[en]: Определённый способ кодирования диаграмм узлов и зацеплений.
Нотация Даукера — Тистлетвэйта^[en]: Определённый способ кодирования диаграмм узлов и зацеплений.
Нотация Конвея: Определённый способ перечисления ручных узлов и зацеплений.

ОПравить

Объемлющая изотопия: Такое непрерывное семейство гомеоморфизмов $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $f_{t}\colon \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{3}$ , параметризованное параметром $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $t\in [0,1]$ , что $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $f_{0}$ — тождественное отображение. Под непрерывностью семейства имеется в виду то, что отображение $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\mathbb {R} ^{3}\times [0,1]\to \mathbb {R} ^{3}$ , заданное правилом $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $(x,t)\mapsto f_{t}(x)$ , является непрерывным.; Путь, заданный формулой $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $t\mapsto f_{t}(x)$ , называется траекторией движения точки $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $x\in \mathbb {R} ^{3}$ под действием объемлющей изотопии $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $f_{t}$ .; Говорят, что объемлющая изотопия переводит подмножество $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $A\subseteq \mathbb {R} ^{3}$ в подмножество $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $B\subseteq \mathbb {R} ^{3}$ , если $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $f_{1}(A)=B$ .; Также используется термин изотопическая деформация^[20].
Обратимое зацепление: Зацепление, имеющее в качестве представителя ориентированное геометрическое зацепление, изотопное результату обращения ориентации всех его компонент^[21]^[1].
Обратимый узел: Частный случай понятия обратимое зацепление для однокомпонентных зацеплений.
Обращение ориентации: Преобразование ориентированных узлов и зацеплений, заключающееся в замене ориентации всех или некоторых компонент данного зацепления на противоположную.
Ориентация: 1. Ориентация геометрического узла — один из двух способов указать направление обхода окружности этого геометрического узла. Иными словами, ориентация соответствующего связного замкнутого одномерного многообразия.; 2. Ориентация геометрического зацепления — способ указать направление обхода каждой компоненты этого геометрического зацепления. Иными словами, ориентация соответствующего замкнутого одномерного многообразия.; 3. Ориентация диаграммы — способ указать направление обхода дуг этой диаграммы, согласованный с некоторой ориентацией соответствующего геометрического зацепления.
Ориентированная диаграмма: Диаграмма вместе с ориентацией. Каждый перекрёсток ориентированной диаграммы имеет один из двух типов: положительный перекрёсток — такой, что соответствующая пара скрещивающихся кривых закручивается в положительном (относительно заданной ориентации) направлении; отрицательный перекрёсток — противоположное понятие.
Ориентированное геометрическое зацепление: Геометрическое зацепление вместе с ориентацией.
Ориентированное зацепление: Класс эквивалентности ориентированных геометрических зацеплений по отношению изотопности.
Ориентированный геометрический узел: Частный случай понятия ориентированное геометрическое зацепление для однокомпонентных зацеплений.
Ориентированный узел: Частный случай понятия ориентированное зацепление для однокомпонентных зацеплений.

ППравить

Переключение перекрёстка: 1. Преобразование диаграмм, заключающееся в смене типа некоторого перекрёстка диаграммы (прохода на переход или наоборот).; 2. Преобразование узлов и зацеплений, заключающееся в смене типа некоторого перекрёстка на некоторой диаграмме данного зацепления.; Также используется термин замена перекрёстка^[22].
Перешеек: Перекрёсток диаграммы, удаление которого увеличивает количество компонент связности её тени.; Также используется термин точка распадения^[23].
Плоская проекция: Образ геометрического узла или геометрического зацепления относительно ортогональной проекции пространства $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\mathbb {R} ^{3}$ на некоторую плоскость, а также сама ортогональная проекция. Кратностью или порядком точки на проекции называется мощность её прообраза. Проекция называется регулярной, если кратность каждой точки её образа равна единице или двойке, причем точек кратности два лишь конечное число, и каждая из них представляет собой трансверсальное пересечение. В случае полигональных зацеплений для трансверсальности достаточно того, чтобы кратность концов всех отрезков была равна единице^[24].
Полигональное геометрическое зацепление: Геометрическое зацепление, являющееся объединением конечного числа ломаных^[7]^[25].
Полигональный геометрический узел: Частный случай понятия полигональное геометрическое зацепление для однокомпонентных геометрических зацеплений.
Полиномиальный инвариант: Тип инварианта узлов и зацеплений, принимающего значения в множестве многочленов.
Полный инвариант: Инвариант, обладающий тем свойством, что если его значения на двух узлах или зацеплениях совпадают, то либо такие зацепления совпадают, либо одно является зеркальным образом другого.
Положительная диаграмма: Ориентированная диаграмма, каждый перекрёсток которой является положительным.
Положительное зацепление: 1. Ориентированное зацепление, имеющее положительную диаграмму.; 2. Зацепление, которое можно снабдить такой ориентацией, что оно будет иметь положительную диаграмму.
Положительный узел: Частный случай понятия положительное зацепление для однокомпонентных зацеплений.
Поверхность Зейферта: 1. Компактная, ориентируемая поверхность, топологически вложенная в пространство $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\mathbb {R} ^{3}$ , краем которой является некоторый геометрический представитель данного узла или зацепления^[26].; 2. Само такое топологическое вложение.; 3. Аналогично определениям выше, но поверхность предполагается связной.; Поверхность Зейферта называется локально плоской или гладкой в зависимости от того, является ли вложение локально плоским или гладким.; Если зацепление ориентировано, предполагается, что ориентация поверхности согласована с ориентацией зацепления.
Преобразование геометрических узлов и зацеплений: Произвольная геометрическая процедура, задающая функцию (возможно, многозначную) из множества геометрических узлов и зацеплений в себя.
Преобразование диаграмм: Произвольная геометрическая процедура, задающая функцию (возможно, многозначную) из множества всех диаграмм в себя.
Преобразование узлов и зацеплений: Произвольная геометрическая процедура, проводимая над геометрическими представителями узлов и зацеплений и задающая функцию (возможно, многозначную) из множества узлов и зацеплений в себя.
Приведённая диаграмма: Диаграмма, не имеющая перешейков.
Простой узел: Узел, который нельзя представить в виде связной суммы двух нетривиальных узлов^[27].

РПравить

Разводимое зацепление^[en]: Зацепление, имеющее геометрического представителя, которое лежит по разные стороны от некоторой плоскости.; Также используется термин расщепимое зацепление.
Раскраска^[en]^*: Гомоморфизм из группы узла или зацепления в некоторую группу. Раскрашиваемость — существование подобного гомоморфизма. Раскрашиваемость, а также количество раскрасок заданного типа, являются инвариантами.
Расслоенное зацепление: Зацепление, чьё дополнительное пространство допускает структуру локально тривиального расслоения над окружностью.
Расслоенный узел: Частный случай понятия расслоенное зацепление для однокомпонентных зацеплений.
Род Зейферта: Наименьшее значение рода гладкой поверхности Зейферта данного узла или зацепления^[28]. Является инвариантом.; Также используются термины трёхмерный род и просто род.
Ручное зацепление: Зацепление, имеющее полигонального представителя. Или, что эквивалентно, имеющее гладкого представителя.
Ручной узел: Частный случай понятия ручное зацепление для однокомпонентных зацеплений^[25].

СПравить

Сателлитная операция

Определённый тип преобразований узлов и зацеплений.

Сателлитный узел

Узел, чье дополнительное пространство содержит существенный несжимаемый^[en] тор.

Связная сумма^[en]

Определённая коммутативная бинарная операция на множестве всех ориентированных узлов.

Также используются термины произведение, композиция^[29] и конкатенация^[30].

Скейн-соотношение

Определённый тип соотношений между значениями полиномиального инварианта на диаграммах, отличающихся друг от друга только в небольшой области.

Также используется термин соотношение типа Конвея.

Составной узел

Узел, не являющийся простым.

Срезанное зацепление

1. Зацепление называется топологически срезанным, если выполняется одно из следующих эквивалентных условий:

Оно топологически конкордантно тривиальному зацеплению.
Его топологический срезанный род равен нулю.
Существует такая сфера с дырками, локально плоско вложенная в пространство $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\mathbb {R} ^{3}\times [0,\infty )$ , что её пересечение с $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\mathbb {R} ^{3}\times \{0\}$ совпадает с её краем и имеет вид $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $L\times \{0\}$ , где $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $L\subset \mathbb {R} ^{3}$ — геометрический представитель данного зацепления.

2. Зацепление называется гладко срезанным, если выполняется одно из следующих эквивалентных условий:

Оно гладко конкордантно тривиальному зацеплению.
Его гладкий срезанный род равен нулю.
Существует такая сфера с дырками, гладко вложенная в пространство $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\mathbb {R} ^{3}\times [0,\infty )$ , что её пересечение с $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\mathbb {R} ^{3}\times \{0\}$ совпадает с её краем и имеет вид $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $L\times \{0\}$ , где $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $L\subset \mathbb {R} ^{3}$ — геометрический представитель данного зацепления.

Срезанный род^[en]

1. Топологический срезанный род — инвариант, заданный одним из следующих эквивалентных определений:

Наименьшее значение рода локально плоского кобордизма, соединяющего данный узел или зацепление с тривиальным.
Топологическое кобордизм-расстояние от данного зацепления до тривиального.
Наименьшее значение рода такой компактной, ориентируемой поверхности $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\Sigma$ , локально плоско вложенной в пространство $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\mathbb {R} ^{3}\times [0,\infty )$ , что её пересечение с $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\mathbb {R} ^{3}\times \{0\}$ совпадает с её краем и имеет вид $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $L\times \{0\}$ , где $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $L\subset \mathbb {R} ^{3}$ — геометрический представитель данного зацепления.

2. Гладкий срезанный род — инвариант, заданный одним из следующих эквивалентных определений:

Наименьшее значение рода гладкого кобордизма, соединяющего данный узел или зацепление с тривиальным.
Гладкое кобордизм-расстояние от данного зацепления до тривиального.
Наименьшее значение рода такой компактной ориентируемой поверхности $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\Sigma$ , гладко вложенной в пространство $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\mathbb {R} ^{3}\times [0,\infty )$ , что её пересечение с $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\mathbb {R} ^{3}\times \{0\}$ совпадает с её краем и имеет вид $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $L\times \{0\}$ , где $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $L\subset \mathbb {R} ^{3}$ — геометрический представитель данного зацепления.

Также используется термин четырёхмерный род.

Срезанный узел

Частный случай понятия срезанное зацепление для однокомпонентных зацеплений.

Стандартно вложенная сфера с ручками

Край малой замкнутой окрестности произвольного графа, лежащего внутри некоторой плоскости в трёхмерном евклидовом пространстве^[31].

ТПравить

Табуляция^[en]: Перечисление диаграмм всех или некоторых ручных узлов и зацеплений без повторов в соответствии с некоторой мерой сложности, такой как число перекрёстков.
Тень диаграммы: Образ ортогональной проекции, соответствующей диаграмме^[2].
Торический узел: Частный случай понятия торическое зацепление для однокомпонентных зацеплений.
Торическое зацепление: 1. Зацепление, имеющее геометрического представителя, который лежит на стандартно вложенном торе^[32].; 2. Элемент семейства так называемых торических зацеплений типа $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $(p,q)$ , где $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $p,q\in \mathbb {Z}$ ^[33].
Тривиальное зацепление: Зацепление, имеющее геометрического представителя, которое лежит в некоторой плоскости.
Тривиальный узел: Частный случай понятия тривиальное зацепление для однокомпонентных зацеплений.

УПравить

Узел: Класс эквивалентности геометрических узлов по отношению изотопности. Иными словами, однокомпонентное зацепление.
Упорядоченное геометрическое зацепление: Геометрическое зацепление, чьи компоненты пронумерованы различными числами от единицы до их общего количества.
Упорядоченное зацепление: Класс эквивалентности упорядоченных геометрических зацеплений по отношению изотопности.

ФПравить

Флайп^[en]: Определённый тип преобразований диаграмм.; Также используется термин переворачивание^[34].

ХПравить

Хиральное зацепление: Зацепления, не эквивалентное своему зеркальному образу. Противоположное понятие — зеркальное зацепление.
Хиральный узел: Частный случай понятия хиральное зацепление для однокомпонентных зацеплений.

ЦПравить

Циклическое накрытие: Элемент определённой серии накрытий дополнительного пространства данного узла или зацепления^[35].

ЧПравить

Число Морса — Новикова: Наименьшее значение количества критических точек среди всех функций Морса из дополнительного пространства данного узла или зацепления в окружность. Является инвариантом.
Число мостов: Наименьшее значение количества мостов среди всех диаграмм данного узла или зацепления. Является инвариантом.
Число отрезков: Наименьшее значение количества звеньев (прямолинейных отрезков) среди всех полигональных представителей данного узла или зацепления. Является инвариантом.
Число перекрёстков: Наименьшее значение количества перекрёстков среди всех диаграмм данного узла или зацепления. Является инвариантом.
Число развязывания: Наименьшее значение количества переключений перекрёстков, которое требуется применить, чтобы превратить данное зацепление в тривиальное. Является инвариантом.; Также используются термины гордиево число и число заузленности^[31].
Число тоннелей^[en]: Род Хегора дополнительного пространства данного узла или зацепления. Является инвариантом.; Также используется термин тоннельное число^[31].

ЭПравить

Элементарная изотопия: Преобразование полигональных узлов и зацеплений, заключающееся в замене звена (прямолинейного отрезка) $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $A B$ на два звена $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $A C$ и $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $B C$ при условии, что треугольник $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $A B C$ не пересекает остальные звенья полигонального зацепления по своей внутренности или границе, а также обратное преобразование^[36].

ПримечанияПравить

↑ ¹ ² Мантуров, 2005, p. 18.
↑ ¹ ² ³ Мантуров, 2005, p. 5.
↑ ¹ ² Кроуэлл и Фокс, 1967, p. 284.
↑ ¹ ² Кроуэлл и Фокс, 1967, p. 28.
↑ Мантуров, 2005, p. 36.
↑ Кроуэлл и Фокс, 1967, p. 251.
↑ ¹ ² Мантуров, 2005, p. 13.
↑ Мантуров, 2005, p. 39.
↑ ¹ ² ³ Мантуров, 2005, p. 4.
↑ Мантуров, 2005, p. 80.
↑ Кроуэлл и Фокс, 1967, p. 22.
↑ Мантуров, 2005, p. 91.
↑ Мантуров, 2005, p. 6.
↑ Мантуров, 2005, p. 37.
↑ Кроуэлл и Фокс, 1967, p. 130.
↑ Мантуров, 2005, p. 53.
↑ Мантуров, 2005, p. 33.
↑ Мантуров, 2005, p. 87.
↑ Мантуров, 2005, p. 20.
↑ Кроуэлл и Фокс, 1967, p. 20.
↑ Кроуэлл и Фокс, 1967, p. 24.
↑ Мантуров, 2005, p. 72.
↑ Мантуров, 2005, p. 89.
↑ Кроуэлл и Фокс, 1967, p. 17.
↑ ¹ ² Кроуэлл и Фокс, 1967, p. 16.
↑ Мантуров, 2005, p. 23.
↑ Мантуров, 2005, p. 22.
↑ Мантуров, 2005, p. 25.
↑ Кроуэлл и Фокс, 1967, p. 244.
↑ Мантуров, 2005, p. 19.
↑ ¹ ² ³ Мантуров, 2005, p. 21.
↑ Мантуров, 2005, p. 29.
↑ Мантуров, 2005, p. 31.
↑ Мантуров, 2005, p. 90.
↑ Кроуэлл и Фокс, 1967, p. 261.
↑ Мантуров, 2005, p. 14.

Список литературыПравить

Мантуров В. О.. Теория узлов (рус.). — Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2005. — 512 с. — ISBN 5-93972-404-3.
Кроуэлл Р. Г., Фокс Р. Х.. Введение в теорию узлов (рус.). — Мир, 1967. — 348 с.

[_d0ae1df424c7f310-1] ¹ ² Мантуров, 2005, p. 18.

[_ee37a7aa0d081c3c-2] ¹ ² ³ Мантуров, 2005, p. 5.

[_c32488dec69a20e7-3] ¹ ² Кроуэлл и Фокс, 1967, p. 284.

[_8452b8e1e8ea9461-4] ¹ ² Кроуэлл и Фокс, 1967, p. 28.

[_d0ae1ff424c7f6b8-5] Мантуров, 2005, p. 36.

[_c32493dec69a33b5-6] Кроуэлл и Фокс, 1967, p. 251.

[_d0ae1df424c7f31b-7] ¹ ² Мантуров, 2005, p. 13.

[_d0ae1ff424c7f6b7-8] Мантуров, 2005, p. 39.

[_ee37a7aa0d081c3d-9] ¹ ² ³ Мантуров, 2005, p. 4.

[_d0ae16f424c7e773-10] Мантуров, 2005, p. 80.

[_8452b8e1e8ea946b-11] Кроуэлл и Фокс, 1967, p. 22.

[_d0ae15f424c7e5a1-12] Мантуров, 2005, p. 91.

[_ee37a7aa0d081c3f-13] Мантуров, 2005, p. 6.

[_d0ae1ff424c7f6b9-14] Мантуров, 2005, p. 37.

[_c31a81dec691c059-15] Кроуэлл и Фокс, 1967, p. 130.

[_d0ae21f424c7f9c7-16] Мантуров, 2005, p. 53.

[_d0ae1ff424c7f6bd-17] Мантуров, 2005, p. 33.

[_d0ae16f424c7e774-18] Мантуров, 2005, p. 87.

[_d0ae20f424c7f871-19] Мантуров, 2005, p. 20.

[_8452b8e1e8ea9469-20] Кроуэлл и Фокс, 1967, p. 20.

[_8452b8e1e8ea946d-21] Кроуэлл и Фокс, 1967, p. 24.

[_d0ae23f424c7fd68-22] Мантуров, 2005, p. 72.

[_d0ae16f424c7e77a-23] Мантуров, 2005, p. 89.

[_8452b5e1e8ea8f77-24] Кроуэлл и Фокс, 1967, p. 17.

[_8452b5e1e8ea8f76-25] ¹ ² Кроуэлл и Фокс, 1967, p. 16.

[_d0ae20f424c7f872-26] Мантуров, 2005, p. 23.

[_d0ae20f424c7f873-27] Мантуров, 2005, p. 22.

[_d0ae20f424c7f874-28] Мантуров, 2005, p. 25.

[_c32494dec69a3503-29] Кроуэлл и Фокс, 1967, p. 244.

[_d0ae1df424c7f311-30] Мантуров, 2005, p. 19.

[_d0ae20f424c7f870-31] ¹ ² ³ Мантуров, 2005, p. 21.

[_d0ae20f424c7f878-32] Мантуров, 2005, p. 29.

[_d0ae1ff424c7f6bf-33] Мантуров, 2005, p. 31.

[_d0ae15f424c7e5a0-34] Мантуров, 2005, p. 90.

[_c32496dec69a38ac-35] Кроуэлл и Фокс, 1967, p. 261.

[_d0ae1df424c7f31c-36] Мантуров, 2005, p. 14.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]

[28]

[29]

[30]

[31]

[32]

[33]

[34]

[35]

[36]