Срезанный узел

Срезанный узел — это тип математического узла. В теории узлов «узел» означает вложенную в 3-сферу окружность

$S^3=\{\mathbf{x}\in <!--\; \in \; -->{\mathbb{R}}^4\mid <!--\; \mid \; -->|\mathbf{x}|=1\}$$S^{3}=\{\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{4}\mid |\mathbf {x} |=1\}$,

а 3-сферу можно рассматривать как границу четырёхмерного шара

$B^4=\{\mathbf{x}\in <!--\; \in \; -->{\mathbb{R}}^4\mid <!--\; \mid \; -->|\mathbf{x}|\le <!--\; \le \; -->1\}.$$B^{4}=\{\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{4}\mid |\mathbf {x} |\leq 1\}.$

Узел $K\subset <!--\; \subset \; -->S^3$$K\subset S^{3}$ является срезанным, если он является границей должным образом вложенного диска D в 4-мерный шар.

Что означает «должным образом вложенного», зависит от контекста и имеет различное понимание для различных типов срезанных узлов. Если D является гладким вложением в B⁴, то говорят, что K является гладко срезанным узлом. Если K является лишь локально плоским^[en] (что слабее), то говорят что K является топологически срезанным узлом.

Любой ленточный узел является гладким срезанным узлом. Старый вопрос Фокса (Ralph Fox) заключается в том, является ли любой гладкий срезанный узел ленточным.

Сигнатура^[en] срезанного узла равна нулю.

Многочлен Александера срезанного узла распадается на множители $f(t)f(t^{-<!--\; -\; -->1})$$f(t)f(t^{-1})$, где $f(t)$$f(t)$ — некоторый многочлен Лорана с целыми коэффициентами. Это известно как условие Фокса-Милнора.

Ниже следует список всех срезанных узлов с 10 и менее пересечениями. Список составлен из Атласа Узлов: 6₁, $8_8$$8_{8}$, $8_9$$8_{9}$, $8_{20}$$8_{20}$, $9_{27}$$9_{27}$, $9_{41}$$9_{41}$, $9_{46}$$9_{46}$, ${10}_3$$10_{3}$, ${10}_{22}$$10_{22}$, ${10}_{35}$$10_{35}$, ${10}_{42}$$10_{42}$, ${10}_{48}$$10_{48}$, ${10}_{75}$$10_{75}$, ${10}_{87}$$10_{87}$, ${10}_{99}$$10_{99}$, ${10}_{123}$$10_{123}$, ${10}_{129}$$10_{129}$, ${10}_{137}$$10_{137}$, ${10}_{140}$$10_{140}$, ${10}_{153}$$10_{153}$ и ${10}_{155}$$10_{155}$.

См. такжеПравить

• Род среза^[en]
• Срезанное зацепление^[en]

ЛитератураПравить

• Robert E. Gompf, Martin Scharlemann, Abigail Thompson. Fibered knots and potential counterexamples to the property 2R and slice-ribbon conjectures // Geometry & Topology. — 2010. — Т. 14, вып. 4. — doi:10.2140/gt.2010.14.2305.
• Markus Banagl, Denis Vogel. The Mathematics of Knots: Theory and Application. — Springer, 2010. — Т. 1. — (Contributions in Mathematical and Computational Sciences). — ISBN 9783642156373.
• W. B. Raymond Lickorish. An Introduction to Knot Theory. — Springer, 1997. — Т. 175. — ISBN 9780387982540.