Вложение

Вложение (или включение) — специального вида отображение одного экземпляра некоторой математической структуры во второй экземпляр такого же типа. А именно, вложение некоторого объекта $X$$X$ в $Y$$Y$ задаётся инъективным отображением, сохраняющим некоторую структуру. Что означает «сохранение структуры», зависит от типа математической структуры, объектами которой являются $X$$X$ и $Y$$Y$. В терминах теории категорий отображение, «сохраняющее структуру», называют морфизмом.

То, что отображение $f:X\to <!--\; \to \; -->Y$$f:X\to Y$ является вложением, часто обозначают «крючковатой стрелкой» таким образом: $f:X\hookrightarrow <!--\; \hookrightarrow \; -->Y$$f:X\hookrightarrow Y$.

Для заданных $X$$X$ и $Y$$Y$ может быть несколько возможных вложений. Во многих случаях существует стандартное (или «каноническое») вложение — например, вложения натуральных чисел в целые, целых в рациональные, рациональных в вещественные, а вещественных в комплексные. В таких случаях обычно задают область определения $X$$X$ с образом $f(X)\subset <!--\; \subset \; -->Y$$f(X)\subset Y$, такую что $X\subseteq <!--\; \subseteq \; -->Y$$X\subseteq Y$.

Геометрия и топологияПравить

Общая топологияПравить

Отображение топологических пространств $f:X\to <!--\; \to \; -->Y$$f:X\to Y$  называется вложением $X$$X$  в $Y$$Y$ , если $f:X\to <!--\; \to \; -->f(X)\subset <!--\; \subset \; -->Y$$f:X\to f(X)\subset Y$  — гомеоморфизм (на $f(X)$$f(X)$  рассматривается топология, индуцированная с $Y$$Y$ ). Каждое вложение непрерывно и инъективно.

Для пространства $X$$X$  существование вложения $X\to <!--\; \to \; -->Y$$X\to Y$  — топологический инвариант. Мы можем различить два пространства, если одно из них можно вложить в $Y$$Y$ , а другое нельзя.

Дифференциальная топологияПравить

Пусть $M,N$$M, N$  — гладкие многообразия и $f:M\to <!--\; \to \; -->N$$f:M\to N$  — гладкое отображение. Оно называется погружением, если дифференциал $df$$df$  отображения $f$$f$  всюду инъективен. Гладкое вложение — это инъективное погружение, являющееся также вложением в вышеприведённом смысле (то есть гомеоморфизмом на свой образ).

Другими словами, прообраз вложения диффеоморфен своему образу, и, в частности, образ вложения должен быть подмногообразием. Погружение в свою очередь является локальным вложением (то есть для каждой точки $x\in <!--\; \in \; -->M$$x\in M$  существует окрестность $U\subset <!--\; \subset \; -->M,x\in <!--\; \in \; -->U$$U\subset M,x\in U$ , такая что $f:U\to <!--\; \to \; -->N$$f:U\to N$  — вложение).

Важный частный случай — когда N=Rⁿ. Интерес здесь представляет вопрос, насколько малым может быть n. Теорема Уитни о вложении утверждает, что достаточно n=2m, где m — размерность многообразия.

АлгебраПравить

Теория колецПравить

В теории колец вложением называется инъективный гомоморфизм колец $f:<!--\; :\; -->A\to <!--\; \to \; -->B$$f\colon A\to B$ . Так как $f(A)$$f(A)$  является подкольцом кольца $B$$B$ , то вложение $f$$f$  устанавливает изоморфизм между кольцами $A$$A$  и $f(A)$$f(A)$ .

Теория категорийПравить

В теории категорий не существует удовлетворительного определения вложения, которое подходило бы для всех категорий. Типичные требования на определение вложения в произвольной категории таковы: все изоморфизмы являются вложениями, композиция вложений — вложение, все вложения — мономорфизмы, любой экстремальный мономорфизм — вложение.

В конкретной категории вложение — это морфизм ƒ: A → B, который действует инъективно на множествах-носителях и также является начальным морфизмом в следующем смысле: если g — функция из множества-носителя объекта C во множество-носитель A, и её композиция с ƒ является морфизмом ƒg: C → B, то g также является морфизмом.

Как обычно в теории категорий, существует двойственное понятие, известное как фактор.

См. такжеПравить

• Погружение (топология)