Поверхность Зейферта

В математике, поверхность Зейферта — поверхность, границей которой является заданный узел или зацепление. Такие поверхности зачастую бывают полезны при исследовании соответствующего узла или зацепления. В частности, многие инварианты узлов проще всего вычисляются с её помощью. Поверхности Зейферта интересны и сами по себе, как объекты исследования. Названы в честь Герберта Зейферта.

ОпределениеПравить

Пусть $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $L$ — ручной ориентированный узел или зацепление в трёхмерном пространстве (или на трёхмерной сфере). Поверхностью Зейферта называется компактная связная ориентированная поверхность $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $S$ , вложенная в трёхмерное пространство таким образом, что её границей является $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $L$ , причём ориентация на поверхности $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $S$ индуцирует исходную ориентацию на $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $L$ .

Подчеркнем, что поверхность Зейферта должна быть ориентирована.

ПримерыПравить

Всякая компактная связная ориентированная поверхность с непустой границей в трехмерном пространстве является поверхностью Зейферта своей границы.

Стандартный лист Мёбиуса имеет в качестве границы тривиальный узел, однако не является его поверхностью Зейферта, поскольку лист Мёбиуса неориентируем.

Род узлаПравить

Поверхность Зейферта данного узла или зацепления определена неоднозначно: один и тот же узел (или зацепление) $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $K$ может иметь несколько различных поверхностей Зейферта, минимально возможный род такой поверхности называется родом узла, является его инвариантом и обозначается через $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $g(K)$ .

К примеру:

Род тривиального узла равен 0 (поскольку он является границей диска); обратно, если род узла равен нулю, то узел тривиален.
Трилистник, как и восьмёрка, имеют род 1.
Род торического узла типа $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $(p,q)$ равен $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $(p-1)(q-1) \over 2$ .
Степень полинома Александера является оценкой снизу на удвоенный род узла.

Фундаментальным свойством рода является его аддитивность по отношению к связной сумме узлов:

\text{[math]}

g(K_{1}\#K_{2})=g(K_{1})+g(K_{2})

СсылкиПравить

SeifertView programme Архивная копия от 26 мая 2010 на Wayback Machine — построение поверхностей Зейферта для различных узлов.