Трёхмерная сфера

Трёхмерная сфе́ра (трёхмерная гиперсфе́ра, иногда 3-сфе́ра) — сфера в четырёхмерном пространстве. Состоит из множества точек, равноудалённых от фиксированной центральной точки в четырёхмерном евклидовом пространстве. Так же, как двумерная сфера, которая образует границу шара в трёх измерениях, 3-сфера имеет три измерения и является границей четырёхмерного шара.

Стереографическая проекция параллелей гиперсферы (красная), меридианов (синий) и гипермеридианов (зелёный). В связи с конформными свойствами стереографической проекции кривые пересекаются друг с другом ортогонально (в жёлтых точках), как в 4D. Все кривые являются окружностями: кривые, которые пересекаются в <0,0,0,1>, имеют бесконечный радиус (то есть являются прямыми).

УравнениеПравить

В декартовых координатах $(x_0,x_1,x_2,x_3)$$(x_{0},x_{1},x_{2},x_{3})$  трёхмерная сфера радиуса $r$$r$  может быть задана уравнением

$(x_0-<!--\; -\; -->C_0{)}^2+(x_1-<!--\; -\; -->C_1{)}^2+(x_2-<!--\; -\; -->C_2{)}^2+(x_3-<!--\; -\; -->C_3{)}^2=r^2.$$(x_{0}-C_{0})^{2}+(x_{1}-C_{1})^{2}+(x_{2}-C_{2})^{2}+(x_{3}-C_{3})^{2}=r^{2}.$ 

Рассматривая комплексное пространство ${\mathbb{C}}^2$$\mathbb {C} ^{2}$  как вещественное ${\mathbb{R}}^4$$\R^4$ , уравнение сферы может быть рассмотрено как

$S^3=\left\{(z_1,z_2)\in <!--\; \in \; -->{\mathbb{C}}^2:|z_1{|}^2+|z_2{|}^2=1\right\}.$$S^{3}=\left\{(z_{1},z_{2})\in \mathbb {C} ^{2}:|z_{1}|^{2}+|z_{2}|^{2}=1\right\}.$ 

Аналогично, в пространстве кватернионов ${\mathbb{H}}^1$$\mathbb {H} ^{1}$ :

$S^3=\left\{q\in <!--\; \in \; -->\mathbb{H}:\Vert <!--\; \Vert \; -->q\Vert <!--\; \Vert \; -->=1\right\}.$$S^{3}=\left\{q\in \mathbb {H} :\|q\|=1\right\}.$ 

Являясь трёхмерным многообразием, трёхмерная сфера может быть задана параметрически с использованием трёх координат. Примером являются гиперсферические координаты:

$x_0=r\cos <!--\; \; -->\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->},$$x_{0}=r\cos \psi ,$ 

$x_1=r\sin <!--\; \; -->\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}\cos <!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->},$$x_{1}=r\sin \psi \cos \theta ,$ 

$x_2=r\sin <!--\; \; -->\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}\sin <!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}\cos <!--\; \; -->\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->},$$x_{2}=r\sin \psi \sin \theta \cos \phi ,$ 

$x_3=r\sin <!--\; \; -->\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}\sin <!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}\sin <!--\; \; -->\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}.$$x_{3}=r\sin \psi \sin \theta \sin \phi .$ 

СвойстваПравить

Трёхмерная сфера $S^3$$S^{3}$  является границей четырёхмерного шара.

Трёхмерная сфера является компактным связным трёхмерным многообразием. Трёхмерная сфера односвязна, то есть любая замкнутая кривая на ней может быть непрерывно стянута в точку.

Трёхмерная сфера гомеоморфна одноточечной компактификации трёхмерного вещественного пространства ${\mathbb{R}}^3$$\mathbb {R} ^{3}$ .

Групповая структураПравить

Являясь множеством единичных кватернионов, трёхмерная сфера наследует групповую структуру.

Таким образом, сфера $S^3$$S^{3}$  является группой Ли. Среди $n$$n$ -мерных сфер таким свойством обладают только $S^1$$S^{1}$  и $S^3$$S^{3}$ .

Используя матричное представление кватернионов, можно определить представление группы $S^3$$S^{3}$  с помощью матриц Паули:

$x_{1}+x_{2}i+x_{3}j+x_{4}k\mapsto {\begin{pmatrix}\;\;\,x_{1}+ix_{2}&x_{3}+ix_{4}\\-x_{3}+ix_{4}&x_{1}-ix_{2}\end{pmatrix}}.$ 

Поэтому группа $S^3$$S^{3}$  изоморфна матричной группе Ли $\mathrm{S}\mathrm{U}(2)$${\mathrm {SU}}(2)$ .

Действие группы U(1) и расслоение ХопфаПравить

Основная статья: Расслоение Хопфа

Если определить действие группы $U(1)$$U(1)$ :

$(z_1,z_2)\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}=(z_1\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->},z_2\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->})\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}\in <!--\; \in \; -->\mathbb{U}(1),$$(z_{1},z_{2})\cdot \lambda =(z_{1}\lambda ,z_{2}\lambda )\quad \forall \lambda \in \mathbb {U} (1),$ 

то пространство орбит гомеоморфно двумерной сфере $S^2$$S^{2}$ . При этом на сфере $S^3$$S^{3}$  возникает структура расслоения с базой $S^2$$S^{2}$  и слоями, гомеоморфными $U(1)$$U(1)$ , то есть окружности $S^1$$S^{1}$ . Это расслоение называется расслоением Хопфа.

Расслоение Хопфа является примером нетривиального главного расслоения. В координатах оно задаётся формулой

$p:(z_1,z_2)\mapsto <!--\; \mapsto \; -->(z_1:z_2).$$p:(z_{1},z_{2})\mapsto (z_{1}:z_{2}).$ 

Точка (z₁, z₂) сферы $S^3$$S^{3}$  отображается в точку [z₁: z₂] комплексной проективной прямой CP¹, которая диффеоморфна двумерной сфере $S^2$$S^{2}$ .

Гомотопические группы сферыПравить

Односвязность сферы означает, что первая гомотопическая группа ${\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}_1(S^3)=\{0\}$$\pi _{1}(S^{3})=\{0\}$ . Также нулевой является группа ${\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}_2(S^3)=\{0\}$$\pi _{2}(S^{3})=\{0\}$ .

См. такжеПравить

• Гипотеза Пуанкаре

ЛитератураПравить

• Фоменко А. Т., Фукс Д. Б. Курс гомотопической топологии. — М., 1989.

СсылкиПравить

• Weisstein, Eric W. Hypersphere (англ.) на сайте Wolfram MathWorld. (англ.) Примечание: В данной статье используются альтернативные схемы именования для сфер, в которых сфера в N-мерном пространстве называется N-сферой.