Коэффициент зацепления

Коэффициент зацепления — целое или дробное число, сопоставляемое двум непересекающимся циклам $z^{k-<!--\; -\; -->1}$$z^{k-1}$ и $z^{n-<!--\; -\; -->k}$$z^{n-k}$ в ориентируемом многообразии $M$$M$ размерности $n$$n$, классы гомологий которых принадлежат подгруппам кручения в целочисленных гомологиях $H_{k-<!--\; -\; -->1}(M,\mathbb{Z})$$H_{k-1}(M,\mathbb {Z} )$ и $H_{n-<!--\; -\; -->k}(M,\mathbb{Z})$$H_{n-k}(M,\mathbb {Z} )$ соответственно.

Простейшим примером является коэффициент зацепления двух непересекающихся замкнутых кривых $L_1,L_2$$L_{1},\ L_{2}$ пространства ${\mathbb{R}}^3$$\mathbb R^3$, он равен степени отображения $\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}:<!--\; :\; -->L_1\times <!--\; \times \; -->L_2\to <!--\; \to \; -->S^2$$\phi \colon L_{1}\times L_{2}\to S^{2}$ определяемого как

$\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(x,y)=(y-<!--\; -\; -->x)/|y-<!--\; -\; -->x|,x\in <!--\; \in \; -->L_1,y\in <!--\; \in \; -->L_2$$\phi (x,y)=(y-x)/|y-x|,\ x\in L_{1},\ y\in L_{2}$.

Коэффициент зацепления не изменяется при непрерывных деформациях кривых, если в течение этой деформации кривые не пересекаются — то есть является инвариантом этого зацепления. Если натянуть на одну кривую ориентированную поверхность, то индекс пересечения будет равен числу точек пересечения первой кривой с этой поверхностью взятых с соответствующими знаками.

Аналогично определяется коэффициент зацепления в случае замкнутых ориентированных многообразий $M^{k-<!--\; -\; -->1}$$M^{k-1}$ и $M^{n-<!--\; -\; -->k}$$M^{n-k}$, расположенных в пространстве ${\mathbb{R}}^n$$\mathbb {R} ^{n}$.

В общем случае коэффициент зацепления определяется через индекс пересечения следующим образом:

Если $C^k$$C^k$ есть $k$$k$-мерная цепь для которой $\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{C}^k=a{z}^{k-<!--\; -\; -->1}$$\partial C^{k}=az^{k-1}$, и $b$$b$ есть индекс пересечения $C^k$$C^k$ с $z^{n-<!--\; -\; -->k}$$z^{n-k}$, то индекс зацепления равен $b/a$$b/a$. Это число не зависит от выбора плёнки $C^k$$C^k$.

Популярное определениеПравить

Коэффициент зацепления двух не пересекающихся друг с другом ориентированных контуров x и y определяется как сумма коэффициентов зацепления по всем двойным точкам проекции контура $y$$y$  на контур $x$$x$  и на некоторую плоскость. Для каждой двойной точки коэффициент зацепления равен $1$$1$ , если при движении по направлению контура $x$$x$  контур $y$$y$  пересекает его слева направо и $-<!--\; -\; -->1$$-1$ , если контур $y$$y$  пересекает его справа налево. Если пересекаются два участка одного и того же контура или контур x проходит выше контура y, двойной точке приписывается коэффициент зацепления $0$$0$ .

СвойстваПравить

• Если поменять ролями циклы $z^{k-<!--\; -\; -->1}$$z^{k-1}$  и $z^{n-<!--\; -\; -->k}$$z^{n-k}$ , то коэффициент зацепления умножится на $(-<!--\; -\; -->1{)}^{k(n-<!--\; -\; -->k)}$$(-1)^{k(n-k)}$ .
• Если заменить любой из циклов на гомологичный ему в дополнении к другому, то коэффициент зацепления не изменится. Этот факт является основой при интерпретации двойственности Александера с помощью зацеплений.
• При замене одного из циклов на любой гомологичный с ним коэффициент зацепления изменяется на целое число, благодаря чему определено спаривание подгрупп кручения в $H_{k-<!--\; -\; -->1}(M,Z)$$H_{k-1}(M,Z)$  и $H_{n-<!--\; -\; -->k}(M,Z)$$H_{n-k}(M,Z)$  со значениями в факторгруппе $\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$$\mathbb {Q} /\mathbb {Z}$ . Это спаривание устанавливает между ними двойственность Понтрягина.
  • В частности, для подгруппы кручения в $H_m(M,\mathbb{Z})$$H_{m}(M,\mathbb {Z} )$  в случае $n=2m+l$$n=2m+l$  этим задаётся билинейная форма самозацеплений со значениями в $\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$$\mathbb {Q} /\mathbb {Z}$  которая является гомотопическим инвариантом многообразия.

ЛитератураПравить

• Болтянский В.Г.,Ефремович В.А. Наглядная топология. — М.: Наука, 1982. — 160 с.