Дикий узел

Дикий узел — патологическое вложение окружности в пространство.

Пример дикого узла

Дикие узлы можно найти в некоторых кельтских узорах.^{[источник не указан 2586 дней]}

ОпределениеПравить

Узел называется ручным, если он может быть «утолщён», то есть если существует его расширение до полнотория S¹ × D², допускающего вложение в 3-сферу. В теории узлов и в теории 3-многообразий^[en]^* часто слово «ручной» опускается.

Узлы, не являющиеся ручными, называются ди́кими и могут иметь патологическое поведение.

ПримерыПравить

Дуга Фокса — Артина

Дикими являются узлы, содержащие так называемые дуги Фокса — Артина^[en] — некоторые простые дуги, полученные диким вложением в $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $E^{3}$ . Например, для дуги $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $L_{1}$ фундаментальная группа $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $p_{1}$ ( $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $E^{3}L$ ) нетривиальна, для дуги $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $L_{2}$ группа $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ${\pi }_{1}(E^{3}/L)$ тривиальна, но само $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $E^{3}/L$ не гомеоморфно дополнению в $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $E^{3}$ к точке^[1].

На рисунке выше приведён дикий узел с одной дикой (патологической) точкой. Легко построить дикий узел, содержащий несколько патологических точек, бесконечное число таких точек, и даже несчётное множество патологических точек. В книге Сосинского^[2] приведено построение дикого узла, патологические точки которого образуют канторово множество. Возможно представить и дикий узел, содержащее более сложное множество — ожерелье Антуана^[2].

СвойcтваПравить

Узел является ручным тогда и только тогда, когда он может быть представлен в виде конечной ломаной.
Гладкие узлы являются ручными.

Вариации и обобщенияПравить

Нетривиальные дикие узлы появляются и в сферах старших размерностей. Например по теореме о двойной надстройке, двойная надстройка над сферой Пуанкаре гомеоморфна стандартной сфере $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\mathbb {S} ^{5}$ . При этом экватор двойной надстройки образует в $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\mathbb {S} ^{5}$ дикой узел и его дополнение имеет нетривиальную фундаментальную группу.

См. такжеПравить

Дикая сфера

ПримечанияПравить

↑ Войцеховский М. И. Дикий узел // Математическая энциклопедия / Гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: Советская Энциклопедия, 1979. — Т. 2. — С. [69] (стб. 137—138).
↑ ¹ ² Сосинский, 2005, с. 22.

ЛитератураПравить

L. H. Kauffman. An invariant of regular isotopy // Transactions of the American Mathematical Society. — American Mathematical Society, 1990. — Vol. 318, № 2.
А. Б. Сосинский. Узлы. Хронология одной математической теории. — Москва: МЦНМО, 2005. — ISBN 5-94057-220-0.

[1] Войцеховский М. И. Дикий узел // Математическая энциклопедия / Гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: Советская Энциклопедия, 1979. — Т. 2. — С. [69] (стб. 137—138).

[_b91d89c75f7982e9-2] ¹ ² Сосинский, 2005, с. 22.

[1]

[2]