Локально тривиальное расслоение

Локально тривиальное расслоение — расслоение, которое локально выглядит как прямое произведение.

ОпределениеПравить

Пусть $E$$E$ , $B$$B$  и $F$$F$  — топологические пространства. Сюръективное непрерывное отображение $\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}:<!--\; :\; -->E\to <!--\; \to \; -->B$$\pi \colon E\to B$  называется локально тривиальным расслоением пространства $E$$E$  над базой $B$$B$  со слоем $F$$F$ , если для всякой точки базы $x\in <!--\; \in \; -->B$$x\in B$  существует окрестность $U\subset <!--\; \subset \; -->B$$U\subset B$ , над которой расслоение тривиально. Последнее означает, что существует гомеоморфизм $\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}:<!--\; :\; -->{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}^{-<!--\; -\; -->1}(U)\to <!--\; \to \; -->U\times <!--\; \times \; -->F$$\phi \colon \pi ^{{-1}}(U)\to U\times F$ , такой что коммутативна диаграмма

 .

Здесь $\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{o}{\mathrm{j}}_1:U\times <!--\; \times \; -->F\to <!--\; \to \; -->U$${\mathrm {proj_{1}}}:\,U\times F\to U$  — проекция произведения пространств на первый сомножитель.

Пространство $E$$E$  также называется тотальным пространством расслоения, или расслоенным пространством.

Связанные определенияПравить

• Сечение расслоения — это отображение $s:B\to <!--\; \to \; -->E$$s:B\to E$ , такое что $\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\circ <!--\; \circ \; -->s={\mathrm{i}\mathrm{d}}_B$$\pi \circ s={\mathrm {id}}_{B}$ . Вообще говоря, не каждое расслоение имеет сечение. Например, пусть $M$$M$  — многообразие, а $E\to <!--\; \to \; -->M$$E\to M$  — подрасслоение векторов единичной длины в касательном расслоении $TM$$TM$ . Тогда сечение расслоения $E$$E$  — это векторное поле без нулей на $M$$M$ . Теорема о причёсывании ежа показывает, что на сфере такого поля не существует.
• Множество $F_x={\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}^{-<!--\; -\; -->1}\{x\}$$F_{x}=\pi ^{{-1}}\{x\}$  называется слоем расслоения $\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$\pi$  над точкой $x\in <!--\; \in \; -->B$$x\in B$ . Каждый слой гомеоморфен пространству $F$$F$ , поэтому пространство $F$$F$  называется общим (или модельным) слоем расслоения $\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$\pi$ ,
• Гомеоморфизм $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}$$\varphi$ , отождествляющий ограничение расслоения $\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$\pi$  над окрестностью точки $x$$x$  с некоторым тривиальным расслоением, называется локальной тривиализацией расслоения $\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$\pi$  над окрестностью точки $x$$x$ .
• Если $\{U_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}\}$$\{U_{{\alpha }}\}$  — покрытие базы $B$$B$  открытыми множествами, и ${\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}:{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}^{-<!--\; -\; -->1}(U_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}})\to <!--\; \to \; -->U_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}\times <!--\; \times \; -->F$$\varphi _{{\alpha }}:\pi ^{{-1}}(U_{{\alpha }})\to U_{{\alpha }}\times F$  — соответствующие им отображения тривиализации, тогда семейство $\{(U_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}},{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}})\}$$\{(U_{{\alpha }},\varphi _{{\alpha }})\}$  называется тривиализующим атласом расслоения $\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}:E\to <!--\; \to \; -->B$$\pi :E\to B$ .
• Предположим локально тривиальное расслоение $\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}:E\to <!--\; \to \; -->B$$\pi :E\to B$  снабжено покрытием $\{U_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}\}$$\{U_{\alpha }\}$  базы $B$$B$  с выделенной тривиализацией ${\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}:U_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}\times <!--\; \times \; -->F\to <!--\; \to \; -->{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}^{-<!--\; -\; -->1}(U_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}})$$\phi _{\alpha }:U_{\alpha }\times F\to \pi ^{{-1}}(U_{\alpha })$  и сужение любого отображения сличения ${\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^{-<!--\; -\; -->1}\circ <!--\; \circ \; -->{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}$$\phi _{\alpha }^{{-1}}\circ \phi _{\beta }$  на слой принадлежит некоторой подгруппе $G$$G$  группы всех автоморфизмов $F$$F$ . Тогда $\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$\pi$  называется локально тривиальным расслоением со структурной группой $G$$G$ .

ПримерыПравить

• Тривиальное расслоение, то есть проекция $B\times <!--\; \times \; -->F\to <!--\; \to \; -->B$$B\times F\to B$  на первый сомножитель.
• Любое накрытие является локально тривиальным расслоением с дискретным слоем.
• Касательное, кокасательное и тензорные расслоения над произвольным многообразием локально тривиальны.
• Если $G$$G$  — топологическая группа, а $H$$H$  — её замкнутая подгруппа, причём факторизация $\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}:G\to <!--\; \to \; -->G/H$$\pi :G\to G/H$  имеет локальные сечения, то $\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$\pi$  является расслоением со слоем $H$$H$  (Steenrod 1951, §7).
• Лист Мёбиуса — пространство нетривиального расслоения над окружностью.
• Расслоение Хопфа — это нетривиальное расслоение $S^3\to <!--\; \to \; -->S^2=S^3/S^1$$S^{3}\to S^{2}=S^{3}/S^{1}$ . Оно не имеет сечений, так как оно является главным расслоением со структурной группой $U(1)$$U(1)$ , а любое главное расслоение, допускающее сечение, тривиально.
• Сконструировать расслоение можно, задав произвольно его базу (пространство $B$$B$ ), общий слой (пространство $F$$F$ ) и отображения перехода (1-коцикл Чеха $\{u_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}:U_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}\to <!--\; \to \; -->\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}F\}$$\{u_{{\alpha \beta }}:U_{{\alpha }}\to {\mathrm {Aut}}\,F\}$ ) для какого-нибудь открытого покрытия пространства $B$$B$ . Тогда пространство E формально можно получить как множество троек вида $\{(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->},x,f_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}):x\in <!--\; \in \; -->U_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}},f_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}\in <!--\; \in \; -->F\}$$\{(\alpha ,x,f_{{\alpha }}):\,x\in U_{{\alpha }},\,f_{{\alpha }}\in F\}$  с правилом отождествления:

$(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->},x,f_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}})=(\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->},x,f_{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}})$$(\alpha ,x,f_{{\alpha }})=(\beta ,x,f_{{\beta }})$ , если $f_{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}=u_{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{f}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}$$f_{{\beta }}=u_{{\beta \alpha }}f_{{\alpha }}$ 

СвойстваПравить

• Для локально тривиальных расслоений верна теорема о накрывающей гомотопии. Пусть заданы $\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}:E\to <!--\; \to \; -->B$$\pi :E\to B$  — локально тривиальное расслоение, отображения $g:<!--\; :\; -->M\to <!--\; \to \; -->B$$g\colon M\to B$  и $f:<!--\; :\; -->M\to <!--\; \to \; -->E$$f\colon M\to E$ , так что $g=\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\circ <!--\; \circ \; -->f$$g=\pi \circ f$ , и гомотопия $\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{g}:<!--\; :\; -->M\times <!--\; \times \; -->[0;1]\to <!--\; \to \; -->B$${\tilde g}\colon M\times [0;1]\to B$  отображения $g$$g$  (то есть $\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{g}(m,0)=g(m)$${\tilde g}(m,0)=g(m)$ ). Тогда существует гомотопия $\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{f}:<!--\; :\; -->M\times <!--\; \times \; -->[0;1]\to <!--\; \to \; -->E$${\tilde f}\colon M\times [0;1]\to E$  отображения $f$$f$ , такая что $\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{g}=\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\circ <!--\; \circ \; -->\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{f}$${\tilde {g}}=\pi \circ {\tilde {f}}$ , то есть следующая диаграмма коммутативна

  ${\begin{matrix}M\times [0;1]\!&&{\stackrel {{\tilde f}}{\longrightarrow }}\!&&E\\\\&&{\tilde g}\searrow &&\downarrow \pi \\\\&&&&B\end{matrix}}$ 

• Пусть имеется локально тривиальное расслоение $E\to <!--\; \to \; -->B$$E\to B$  со слоем $F$$F$  (иногда записываемое формально как $F\to <!--\; \to \; -->E\to <!--\; \to \; -->B$$F\to E\to B$ ). Тогда последовательность гомотопических групп точна:

$\cdots <!--\; \cdots \; -->\to <!--\; \to \; -->{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}_2(F)\to <!--\; \to \; -->{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}_2(E)\to <!--\; \to \; -->{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}_2(B)\to <!--\; \to \; -->{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}_1(F)\to <!--\; \to \; -->{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}_1(E)\to <!--\; \to \; -->{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}_1(B)\to <!--\; \to \; -->{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}_0(F)$$\dots \to \pi _{2}(F)\to \pi _{2}(E)\to \pi _{2}(B)\to \pi _{1}(F)\to \pi _{1}(E)\to \pi _{1}(B)\to \pi _{0}(F)$ 

• Отображения перехода удовлетворяют условию 1-коцикла Чеха:

Если $x\in <!--\; \in \; -->U_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}\cap <!--\; \cap \; -->U_{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}\cap <!--\; \cap \; -->U_{\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}$$x\in U_{{\alpha }}\cap U_{{\beta }}\cap U_{{\gamma }}$ , то $u_{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}(x)=u_{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}(x)\circ <!--\; \circ \; -->u_{\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}(x)$$u_{{\beta \alpha }}(x)=u_{{\beta \gamma }}(x)\circ u_{{\gamma \alpha }}(x)$ .

• Два расслоения над одной и той же базой и с одним и тем же общим слоем изоморфны тогда и только тогда, когда 1-коциклы Чеха, соответствующие им, когомологичны. (Отметим, что в случае, когда группа $\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}F$${\mathrm {Aut}}\,F$  некоммутативна, одномерные когомологии $H^1(B,\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}F)$$H^{1}(B,{\mathrm {Aut}}\,F)$  не образуют группу, а образуют множество, на котором действует (слева) группа 0-коцепей Чеха $C^0(B,\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}F)$$C^{0}(B,{\mathrm {Aut}}\,F)$ :

  $u_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}^{\prime }(x)=f_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}(x)\circ <!--\; \circ \; -->u_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}(x)\circ <!--\; \circ \; -->f_{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}(x{)}^{-<!--\; -\; -->1}$$u_{{\alpha \beta }}'(x)=f_{{\alpha }}(x)\circ u_{{\alpha \beta }}(x)\circ f_{{\beta }}(x)^{{-1}}$ ,

где $\{f_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}:U_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}\to <!--\; \to \; -->\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}F\}$$\{f_{{\alpha }}:U_{{\alpha }}\to {\mathrm {Aut}}\,F\}$  — 0-коцепь Чеха, действующая на 1-коцикл Чеха $\{u_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}:U_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}\cap <!--\; \cap \; -->U_{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}\to <!--\; \to \; -->\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}F\}$$\{u_{{\alpha \beta }}:U_{{\alpha }}\cap U_{{\beta }}\to {\mathrm {Aut}}\,F\}$ . 1-коциклы называются когомологичными, если они лежат в одной орбите этого действия.)

• Для любого локально тривиального расслоения $\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}:X\to <!--\; \to \; -->B$$\pi :X\to B$  и непрерывного отображения $f:B^{\prime }\to <!--\; \to \; -->B$$f:B'\to B$  индуцированное расслоение $f^{\ast <!--\; \ast \; -->}(\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->})$$f^{*}(\pi )$  является локально тривиальным.

Вариации и обобщенияПравить

• Локально тривиальные расслоения являются частным случаем
  • расслоений Гуревича и
  • расслоений Серра.

• Если пространства $E,B,F$$E,B,F$  — гладкие (дифференцируемые) многообразия, отображение $\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$\pi$  — гладкое и допускающее тривиализующий атлас с гладкими отображениями тривиализации, то само расслоение называется гладким расслоением.
• Расслоение называется голоморфным, если пространства $E,B,F$$E,B,F$  — комплексные многообразия, отображение $\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$\pi$  — голоморфное и существует тривиализующий атлас с голоморфными отображениями тривиализации.
• Главное расслоение.

См. такжеПравить

• Теория Янга — Миллса

ЛитератураПравить

• Васильев В. А. Введение в топологию. — М.: ФАЗИС, 1997. — 132 с. — ISBN 5-7036-0036-7.
• Steenrod, Norman (1951), The Topology of Fibre Bundles, Princeton University Press, ISBN 0-691-08055-0