Индуцированное расслоение

Индуцированное расслоение — расслоение $f^{\ast <!--\; \ast \; -->}(\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}):<!--\; :\; -->E^{\prime }\to <!--\; \to \; -->B^{\prime }$$f^{*}(\pi )\colon E'\to B'$, индуцированное отображением $f:<!--\; :\; -->B^{\prime }\to <!--\; \to \; -->B$$f\colon B'\to B$ и расслоением $\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}:<!--\; :\; -->E\to <!--\; \to \; -->B$$\pi \colon E\to B$, где $E^{\prime }$$E'$ — подпространство прямого произведения $B^{\prime }\times <!--\; \times \; -->E$$B'\times E$, состоящее из пар $(b^{\prime },e)$$(b',e)$, для которых $f(b^{\prime })=\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}(e)$$f(b')=\pi (e)$, и $f^{\ast <!--\; \ast \; -->}(\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}):<!--\; :\; -->(b^{\prime },e)\mapsto <!--\; \mapsto \; -->b^{\prime }$$f^{*}(\pi )\colon (b',e)\mapsto b'$.

При этом следующая коммутативная диаграмма образует декартов квадрат:

СвойстваПравить

• Отображение $F:<!--\; :\; -->E^{\prime }\to <!--\; \to \; -->E$$F\colon E'\to E$  индуцированного расслоения в исходное расслоение, определённое формулой $F(b^{\prime },e)=e$$F(b',e)=e$ , является морфизмом расслоений, накрывающим $f$$f$ .
  • Для каждой точки $b^{\prime }\in <!--\; \in \; -->B^{\prime }$$b'\in B'$  ограничения на слой является гомеоморфизмами.
• Для любого расслоения $\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->}:<!--\; :\; -->X\to <!--\; \to \; -->B^{\prime }$$\eta \colon X\to B'$  и морфизма $H:\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->}\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$H:\eta \to \pi$ , накрывающего $f$$f$ , существует один и только один морфизм $K:\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->}\to <!--\; \to \; -->f^{\ast <!--\; \ast \; -->}(\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->})$$K:\eta \to f^{*}(\pi )$ , удовлетворяющий соотношениям

  $FK=H$$FK=H$ 

  $f\ast <!--\; \ast \; -->(\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->})K=\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->}$$f*(\pi )K=\eta$ .

• Расслоения, индуцированные изоморфными расслоениями, изоморфны, расслоение, индуцированное постоянным отображением, изоморфно тривиальному.
• Для любого сечения $s$$s$  расслоения $\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$\pi$  отображение $\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}:<!--\; :\; -->B^{\prime }\to <!--\; \to \; -->E^{\prime }$$\sigma \colon B'\to E'$ , определённое формулой $\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}(b^{\prime })=(b^{\prime },sf(b^{\prime }))$$\sigma (b')=(b',sf(b'))$ , является сечением индуцированного расслоения $f^{\ast <!--\; \ast \; -->}(\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->})$$f^{*}(\pi )$  и удовлетворяет соотношению $F\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}=sf$$F\sigma =sf$ .