Касательное расслоение

Касательное расслоение гладкого многообразия $M$$M$ — векторное расслоение над $M$$M$, слой которого в точке $x\in <!--\; \in \; -->M$$x\in M$ является касательным пространством $T_{x}M$$T_{x}M$ в точке $x$$x$. Касательное расслоение обычно обозначается $TM$$TM$.

Неформально, касательное расслоение многообразия (в данном случае окружности) получается при рассмотрении всех касательных пространств (сверху) и объединении их гладко без пересечений (снизу)

Элемент тотального пространства $TM$$TM$ — это пара $(x,v)$$(x,\;v)$, где $x\in <!--\; \in \; -->M$$x\in M$ и $v\in <!--\; \in \; -->T_{x}M$$v\in T_{x}M$. Касательное расслоение обладает естественной топологией (не топологией дизъюнктивного объединения) и гладкой структурой, превращающими его в многообразие. Размерность $TM$$TM$ равна удвоенной размерности $M$$M$.

Топология и гладкая структураПравить

Если $M$$M$  — $n$$n$ -мерное многообразие, то оно обладает атласом карт $(U_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}},{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}})$$(U_{\alpha },\;\varphi _{\alpha })$ , где $U_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}$$U_{\alpha }$  — открытое подмножество $M$$M$  и

${\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}:<!--\; :\; -->U_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}\to <!--\; \to \; -->{\mathbb{R}}^n$$\varphi _{\alpha }\colon U_{\alpha }\to \mathbb{R} ^{n}$ 

— гомеоморфизм.

Эти локальные координаты на $U$$U$  порождают изоморфизм между $T_{x}M$$T_{x}M$  и ${\mathbb{R}}^n$$\mathbb {R} ^{n}$  для любого $x\in <!--\; \in \; -->U$$x\in U$ . Можно определить отображение

${\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}:<!--\; :\; -->{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}^{-<!--\; -\; -->1}(U_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}})\to <!--\; \to \; -->{\mathbb{R}}^{2n}$${\tilde \varphi }_{\alpha }\colon \pi ^{{-1}}(U_{\alpha })\to \mathbb{R} ^{{2n}}$ 

как

${\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}(x,v^i{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_i)=({\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}(x),v^1,\dots <!--\; \dots \; -->,v^n).$${\tilde \varphi }_{\alpha }(x,\;v^{i}\partial _{i})=(\varphi _{\alpha }(x),\;v^{1},\;\ldots ,\;v^{n}).$ 

Эти отображения используются для определения топологии и гладкой структуры на $TM$$TM$ .

Подмножество $A$$A$  из $TM$$TM$  открыто тогда и только тогда, когда ${\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}(A\cap <!--\; \cap \; -->{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}^{-<!--\; -\; -->1}(U_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}))$${\tilde \varphi }_{\alpha }(A\cap \pi ^{{-1}}(U_{\alpha }))$  — открытое в ${\mathbb{R}}^{2n}$$\mathbb{R} ^{{2n}}$  для любого $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\alpha$ . Эти отображения — гомеоморфизмы открытых подмножеств $TM$$TM$  и ${\mathbb{R}}^{2n}$$\mathbb{R} ^{{2n}}$ , поэтому они образуют карты гладкой структуры на $TM$$TM$ . Функции перехода на пересечениях карт ${\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}^{-<!--\; -\; -->1}(U_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}\cap <!--\; \cap \; -->U_{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}})$$\pi ^{{-1}}(U_{\alpha }\cap U_{\beta })$  задаются матрицами Якоби соответствующих преобразований координат, поэтому они являются гладкими отображениями открытых подмножеств ${\mathbb{R}}^{2n}$$\mathbb{R} ^{{2n}}$ .

Касательное расслоение — частный случай более общей конструкции, называемой векторным расслоением. Касательное расслоение $n$$n$ -мерного многообразия $M$$M$  можно определить как векторное расслоение ранга $n$$n$  над $M$$M$ , функции перехода для которого задаются якобианом соответствующих преобразований координат.

ПримерыПравить

• Простейший пример получается для ${\mathbb{R}}^n$$\mathbb {R} ^{n}$ . В этом случае касательное расслоение тривиально и изоморфно проекции ${\mathbb{R}}^{2n}\to <!--\; \to \; -->{\mathbb{R}}^n$$\mathbb{R} ^{{2n}}\to \mathbb{R} ^{n}$ .
• Единичная окружность $S^1$$S^{1}$ . Её касательное расслоение также тривиально и изоморфно $S^1\times <!--\; \times \; -->\mathbb{R}$$S^{1}\times \mathbb{R}$ . Геометрически, оно является цилиндром бесконечной высоты (см. картинку вверху).
• Простой пример нетривиального касательного расслоения получается на единичной сфере $S^2,$$S^{2},$  это касательное расслоение нетривиально вследствие теоремы о причёсывании ежа.

К несчастью, изобразить можно только касательные расслоения действительной прямой $R$$R$  и единичной окружности $S^1$$S^{1}$ , которые оба являются тривиальными. Для двумерных многообразий касательное расслоение — это 4-мерное многообразие, поэтому его сложно представить.

Векторные поляПравить

Векторное поле — это гладкая векторная функция на многообразии $M$$M$ , значение которой в каждой точке — вектор, касательный к $M$$M$ , то есть гладкое отображение

$V:<!--\; :\; -->M\to <!--\; \to \; -->TM$$V\colon M\to TM$ 

такое, что образ $x$$x$ , обозначаемый $V_x$$V_{x}$ , лежит в $T_{x}M$$T_{x}M$  — касательном пространстве в точке $x$$x$ . На языке локально тривиальных расслоений, такое отображение называется сечением. Векторное поле на $M$$M$  — это сечение касательного расслоения над $M$$M$ .

Множество всех векторных полей над $M$$M$  обозначается $\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}(TM)$$\Gamma (TM)$ . Векторные поля можно складывать поточечно:

$(V+W{)}_x=V_x+W_x$$(V+W)_{x}=V_{x}+W_{x}$ 

и умножать на гладкие функции на $M$$M$ 

$(fV{)}_x=f(x)V_x,$$(fV)_{x}=f(x)V_{x},$ 

получая новые векторные поля. Множество всех векторных полей $\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}(TM)$$\Gamma (TM)$  получает при этом структуру модуля над коммутативной алгеброй гладких функций на $M$$M$  (обозначается $C^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}(M)$$C^{\infty }(M)$ ).

Если $f$$f$  есть гладкая функция, то операция дифференцирования вдоль векторного поля $X$$X$  даёт новую гладкую функцию $Xf$$Xf$ . Этот оператор дифференцирования обладает следующими свойствами:

• Аддитивность: $X(f+h)=Xf+Xh$$X(f+h)=Xf+Xh$ .
• Правило Лейбница: $X(fh)=(Xf)\cdot <!--\; \cdot \; -->h+f\cdot <!--\; \cdot \; -->(Xh)$$X(fh)=(Xf)\cdot h+f\cdot (Xh)$ .

Векторное поле на многообразии можно также определить как оператор обладающий вышеперечисленными свойствами.

Локальное векторное поле на $M$$M$  — это локальное сечение касательного расслоения. Локальное векторное поле определяется только на каком-то открытом подмножестве $U$$U$  из $M$$M$ , при этом в каждой точке из $U$$U$  задается вектор из соответствующего касательного пространства. Множество локальных векторных полей на $M$$M$  образует структуру, называемую пучком вещественных векторных пространств над $M$$M$ .

Каноническое векторное поле на TMПравить

На каждом касательном расслоении $TM$$TM$  можно определить каноническое векторное поле. Если $(x,y)$$(x,\;y)$  — локальные координаты на $TM$$TM$ , то векторное поле имеет вид

$V={y^i\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{y}^i}|}_{(x,y)}.$$V=\left.y^{i}{\frac {\partial }{\partial y^{i}}}\right|_{{(x,\;y)}}.$ 

$V$$V$  является отображением $V:<!--\; :\; -->TM\to <!--\; \to \; -->TTM$$V\colon TM\to TTM$ .

Существование такого векторного поля на $TM$$TM$  можно сравнить с существованием канонической 1-формы на кокасательном расслоении.

См. такжеПравить

• Дифференциал отображения
• Векторное поле
• Распределение — подрасслоение касательного расслоения
• Кокасательное расслоение
• Метрика Сасаки — естественная метрика на касательном расслоении риманова многообразия.

СсылкиПравить

• Арнольд В. И. Математические методы классической механики. — 5-е изд., стереотипное. — М.: Едиториал УРСС, 2003. — 416 с. — 1500 экз. — ISBN 5-354-00341-5.
• Васильев В. А. Введение в топологию. — М.: ФАЗИС, 1997. — 132 с. — ISBN 5-7036-0036-7.
• John M. Lee. Introduction to Smooth Manifolds. — New York: Springer-Verlag, 2003. — ISBN 0-387-95495-3.
• Jurgen Jost. Riemannian Geometry and Geometric Analysis. — Berlin: Springer-Verlag, 2002. — ISBN 3-540-42627-2.
• Todd Rowland. Tangent Bundle (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Tangent Bundle (англ.) на сайте PlanetMath.