Теория Янга — Миллса

Тео́рия Я́нга — Ми́ллса — калибровочная теория с неабелевой калибровочной группой. Калибровочные поля в этой теории называются полями Янга — Миллса. Такие теории были предложены в 1954 году Чжэньином Янгом и Робертом Миллсом, и первое время рассматривались лишь как математические поиски, не имеющие отношения к реальности. Однако в 1960—1970-х годах на основе теорий Янга — Миллса были созданы две краеугольные теории стандартной модели в физике элементарных частиц: квантовая хромодинамика (теория сильных взаимодействий) на основе группы SU(3) и теория электрослабых взаимодействий на основе групп SU(2)×U(1).

Характерные свойстваПравить

Неабелевость группы означает, что поля-переносчики взаимодействий Янга — Миллса могут взаимодействовать сами с собой и друг с другом. Это влечёт за собой то, что уравнения, описывающие эволюцию полей Янга — Миллса, являются нелинейными (в противоположность линейным уравнениям Максвелла, отвечающим абелевой теории). Можно также сказать, что для полей Янга — Миллса не выполняется принцип суперпозиции.

Кванты полей Янга — Миллса являются векторными частицами (то есть бозонами со спином 1) и обладают нулевой массой. Однако с помощью механизма спонтанного нарушения симметрии физические поля Янга — Миллса могут приобретать ненулевую массу.

Нелинейность уравнений Янга — Миллса делает их очень сложными для решения. В режиме малой константы связи эти уравнения удаётся решить приближённо в виде ряда теории возмущений, однако как решить эти уравнения в режиме сильной связи, пока неизвестно. Неизвестно также, как именно эта нелинейность приводит к наблюдаемому в нашем мире конфайнменту в сильных взаимодействиях. Проблема решения уравнений Янга — Миллса в общем случае является одной из семи математических «Проблем тысячелетия», за решение любой из которых Математический институт Клэя присудит премию в 1 миллион долларов США.

МатематикаПравить

Теории Янга — Миллса — частный пример калибровочной теории поля с неабелевой группой калибровочной симметрии. Лагранжиан свободного поля Янга — Миллса таких теорий имеет определённый вид

${\mathcal{L}}_{\mathrm{g}\mathrm{f}}=-<!--\; -\; -->\frac{1}{4}\mathrm{Tr}<!--\; \; -->\left(F^2\right)=-<!--\; -\; -->\frac{1}{4}{F}^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}a}{F}_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}^a,$$\ {\mathcal {L}}_{\mathrm {gf} }=-{\frac {1}{4}}\operatorname {Tr} \left(F^{2}\right)=-{\frac {1}{4}}F^{\mu \nu a}F_{\mu \nu }^{a},$ 

где $F$$F$  — 2-форма напряжённости поля Янга — Миллса, остающаяся инвариантной при воздействии на тензор-потенциал $A_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}^a$$A^a_\mu$  калибровочной группы:

$F_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}^a={\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}{A}_{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}^a-<!--\; -\; -->{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}{A}_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}^a+g{f}^{abc}{A}_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}^b{A}_{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}^c,$$\ F_{\mu \nu}^a = \partial_\mu A_\nu^a-\partial_\nu A_\mu^a+gf^{abc}A_\mu^bA_\nu^c,$ 

где под ${\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}$$\partial_\mu$  понимается ковариантная производная в пространстве-времени, в пространстве Минковского в галилеевых координатах сводящаяся к обычной частной производной.

Порождающие алгебры Ли калибровочной группы $T^a$$T^a$  удовлетворяют соотношению

$[T^a,T^b]=i{f}^{abc}{T}^c$$\ [T^{a},T^{b}]=if^{abc}T^{c}$ ,

где $f^{abc}$$f^{abc}$  называются структурными константами группы.

Ковариантные (иногда называемые удлинёнными) производные полей, взаимодействующих через поля Янга — Миллса данной теории, определены как:

$D_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}=I{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}-<!--\; -\; -->ig{T}^a{A}_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}^a$$\ D_\mu=I\partial_\mu-igT^aA^a_\mu$ ,

где $I$$I$  — единичный оператор, а $g$$g$  — это константа взаимодействия. В четырёхмерном пространстве-времени константа взаимодействия $g$$g$  — это безразмерная величина. Для групп $SU(N)$$SU(N)$  $a,b,c=1\dots <!--\; \dots \; -->N^2-<!--\; -\; -->1$$a,b,c=1\ldots N^{2}-1$ .

Вышеприведённое определение $F_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}^a$$F_{\mu \nu}^a$  может быть получено исходя из коммутатора:

$[D_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}},D_{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}]=-<!--\; -\; -->ig{T}^a{F}_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}^a$$\ [D_{\mu },D_{\nu }]=-igT^{a}F_{\mu \nu }^{a}$ .

Само поле Янга — Миллса оказывается при этом самодействующим, а получающиеся уравнения движения:

${\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}{F}_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}^a+g{f}^{abc}{A}^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}b}{F}_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}^c=0$$\partial ^{\mu }F_{\mu \nu }^{a}+gf^{abc}A^{\mu b}F_{\mu \nu }^{c}=0$ 

называются полулинейными. В случае малой константы связи $g<1$  в данной теории применима теория возмущений.

Переход между «верхним» («контравариантным») и «нижним» («ковариантным») векторными или тензорными компонентами тривиальны для групповых латинских индексов (например, $f^{abc}=f_{abc}$$f^{abc}=f_{abc}$ , в групповом пространстве введена евклидова метрика), но нетривиальны для пространственно-временных греческих индексов, которые жонглируются метрикой пространства-времени, в простейшем случае — обычной метрикой Минковского $\eta_{\mu \nu }={\rm diag}\,(+---)$ .

С введением $F_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}=T^a{F}_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}^a$$F_{\mu\nu}=T^aF^a_{\mu\nu}$  уравнения движения можно переписать так:

$(D^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}{F}_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}{)}^a=0.$$(D^{\mu }F_{\mu \nu })^{a}=0.$ 

Так как $F$$F$  — 2-форма, то выполняется тождество Бьянки:

$(D_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}{F}_{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}\mathrm{\kappa <!--\; \kappa \; -->}}{)}^a+(D_{\mathrm{\kappa <!--\; \kappa \; -->}}{F}_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}{)}^a+(D_{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}{F}_{\mathrm{\kappa <!--\; \kappa \; -->}\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}{)}^a=0$$\ (D_{\mu }F_{\nu \kappa })^{a}+(D_{\kappa }F_{\mu \nu })^{a}+(D_{\nu }F_{\kappa \mu })^{a}=0$ .

Источник $J_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}^a$$J_\mu^a$  входит в уравнения движения как:

${\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}{F}_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}^a+g{f}^{abc}{A}^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}b}{F}_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}^c=-<!--\; -\; -->J_{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}^a$$\partial ^{\mu }F_{\mu \nu }^{a}+gf^{abc}A^{\mu b}F_{\mu \nu }^{c}=-J_{\nu }^{a}$ .

(Токи тоже должны правильно меняться при калибровочных преобразованиях.)

В $D$$D$  измерениях пространства-времени поле масштабируется как $[A]=\left[L^{\frac{2-<!--\; -\; -->D}{2}}\right]$$[A]=\left[L^{\frac {2-D}{2}}\right]$  и, таким образом, взаимодействие должно иметь размерность $\left[g^2\right]=[L^{D-<!--\; -\; -->4}]$$\left[g^{2}\right]={\Big [}L^{D-4}{\Big ]}$ . Это означает, что теории Янга — Миллса не перенормируемы для размерностей пространства-времени больше, чем четыре (см. также Антропный принцип). Кроме того, для $D=4$$D=4$  константа связи безразмерна, а поле и квадрат константы взаимодействия имеют одинаковые размерности с полем и константой взаимодействия теории скалярного безмассового поля с самодействием ${\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}^4$$\phi^4$ . Таким образом, эти теории имеют одинаковую масштабную инвариантность на классическом уровне.

ЛитератураПравить

• Янг, Ч., Миллс Р. Сохранение изотопического спина и изотопическая калибровочная инвариантность // Элементарные частицы и компенсирующие поля / под ред. Д. Иваненко. — М.: Мир, 1964. — С. 28—38.
• Славнов, А. А., Фаддеев Л. Д. Введение в квантовую теорию калибровочных полей. — М. : Наука, 1978. — С. 240.

СсылкиПравить

• Физическую «проблему тысячелетия» посчитали неразрешимой