Когомологии Александрова — Чеха

Когомологии Александрова — Чеха — теория когомологий, основанная на свойствах открытых покрытий топологического пространства. Такие когомологии оказываются удобными при изучении патологических пространств.

Идея построения заключается в том, что если покрытие пространства составлено из достаточно маленьких множеств, то когомологии нерва покрытия являются хорошей аппроксимацией когомологий самого пространства.

Названы в честь Александровa и Чеха. Обычно обозначаются ${\stackrel{ˇ<!--\; ˇ\; -->}{H}}^{\ast <!--\; \ast \; -->}$${\check {H}}^{*}$.

ПостроениеПравить

Пусть $X$$X$  — топологическое пространство, $\mathcal{V}$${\mathcal {V}}$  — открытое покрытие $X$$X$ . Обозначим через $N_{\mathcal{V}}$$N_{\mathcal {V}}$  нерв покрытия $\mathcal{V}$${\mathcal {V}}$ .

Предположим, покрытие $\mathcal{W}$${\mathcal {W}}$  вписано в покрытие $\mathcal{V}$${\mathcal {V}}$ , то есть любое множество из $\mathcal{W}$${\mathcal {W}}$  содержится в некотором множестве из $\mathcal{V}$${\mathcal {V}}$ . Выберем отображение, сопоставляющее каждому множеству из $\mathcal{W}$${\mathcal {W}}$  содержащее его множество из $\mathcal{V}$${\mathcal {V}}$ . Это отображение индуцирует отображение нервов $f:<!--\; :\; -->N_{\mathcal{W}}\to <!--\; \to \; -->N_{\mathcal{V}}$$f\colon N_{\mathcal {W}}\to N_{\mathcal {V}}$ . Индуцированный гомоморфизм колец когомологий $f^{\ast <!--\; \ast \; -->}:<!--\; :\; -->H^{\ast <!--\; \ast \; -->}(N_{\mathcal{V}},G)\to <!--\; \to \; -->H^{\ast <!--\; \ast \; -->}(N_{\mathcal{W}},G)$$f^{*}\colon H^{*}(N_{\mathcal {V}},G)\to H^{*}(N_{\mathcal {W}},G)$  не зависит от выбора $f$$f$ . (Поскольку мы работаем с симплициальными комплексами, неважно, какую из теорий когомологий мы выбираем.)

Кольца когомологий $H^{\ast <!--\; \ast \; -->}(N_{\mathcal{V}},G)$$H^{*}(N_{\mathcal {V}},G)$  с гомоморфизмами $f^{\ast <!--\; \ast \; -->}$$f^{*}$  образуют обратную систему. Это даёт возможность перейти к обратному пределу

${\stackrel{ˇ<!--\; ˇ\; -->}{H}}^{\ast <!--\; \ast \; -->}(X,G)=\underset{\leftarrow <!--\; \leftarrow \; -->}{\lim }<!--\; \; -->H^{\ast <!--\; \ast \; -->}(N_{\mathcal{V}},G).$${\check {H}}^{*}(X,G)=\varprojlim H^{*}(N_{\mathcal {V}},G).$ 

Полученное кольцо ${\stackrel{ˇ<!--\; ˇ\; -->}{H}}^{\ast <!--\; \ast \; -->}(X,G)$${\check {H}}^{*}(X,G)$  называется когомологиями Чеха пространства $X$$X$  с коэффициентами в $G$$G$ .

Связь с другими теориями когомологийПравить

 

Польская окружность

• Для патологических пространств когомологии Чеха могут отличатся от сингулярных когомологий.
  • Например, если X — польская окружность, то ${\stackrel{ˇ<!--\; ˇ\; -->}{H}}^1(X;\mathbb{Z})=\mathbb{Z}$${\check {H}}^{1}(X;\mathbb {Z} )=\mathbb {Z}$ , тогда как $H^1(X;\mathbb{Z})=0.$$H^{1}(X;\mathbb {Z} )=0.$ 
• Если X гомотопически эквивалентен СW-комплексу, то когомологии Чеха ${\stackrel{ˇ<!--\; ˇ\; -->}{H}}^{\ast <!--\; \ast \; -->}(X;A)$${\check {H}}^{*}(X;A)$  естественно изоморфны сингулярным когомологиям $H^{\ast <!--\; \ast \; -->}(X;A)$$H^{*}(X;A)$ .
• Если X является гладким многообразием, то когомологии Чеха ${\stackrel{ˇ<!--\; ˇ\; -->}{H}}^{\ast <!--\; \ast \; -->}(X;\mathbb{R})$${\check {H}}^{*}(X;\mathbb {R} )$  естественно изоморфны когомологиям де Рама.

СсылкиПравить

• Александров П. С., «Аnn. of Math.», 1928, v. 30, p. 101-87;
• Сесh Е., «Fundam. math.», 1932, t. 19, p. 149-83;
• Bott, Raoul; Loring Tu. Differential Forms in Algebraic Topology (неопр.). — New York: Springer, 1982. — ISBN 0-387-90613-4.
• Hatcher, Allen  (англ.) (рус.. Algebraic Topology (неопр.). — Cambridge University Press, 2002. — ISBN 0-521-79540-0.
• Wells, Raymond  (англ.) (рус.. Differential Analysis on Complex Manifolds (англ.). — Springer-Verlag, 1980. — ISBN 0-387-90419-0. Chapter 2 Appendix A