Полилинейная алгебра

Полилине́йная а́лгебра — раздел алгебры, обобщающий понятия линейной алгебры на функции нескольких переменных, линейные по каждому из аргументов.

Основные определенияПравить

Основным объектом полилинейной алгебры является полилинейное ($n$$n$ -линейное) отображение:

$f:V_1\times <!--\; \times \; -->\cdots <!--\; \cdots \; -->\times <!--\; \times \; -->V_n\to <!--\; \to \; -->W$$f : V_1 \times \dots \times V_n \rightarrow W$ ,

где $V_1,\dots <!--\; \dots \; -->,V_n$$V_1, \dots, V_n$  и $W$$W$  – векторные пространства над определённым полем $K$$K$ . Условие $n$$n$ -линейности означает, строго говоря, что для каждого $i=1,\dots <!--\; \dots \; -->,n$$i = 1, \dots, n$  семейство отображений

$({\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}_{i}f{)}_{\{x_k|k\ne <!--\; \ne \; -->i\}}:V_k\to <!--\; \to \; -->W;({\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}_{i}f{)}_{\{x_k|k\ne <!--\; \ne \; -->i\}}(x_i)=f(x_1,\dots <!--\; \dots \; -->,x_n)$$(\pi_if)_{\{x_k | k \ne i\}} : V_k \rightarrow W; \quad (\pi_if)_{\{x_k | k \ne i\}}(x_i) = f(x_1, \dots, x_n)$ ,

зависящее от $n-<!--\; -\; -->1$$n-1$  переменных $\{x_k|k\ne <!--\; \ne \; -->i\}$$\{x_k | k \ne i\}$  как от параметров, состоит из линейных отображений. Можно также определить $n$$n$ -линейное отображение рекурсивно (по индукции), как линейное отображение из $V_n$$V_{n}$  в векторное пространство $(n-<!--\; -\; -->1)$$(n-1)$ -линейных отображений.

• 2-линейное отображение называется билинейным, 3-линейное — трилинейным. Если $W$$W$  совпадает с полем $K,$$K,$  то отображение называется полилинейной формой.

• Полилинейная форма называется симметричной, если её значение не изменятся при перестановке любых двух аргументов, и следовательно, при любой перестановке всех аргументов.
• Полилинейная форма называется кососимметричной (антисимметричной), если её значение изменятся на противоположное при перестановке любых двух аргументов. Следовательно, при перестановке всех аргументов ей значение не изменятся, если перестановка чётная, и изменятся на противоположное, если перестановка нечётная.
• Теорема: для каждого $n>1$$n>1$  существует единственная (с точностью до умножения на константу — элемент поля $K$$K$ ) кососимметричная $n$$n$ -линейная форма $f:V_1\times <!--\; \times \; -->\cdots <!--\; \cdots \; -->\times <!--\; \times \; -->V_n\to <!--\; \to \; -->K$$f : V_1 \times \dots \times V_n \rightarrow K$ . Это — определитель матрицы, составленной из векторов $V_1,\dots <!--\; \dots \; -->,V_n$$V_1, \dots, V_n$ .

• Возможно обобщение отображений с векторных пространств (над полями) на модули над кольцами.

Квадратичные и билинейные формыПравить

Основная статья: Билинейная форма

Основная статья: Квадратичная форма

Алгебраические формы (однородные многочлены на векторных пространствах, задаваемые однородными многочленами от координат вектора) являются важными объектами изучения в линейной алгебре. Наибольший интерес из них представляют квадратичные формы и билинейные формы, но также изучаются и формы высших степеней, полилинейные формы, поликвадратичные формы, некоторые специальные виды форм (полуторалинейные, эрмитовы). Основными вопросами при изучении алгебраических форм являются законы изменения коэффициентов при линейных преобразованиях (заменах координат), способы приведения к каноническому виду посредством линейных преобразований и взаимопредставление форм.

Квадратичная форма — объект линейной алгебры, фигурирующий во многих разделах математики, в частности, в теории чисел, теории групп (ортогональная группа), дифференциальной геометрии, алгебрах Ли (киллингова форма^[en]), определяемый как однородный многочлен второй степени в основном поле от $n$$n$  переменных ($n$$n$  — размерность рассматриваемого пространства). Квадратичная форма может быть представлена как матрица $n\times <!--\; \times \; -->n$$n\times n$ , которая (при основном поле характеристики, отличной от 2) является симметрической, а каждой симметрической матрице соответствует квадратичная форма, соответственно, над квадратичными формами вводятся те же операции, что и над матрицами (умножение на скаляр, сложение), квадратичные формы могут быть приведены к каноническому виду — диагональной форме:

$\underset{i=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{a}_i{x}_i^2=a_1{x}_1^2+a_2{x}_2^2+\cdots <!--\; \cdots \; -->+a_n{x}_n^2$$\sum_{i=1}^n a_i x_i^2 = a_1 x_1^2 + a_2 x_2^2 +\cdots + a_n x_n^2$ ,

(одним из практических способов приведения является метод Лагранжа) и рассматривается $[a_1,\dots <!--\; \dots \; -->,a_n]$$[a_1, \dots, a_n]$  как класс эквивалентности всех квадратичных форм, приводимых к диагональной форме с соответствующими коэффициентами, внутри таких классов эквивалентности сохраняются ранг и сигнатура.

Рассмотрение пары линейных форм (однородных многочленов первой степени) как единой функции от двух систем переменных (в терминах линейных пространств — над декартовым произведением двух векторных пространств, в наиболее общем случае — над произведением левого и правого унитарных модулей над одним кольцом с единицей) приводит к понятию билинейной формы (с точки зрения тензорной алгебры, билинейная форма рассматривается как тензор ранга $(2,0)$$(2,0)$ ). Как и квадратичная форма, билинейная может быть выражена матрицей, притом всякая билинейная форма $B$$B$  может быть представлена квадратичной:

$Q_b(x)=B(x,y)+B(y,x)$$Q_b(x)= B(x,y) + B(y,x)$ 

притом, в случае, когда векторное пространство определено над полем характеристики отличной от 2, взаимно единственным образом.

Ввиду особой важности (как для самой линейной алгебры, так и для приложений) наиболее детально изучены свойства симметричных $(B(x,y)=B(y,x))$$(B(x,y)=B(y,x))$  и кососимметричных $(B(x,y)=-<!--\; -\; -->B(y,x))$$(B(x,y)= - B(y,x))$  билинейных форм.

Другие примерыПравить

Формализма

• Тензорное исчисление
• Алгебра Клиффорда

Объектов

• Поливектор
• Грассманиан

Операций

• Тензорное произведение — создаёт линейное пространство, но отображения, линейные на произведении, соответствуют полилинейным отображениям на исходных пространствах

ЛитератураПравить

Полилинейная алгебра — статья из Математической энциклопедии. А. Л. Онищик

• Мальцев А. И. Основы линейной алгебры. — 3-е. — М.: Наука, 1970. — 400 с.