Билинейная форма

Пусть $L$$L$ есть векторное пространство над полем $K$$K$ (чаще всего рассматриваются поля $K=\mathbb{R}$$K={\mathbb R}$ или $K=\mathbb{C}$$K={\mathbb C}$).

Билинейной формой называется функция $F:<!--\; :\; -->L\times <!--\; \times \; -->L\to <!--\; \to \; -->K$$F\colon L\times L\to K$, линейная по каждому из аргументов:

$F(x+z,y)=F(x,y)+F(z,y)$$F(x+z,\,y)=F(x,\,y)+F(z,\,y)$,

$F(x,y+z)=F(x,y)+F(x,z)$$F(x,\,y+z)=F(x,\,y)+F(x,\,z)$,

$F(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}x,y)=\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}F(x,y)$$F(\lambda x,\,y)=\lambda F(x,\,y)$,

$F(x,\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}y)=\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}F(x,y)$$F(x,\,\lambda y)=\lambda F(x,\,y)$,

здесь $x,y,z\in <!--\; \in \; -->L$$x,y,z\in L$ и $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}\in <!--\; \in \; -->K.$$\lambda \in K.$

Билинейная форма — частный случай понятия тензора (тензор ранга (0,2)).

Альтернативное определениеПравить

В случае конечномерных пространств (например, ${\mathbb{R}}^n$$\mathbb {R} ^{n}$ ) чаще используется другое определение.

Пусть $L$$L$  есть множество векторов вида $x=(x_1,x_2,\dots <!--\; \dots \; -->,x_n),$$x=(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}),$  где $x_i\in <!--\; \in \; -->K,i=\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{1,n}$$x_{i}\in K,i=\overline {1,n}$ .

Билинейными формами называются функции $F:<!--\; :\; -->L\times <!--\; \times \; -->L\to <!--\; \to \; -->K$$F\colon L\times L\to K$  вида

$F(x,y)=\underset{i,j=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{a}_{ij}{x}_i{y}_j,$$F(x,y)=\sum _{{i,\,j=1}}^{n}a_{{ij}}x_{i}y_{j},$ 

где $x=(x_1,x_2,\dots <!--\; \dots \; -->,x_n),$$x=(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}),$  $y=(y_1,y_2,\dots <!--\; \dots \; -->,y_n),$$y=(y_{1},y_{2},\dots ,y_{n}),$  а $a_{ij}$$a_{{ij}}$  — некоторые константы из поля $K.$$K.$ 

Говоря другими словами, билинейная форма — это функция от двух векторов по $n$$n$  переменных компонент в каждом, являющаяся однородным многочленом первой степени относительно переменных компонент каждого вектора.

Связанные определенияПравить

• Билинейная форма $F$$F$  называется симметричной, если $F(x,y)=F(y,x)$$F(x,\,y)=F(y,\,x)$  для любых векторов $x,y\in <!--\; \in \; -->L$$x,y\in L$ .
• Билинейная форма $F$$F$  называется кососимметричной (антисимметричной), если $F(x,y)=-<!--\; -\; -->F(y,x)$$F(x,\,y)=-F(y,\,x)$  для любых векторов $x,y\in <!--\; \in \; -->L$$x,y\in L$ .
• Вектор $x\in <!--\; \in \; -->L$$x\in L$  называется ортогональным (более точно, ортогональным слева) подпространству $M\subset <!--\; \subset \; -->L$$M\subset L$  относительно $F$$F$ , если $F(x,y)=0$$F(x,\,y)=0$  для всех $y\in <!--\; \in \; -->M$$y\in M$ . Совокупность векторов $x\in <!--\; \in \; -->L$$x\in L$ , ортогональных подпространству $M\subset <!--\; \subset \; -->L$$M\subset L$  относительно данной билинейной формы $F$$F$ , называется ортогональным дополнением подпространства $M\subset <!--\; \subset \; -->L$$M\subset L$  относительно $F$$F$  и обозначается $M^{\perp <!--\; \perp \; -->}$$M^{\perp }$ .
• Радикалом билинейной формы $F$$F$  называется ортогональное дополнение самого пространства $L$$L$  относительно $F$$F$ , то есть совокупность $L^{\perp <!--\; \perp \; -->}$$L^{\perp }$  векторов $x\in <!--\; \in \; -->L$$x\in L$ , для которых $F(x,y)=0$$F(x,\,y)=0$  при всех $y\in <!--\; \in \; -->L$$y\in L$ .

СвойстваПравить

• Множество всех билинейных форм $W(L,L)$$W(L,L)$ , заданных на произвольном фиксированном пространстве, является линейным пространством.
• Любую билинейную форму можно представить в виде суммы симметричной и кососимметричной форм.
• При выбранном базисе $e_1,\dots <!--\; \dots \; -->,e_n$$e_{1},\ldots ,e_{n}$  в $L$$L$  любая билинейная форма $F$$F$  однозначно определяется матрицей

${\begin{pmatrix}F(e_{1},\,e_{1})&F(e_{1},\,e_{2})&\ldots &F(e_{1},\,e_{n})\\F(e_{2},\,e_{1})&F(e_{2},\,e_{2})&\ldots &F(e_{2},\,e_{n})\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\F(e_{n},\,e_{1})&F(e_{n},\,e_{2})&\ldots &F(e_{n},\,e_{n})\end{pmatrix}},$ 

так что для любых векторов $x=x^1{e}_1+x^2{e}_2+\cdots <!--\; \cdots \; -->+x^n{e}_n$$x=x^{1}e_{1}+x^{2}e_{2}+\cdots +x^{n}e_{n}$  и $y=y^1{e}_1+y^2{e}_2+\cdots <!--\; \cdots \; -->+y^n{e}_n$$y=y^{1}e_{1}+y^{2}e_{2}+\cdots +y^{n}e_{n}$ 

$F(x,\,y)={\begin{pmatrix}x^{1}&x^{2}&\ldots &x^{n}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}F(e_{1},\,e_{1})&F(e_{1},\,e_{2})&\ldots &F(e_{1},\,e_{n})\\F(e_{2},\,e_{1})&F(e_{2},\,e_{2})&\ldots &F(e_{2},\,e_{n})\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\F(e_{n},\,e_{1})&F(e_{n},\,e_{2})&\ldots &F(e_{n},\,e_{n})\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}y^{1}\\y^{2}\\\vdots \\y^{n}\end{pmatrix}},$ 

то есть

$F(x,y)=\underset{i,j=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{f}_{ij}{x}^i{y}^j,f_{ij}=F(e_i,e_j).$$F(x,\,y)=\sum _{{i,j=1}}^{n}f_{{ij}}\,x^{i}y^{j},\ \quad f_{{ij}}=F(e_{i},\,e_{j}).$ 

• Это также означает, что билинейная форма полностью определяется своими значениями на векторах базиса.
• Размерность пространства $W(L,L)$$W(L,L)$  есть $\dim <!--\; \; -->W(L,L)=(\dim <!--\; \; -->L{)}^2$$\dim W(L,L)=(\dim L)^{2}$ .
• Несмотря на то, что матрица билинейной формы $F$$F$  зависит от выбора базиса, ранг матрицы билинейной формы в любом базисе один и тот же, он называется рангом билинейной формы $F$$F$ . Билинейная форма называется невырожденной, если её ранг равен $\dim <!--\; \; -->L$$\dim L$ .
• Для любого подпространства $M\subset <!--\; \subset \; -->L$$M\subset L$  ортогональное дополнение $M^{\perp <!--\; \perp \; -->}$$M^{\perp }$  является подпространством $M^{\perp <!--\; \perp \; -->}\subset <!--\; \subset \; -->L$$M^{{\perp }}\subset L$ .
• $\dim <!--\; \; -->L^{\perp <!--\; \perp \; -->}=\dim <!--\; \; -->L-<!--\; -\; -->r$$\dim L^{{\perp }}=\dim L-r$ , где $r$$r$  — ранг билинейной формы $F$$F$ .

Преобразование матрицы билинейной формы при замене базисаПравить

Матрица, представляющая билинейную форму в новом базисе, связана с матрицей, представляющей её в старом базисе, через матрицу, обратную матрице перехода к новому базису (матрице Якоби), через которую преобразуются координаты векторов.

Иными словами, если координаты вектора в старом базисе $X^i$$X^{i}$  выражаются через координаты в новом $x^i$$x^i$  через матрицу $\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}$$\beta$  $X^i=\sum <!--\; \sum \; -->{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}_j^i{x}^j$$X^{i}=\sum \beta _{j}^{i}x^{j}$ , или в матричной записи $X=\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}x$$X=\beta x$ , то билинейная форма $F$$F$  на любых векторах $x$$x$  и $y$$y$  запишется, как

$F(x,y)=\underset{i,j}{\sum <!--\; \sum \; -->}{F}_{ij}{X}^i{Y}^j=\underset{i,j,k,m}{\sum <!--\; \sum \; -->}{F}_{ij}{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}_k^i{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}_m^j{x}^k{y}^m$$F(x,\,y)=\sum _{{i,j}}F_{{ij}}X^{i}Y^{j}=\sum _{{i,j,k,m}}F_{{ij}}\beta _{k}^{i}\beta _{m}^{j}x^{k}y^{m}$ ,

то есть компоненты матрицы, представляющей билинейную форму в новом базисе, будут:

$f_{km}=\underset{i,j}{\sum <!--\; \sum \; -->}{F}_{ij}{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}_k^i{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}_m^j$$f_{{km}}=\sum _{{i,j}}F_{{ij}}\beta _{k}^{i}\beta _{m}^{j}$ ,

или, в матричной записи:

$f={\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}^{T}F\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}$$f=\beta ^{T}F\beta$ ,

$\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}={\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^{-<!--\; -\; -->1}$$\beta =\alpha ^{-1}$ , где $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\alpha$  — матрица прямого преобразования координат $x=\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}X$$x=\alpha X$ .

Связь с тензорными произведениями и функтором HomПравить

Из универсального свойства тензорного произведения следует, что билинейные формы на V находятся во взаимно-однозначном соответствии со множеством $\text{Hom}(V\otimes <!--\; \otimes \; -->V,k)$${\text{Hom}}(V\otimes V,k)$ , где k — основное поле.

Так как функтор тензорного произведения и функтор Hom являются сопряженными, $\text{Hom}(V\otimes <!--\; \otimes \; -->V,k)\cong <!--\; \cong \; -->\text{Hom}(V,\text{Hom}(V,k))$${\text{Hom}}(V\otimes V,k)\cong {\text{Hom}}(V,{\text{Hom}}(V,k))$ , то есть билинейной форме соответствует линейное отображение из $V$$V$  в двойственное пространство $V^{\ast <!--\; \ast \; -->}$$V^*$ . Это соответствие может быть проведено двумя путями (так как существует два функтора тензорного произведения — с зафиксированным левым аргументом и с зафиксированным правым), их часто обозначают как

$B_1(\mathsf{v})=B(\mathsf{v},\cdot <!--\; \cdot \; -->)$$B_{1}({\mathsf {v}})=B({\mathsf {v}},\cdot )$ 

$B_2(\mathsf{v})=B(\cdot <!--\; \cdot \; -->,\mathsf{v})$$B_{2}({\mathsf {v}})=B(\cdot ,{\mathsf {v}})$ .

См. такжеПравить

• Квадратичная форма
• Билинейная операция
• Билинейное преобразование

ЛитератураПравить

• Мальцев А. И. Основы линейной алгебры. — М.: Наука, 1975.
• Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре. — М.: Наука, 1971.
• Фаддеев Д. К. Лекции по алгебре. М.: Наука, 1984.
• Кострикин А. И. Введение в алгебру, М.: Наука, 1977.
• Беклемишев Д. В. Аналитическая геометрия и линейная алгебра. — М.: Высш. шк., 1998. — 320 с.
• Гельфанд И. М., Линейная алгебра. Курс лекций.
• Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — Физматлит, Москва, 2009.