Эрмитова форма

Не следует путать с эрмитовой нормальной формой.

Эрмитова форма — естественный аналог понятия симметричной билинейной формы для комплексных векторных пространств. Для эрмитовых форм верны аналоги многих свойств симметрических форм: приведение к каноническому виду, понятие положительной определенности и критерий Сильвестра.

ОпределениеПравить

Эрмитова форма — это полуторалинейная форма $f(x,y)$$f(x,y)$  от двух векторов векторного пространства $V$$V$  над полем $\mathbb{C}$$\mathbb {C}$  со значениями в этом поле, обладающая свойством симметричности :

$f(x,y)=\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{f(y,x)}\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}x,y\in <!--\; \in \; -->V.$$f(x,y)={\overline {f(y,x)}}\ \ \forall x,y\in V.$ 

Таким образом, полный набор условий, определяющих эрмитову форму, состоит в следующем:

• $f(x_1+x_2,y)=f(x_1,y)+f(x_2,y)\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}{x}_i,y\in <!--\; \in \; -->V,$$f(x_{1}+x_{2},y)=f(x_{1},y)+f(x_{2},y)\ \ \forall x_{i},y\in V,$ 
• $f(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}x,y)=\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}f(x,y)\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}x,y\in <!--\; \in \; -->V,\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\in <!--\; \in \; -->\mathbb{C}.$$f(\alpha x,y)=\alpha f(x,y)\ \ \forall x,y\in V,\ \alpha \in \mathbb {C} .$ 
• $f(x,y_1+y_2)=f(x,y_1)+f(x,y_2)\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}x,y_i\in <!--\; \in \; -->V,$$f(x,y_{1}+y_{2})=f(x,y_{1})+f(x,y_{2})\ \ \forall x,y_{i}\in V,$ 
• $f(x,\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}y)=\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}f(x,y)\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}x,y\in <!--\; \in \; -->V,\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\in <!--\; \in \; -->\mathbb{C},$$f(x,\alpha y)={\overline {\alpha }}f(x,y)\ \ \forall x,y\in V,\ \alpha \in \mathbb {C} ,$ 
• $f(x,y)=\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{f(y,x)}\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}x,y\in <!--\; \in \; -->V.$$f(x,y)={\overline {f(y,x)}}\ \ \forall x,y\in V.$ 

СвойстваПравить

Из условия эрмитовой симметричности немедленно вытекает факт вещественности величины $f(x,x)$$f(x,x)$ . При этом (вещественнозначная) функция $\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(x)=f(x,x)$$\phi (x)=f(x,x)$  на комплексном векторном пространстве V называется квадратично-эрмитовой. Имеет место и обратный факт, который может быть сформулирован как критерий того, что полуторалинейная форма является эрмитовой:

Теорема. Полуторалинейная форма $f(x,y)$$f(x,y)$  является эрмитовой тогда и только тогда, когда связанная с ней функция $\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(x)$$\phi(x)$  принимает только вещественные значения.

В случае выполнения дополнительного условия

$f(x,x)>0\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}x\ne <!--\; \ne \; -->0$$f(x,x)>0\ \ \ \forall x\neq 0$ 

эрмитова форма f(x,y) и квадратично-эрмитова функция $\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(x)$$\phi(x)$  называются положительно определёнными.

ЛитератураПравить

• Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре М.: Наука, 1971.
• Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — Физматлит, Москва, 2009.