Однородный многочлен

Не следует путать с однородными уравнениями.

Одноро́дный многочле́н — многочлен, все одночлены которого имеют одинаковую сумму степеней. Любая алгебраическая форма является однородным многочленом. Квадратичная форма задается однородным многочленом второй степени, бинарная форма — однородным многочленом любой степени от двух переменных.

ПримерыПравить

$x^2+y^2$$x^{2}+y^{2}$  — однородный многочлен;

$x^3+2x{y}^2$$x^3+2xy^2$  — однородный многочлен;

$x^4+qxyz$$x^4+qxyz$  — однородный многочлен;

$x+yz$$x+yz$  — неоднородный многочлен.

Вариации и обобщенияПравить

Однородная функция.

Пусть группа $G$$G$  действует на векторах из переменных. Многочлен $P(z)$$P(z)$  называется обобщенно-однородным (относительно действия группы), если для любого элемента $g$$g$  группы $P(gz)\equiv <!--\; \equiv \; -->hP(z)$$P(gz)\equiv hP(z)$ , где множитель $h$$h$  зависит только от $g$$g$ . Величина (степень, класс, либо другая характеристика) множителя $h$$h$  называется степенью однородности многочлена.

Например, любой однородный многочлен является обобщённо-однородным относительно диагонального действия алгебраического тора:

$g\in <!--\; \in \; -->\mathbb{C}\setminus <!--\; \setminus \; -->\{0\}:g(z_1,\dots <!--\; \dots \; -->,z_n)=(g{z}_1,\dots <!--\; \dots \; -->,g{z}_n),$$g\in \mathbb C\setminus\{0\} : g(z_1,\dots,\,z_n)=(gz_1,\dots,\,gz_n),$ 

поскольку

$P(gz)=\underset{|\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}|=k}{\sum <!--\; \sum \; -->}{c}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}(gz{)}^{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}=g^k\underset{|\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}|=k}{\sum <!--\; \sum \; -->}{c}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}(z{)}^{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}=g^{k}P(z).$$P(gz)=\sum _{|\alpha |=k}c_{\alpha }(gz)^{\alpha }=g^{k}\sum _{|\alpha |=k}c_{\alpha }(z)^{\alpha }=g^{k}P(z).$ 

В данном случае степень однородности многочлена $k$$k$  совпадает с его степенью.