Билинейное отображение

Не следует путать с Билинейное преобразование.

Билинейное отображение — бинарное отображение векторных пространств, линейное по каждому из двух аргументов.

Понятие обобщается до модулей над кольцом: если $V{\displaystyle }$$V\displaystyle$ — левый унитарный $A$$A$-модуль, $W{\displaystyle }$$W\displaystyle$ — правый унитарный $B$$B$-модуль, $X{\displaystyle }$$X\displaystyle$ — $(A,B)$$(A,B)$-бимодуль, то $f:<!--\; :\; -->V\times <!--\; \times \; -->W\to <!--\; \to \; -->X$$f\colon V\times W\to X$ билинейно, если оно линейно по каждому из двух аргументов ($v,v^{\prime }\in <!--\; \in \; -->V;w,w^{\prime }\in <!--\; \in \; -->W;a\in <!--\; \in \; -->A;b\in <!--\; \in \; -->B$$v,v'\in V;\,w,w'\in W;\,a\in A;\,b\in B$):

$f(v+v^{\prime },w)=f(v,w)+f(v^{\prime },w)$$f(v+v',w)=f(v,w)+f(v',w)$,

$f(av,w)=af(v,w)$$f(av,w)=af(v,w)$,

$f(v,w+w^{\prime })=f(v,w)+f(v,w^{\prime })$$f(v,w+w')=f(v,w)+f(v,w')$,

$f(v,wb)=f(v,w)b$$f(v,wb)=f(v,w)b$.

Эквивалентная формулировка: $f:<!--\; :\; -->V\times <!--\; \times \; -->W\to <!--\; \to \; -->X$$f\colon V\times W\to X$ билинейно, если определено линейное отображение $f_1:V\to <!--\; \to \; -->\text{Hom}(W,X)$$f_{1}:V\to {\text{Hom}}(W,X)$ (или, что то же самое, определено линейное отображение $f_2:W\to <!--\; \to \; -->\text{Hom}(V,X)$$f_{2}:W\to {\text{Hom}}(V,X)$).

Билинейная форма в наиболее общем случае — билинейное отображение $V\times <!--\; \times \; -->W\to <!--\; \to \; -->A$$V\times W\to A$, где $V$$V$ — левый унитарный $A$$A$-модуль, $W$$W$ — правый унитарный $A$$A$-модуль, а $A$$A$ — рассматриваемое как $(A,A)$$(A,A)$-бимодуль кольцо с единицей. Билинейная операция — линейное по обоим аргументам отображение $f:<!--\; :\; -->X\times <!--\; \times \; -->X\to <!--\; \to \; -->X$$f\colon X\times X\rightarrow X$, таковыми являются умножения в алгебрах над кольцами, а также различные разновидности умножения матриц.

ЛитератураПравить

• Серж Ленг. Алгебра. — М.: Мир, 1968. — С. 110.
• Билинейное отображение — статья из Математической энциклопедии. В. Л. Попов