Полуторалинейная форма

Полуторалинейная форма — обобщение понятия билинейной формы. Как правило под полуторалинейной формой подразумевают функцию f(x, y) от двух векторов векторного пространства $V$$V$ над полем $\mathbb{C}$$\mathbb {C}$ со значениями в этом поле, если она линейная как функция $x$$x$ при каждом фиксированном $y$$y$ и полулинейная как функция $y$$y$ при каждом фиксированном $x$$x$. Требование полулинейности по $y$$y$ означает, что выполнены следующие условия:

• $f(x,y_1+y_2)=f(x,y_1)+f(x,y_2)\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}x,y_i\in <!--\; \in \; -->V,$$f(x,y_{1}+y_{2})=f(x,y_{1})+f(x,y_{2})\ \ \forall x,y_{i}\in V,$
• $f(x,\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}y)=\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}f(x,y)\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}x,y\in <!--\; \in \; -->V,\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\in <!--\; \in \; -->\mathbb{C}.$$f(x,\alpha y)={\overline {\alpha }}f(x,y)\ \ \forall x,y\in V,\ \alpha \in \mathbb {C} .$

Так определённые формы естественным образом возникают в приложениях к физике.

Существует обобщение на случай, когда векторное пространство рассматривается над произвольным полем, тогда комплексное сопряжение заменяется на произвольный фиксированный автоморфизм поля. В проективной геометрии иногда рассматривают ещё большее обобщение, когда вместо векторного пространства используется модуль над произвольным телом $K$$K$.

Договорённости о порядке аргументовПравить

В приведённом в преамбуле определении выполнена линейность по первому аргументу и полулинейность по второму. Такая договорённость часто используется в математической литературе. Стоит, однако, отметить, что в физической литературе чаще используется полулинейность по первому аргументу, эта договорённость проистекает из введённых Дираком в квантовой механике обозначений бра и кет.

В комплексном векторном пространствеПравить

Отображение $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}:V\times <!--\; \times \; -->V\to <!--\; \to \; -->\mathbb{C}$$\varphi :V\times V\to \mathbb {C}$  в комплексном векторном пространстве $V$$V$  называется полуторалинейным, если:

${\begin{aligned}&\varphi (x+y,z+w)=\varphi (x,z)+\varphi (x,w)+\varphi (y,z)+\varphi (y,w)\\&\varphi (ax,by)=a{\overline {b}}\,\varphi (x,y)\end{aligned}}$ 

для всех $x,y,z,w\in <!--\; \in \; -->V$$x,y,z,w\in V$  и всех $a,b\in <!--\; \in \; -->\mathbb{C}.$$a,b\in \mathbb {C} .$  Здесь под $\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{b}$$\overline {b}$  подразумевается число, комплексно сопряжённое к числу $b.$$b.$ 

Комплексную полуторалинейную форму можно также рассматривать как комплексное билинейное отображение

$$V\times <!--\; \times \; -->\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{V}\to <!--\; \to \; -->\mathbb{C},$$

 

где $\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{V}$${\overline {V}}$  — комплексно-сопряжённое векторное пространство к пространству $V.$$V.$ 

Для фиксированного $w\in <!--\; \in \; -->V$$w\in V$  отображение $z\mapsto <!--\; \mapsto \; -->\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(z,w)$$z\mapsto \varphi (z,w)$  является линейным функционалом на $V$$V$ , то есть элементом двойственного пространства $V^{\ast <!--\; \ast \; -->}$$V^*$ . Аналогично, отображение $w\mapsto <!--\; \mapsto \; -->\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(z,w)$$w\mapsto \varphi (z,w)$  при фиксированном $z$$z$  является антилинейным функционалом на $V.$$V.$ 

Для любой комплексной полуторалинейной формы $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}$$\varphi$  можно рассмотреть вторую форму $\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}$$\psi$  по формуле:

$$\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}(w,z)=\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(z,w)}.$$

 

В общем случае $\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}$$\psi$  и $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}$$\varphi$  будут различны, а их матрицы эрмитово-сопряжены. Если формы совпадают, говорят, что $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}$$\varphi$  эрмитова. Аналогично, если они противоположны друг другу, то говорят, что $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}$$\varphi$  косоэрмитова.

Матричное представлениеПравить

Пусть $V$$V$  — конечномерное комплексное векторное пространство, тогда для любого базиса ${\left\{e_i\right\}}_i$$\left\{e_{i}\right\}_{i}$  полуторалинейную форму $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}$$\varphi$  можно представить при помощи матрицы $\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}$$\Phi$  по следующей формуле:

$$\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(w,z)=\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}\left(\underset{i}{\sum <!--\; \sum \; -->}{w}_i{e}_i,\underset{j}{\sum <!--\; \sum \; -->}{z}_j{e}_j\right)=\underset{i}{\sum <!--\; \sum \; -->}\underset{j}{\sum <!--\; \sum \; -->}{w}_i\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{z_j}\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}\left(e_i,e_j\right)=w^{\mathrm{T}}\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{z}.$$

 

Элементы матрицы $\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}$$\Phi$  определяются из условия ${\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}}_{ij}:=\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}\left(e_i,e_j\right).$$\Phi _{ij}:=\varphi \left(e_{i},e_{j}\right).$ 

Эрмитовы формыПравить

Эрмитова форма (также полуторалинейная симметрическая форма) — это полуторалинейная форма $h:V\times <!--\; \times \; -->V\to <!--\; \to \; -->\mathbb{C}$$h:V\times V\to \mathbb {C}$  на комплексном пространстве $V$$V$  такая, что

$$h(w,z)=\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{h(z,w)}.$$

 

В случае положительной определённости такой формы (определяемой аналогично билинейному случаю) говорят об эрмитовом скалярном произведении. Стандартное эрмитово произведение задаётся формулой

$$⟨<!--\; ⟨\; -->w,z⟩<!--\; ⟩\; -->=\underset{i=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{w}_i{\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{z}}_i.$$

 

Пару из векторного пространства и определённой на нём эрмитовой формы $(V,h)$$(V,h)$  называют эрмитовым пространством, а в положительно определённом случае — комплексным гильбертовым пространством. При записи эрмитовой формы в произвольном базисе получается эрмитова матрица.

При применении эрмитовой формы к одному и тому же вектору

$$|z{|}_h=h(z,z)$$

 

всегда получается вещественное число. Можно показать, что комплексная полуторалинейная форма эрмитова тогда и только тогда, когда соответствующая квадратичная форма вещественна для всех $z\in <!--\; \in \; -->V.$$z\in V.$ 

Косоэрмитовы формыПравить

Косоэрмитова форма — это полуторалинейная форма $s:V\times <!--\; \times \; -->V\to <!--\; \to \; -->\mathbb{C}$$s:V\times V\to \mathbb {C}$  на комплексном пространстве $V$$V$  такая, что

$$s(w,z)=-<!--\; -\; -->\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{s(z,w)}.$$

 

Каждую косоэрмитову форму можно представить как эрмитову, умноженную на $i$$i$ .

При записи косоэрмитовой формы в произвольном базисе получается косоэрмитова (антиэрмитова) матрица.

При применении косоэрмитовой формы к одному и тому же вектору

$$|z{|}_s=s(z,z)$$

 

всегда получается чисто мнимое число.

Над кольцом с делениемПравить

Понятие полуторалинейной формы допускает обобщение на произвольное кольцо с делением. В коммутативном случае это область целостности, в некоммутативном чаще всего используется частный случай, когда кольцо является телом. В коммутативном случае в дальнейшем тексте все антиавтоморфизмы можно считать просто автоморфизмами, так как эти понятия совпадают для коммутативных колец.

ОпределениеПравить

Пусть $K$$K$  — кольцо с делением, а $\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}$$\sigma$  — фиксированный антиавтоморфизм^[en] этого кольца. Тогда $\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}$$\sigma$ -полуторалинейная форма на левом $K$$K$ -модуле $M$$M$  — это билинейное отображение $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}:<!--\; :\; -->M\times <!--\; \times \; -->M\to <!--\; \to \; -->K$$\varphi \colon M\times M\to K$  такое, что для любых $x,y$$x,y$  из модуля $M$$M$  и любых скаляров $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->},\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}$$\alpha ,\beta$  из $K$$K$  выполнено:

$\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(x\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->},y\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->})=\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(x,y)\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}(\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}).$$\varphi (x\alpha ,y\beta )=\alpha \,\varphi (x,y)\,\sigma (\beta ).$ 

Ортогональное дополнениеПравить

Для данной полуторалинейной формы $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}$$\varphi$  на модуле $M$$M$  и подмодуля $W$$W$  модуля $M$$M$  ортогональным дополнением $W$$W$  называется

$W^{\perp <!--\; \perp \; -->}=\{\mathbf{v}\in <!--\; \in \; -->M\mid <!--\; \mid \; -->\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(\mathbf{v},\mathbf{w})=0,\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}\mathbf{w}\in <!--\; \in \; -->W\}.$$W^{\perp }=\{\mathbf {v} \in M\mid \varphi (\mathbf {v} ,\mathbf {w} )=0,\ \forall \mathbf {w} \in W\}.$ 

Аналогично, говорят, что элемент $x\in <!--\; \in \; -->M$$x \in M$  ортогонален элементу $y\in <!--\; \in \; -->M$$y\in M$  по отношению к форме $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}$$\varphi$ , если $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(x,y)=0$$\varphi (x,y)=0$ . Это обозначают как $x{\perp <!--\; \perp \; -->}_{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}y$$x\perp _{\varphi }y$ , или просто $x\perp <!--\; \perp \; -->y$$x\perp y$ , если форма ясна из контекста. Это отношение не обязательно симметрично, то есть из $x\perp <!--\; \perp \; -->y$$x\perp y$  не следует $y\perp <!--\; \perp \; -->x$$y\perp x$ . Если для всех $x,y$$x,y$  из $x\perp <!--\; \perp \; -->y$$x\perp y$  следует $y\perp <!--\; \perp \; -->x$$y\perp x$ , то форму называют рефлексивной.

ПримерПравить

Пусть $V$$V$  — трёхмерное векторное пространство над конечным полем $F=\mathrm{GF}<!--\; \; -->(q^2)$$F=\operatorname {GF} (q^{2})$ , где $q$$q$  — степень простого числа. Пусть два вектора $x$$x$  и $y$$y$  заданы координатами в стандартном базисе $(x_1,x_2,x_3)$$(x_1,x_2,x_3)$  и $y_1,y_2,y_3$$y_{1},y_{2},y_{3}$ . Тогда можно определить отображение $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}$$\varphi$  формулой:

$\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(x,y)=x_1{y}_1{}^q+x_2{y}_2{}^q+x_3{y}_3{}^q.$$\varphi (x,y)=x_{1}y_{1}{}^{q}+x_{2}y_{2}{}^{q}+x_{3}y_{3}{}^{q}.$ 

Отображение $\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}:t\mapsto <!--\; \mapsto \; -->t^q$$\sigma :t\mapsto t^{q}$  — автоморфизм $F$$F$ , являющийся инволюцией. Отображение $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}$$\varphi$  является $\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}$$\sigma$ -полуторалинейной формой. Эта форма эрмитова, а матрица $M_{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}$$M_{\varphi }$ , соответствующая этой форме в стандартном базисе — это просто единичная матрица.

См. такжеПравить

• Билинейная форма
• Линейная форма
• Эрмитова форма
• *-алгебра

ЛитератураПравить

• Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — Физматлит, Москва, 2009.
• Dembowski, Peter (1968), Finite geometries, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, Band 44, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 3-540-61786-8, <https://archive.org/details/finitegeometries0000demb> 
• Gruenberg, K.W. & Weir, A.J. (1977), Linear Geometry (2nd ed.), Springer, ISBN 0-387-90227-9 
• Jacobson, Nathan J. (2009), Basic Algebra I (2nd ed.), Dover, ISBN 978-0-486-47189-1 

Внешние ресурсыПравить

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), Sesquilinear form, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4