Отношение эквивалентности

Отношение эквивалентности — бинарное отношение между элементами данного множества, свойства которого сходны со свойствами отношения равенства.

ОпределениеПравить

Отношение эквивалентности ($\sim <!--\; \sim \; -->$$\sim$ ) на множестве $X$$X$  — это бинарное отношение, для которого при любых $a,b,c$$a,b,c$  из $X$$X$  выполнены следующие условия:

1. рефлексивность: $a\sim <!--\; \sim \; -->a$$a\sim a$ ;
2. симметричность: если $a\sim <!--\; \sim \; -->b$$a\sim b$ , то $b\sim <!--\; \sim \; -->a$$b\sim a$ ;
3. транзитивность: если $a\sim <!--\; \sim \; -->b$$a\sim b$  и $b\sim <!--\; \sim \; -->c$$b\sim c$ , то $a\sim <!--\; \sim \; -->c$$a\sim c$ .

Запись вида «$a\sim <!--\; \sim \; -->b$$a\sim b$ » читается как «$a$$a$  эквивалентно $b$$b$ ».

Связанные определенияПравить

Классом эквивалентности $[a]\subset <!--\; \subset \; -->X$$[a]\subset X$  элемента $a\in <!--\; \in \; -->X$$a\in X$  называется подмножество элементов, эквивалентных $a$$a$ ; то есть,

$[a]=\{x\in <!--\; \in \; -->X\mid <!--\; \mid \; -->x\sim <!--\; \sim \; -->a\}$$[a]=\{\,x\in X\mid x\sim a\,\}$ .

Из вышеприведённого определения немедленно следует, что если $b\in <!--\; \in \; -->[a]$$b\in [a]$ , то $[a]=[b]$$[a]=[b]$ .

Фактормножество — множество всех классов эквивалентности заданного множества $X$$X$  по заданному отношению $\sim <!--\; \sim \; -->$$\sim$ , обозначается $X/\sim <!--\; \sim \; -->$$X/{\sim }$ .

Для класса эквивалентности элемента $a$$a$  используются следующие обозначения: $[a]$$[a]$ , $a/\sim <!--\; \sim \; -->$$a/{\sim }$ , $\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{a}$${\overline {a}}$ .

Множество классов эквивалентности по отношению $\sim <!--\; \sim \; -->$$\sim$  является разбиением множества.

ПримерыПравить

• Равенство («$=$$=$ »), тривиальное отношение эквивалентности на любом множестве, в частности, вещественных чисел.
• Сравнение по модулю: а ≡ b (mod n).
• В евклидовой геометрии
  • Отношение конгруэнтности («$\cong <!--\; \cong \; -->$$\cong$ »).
  • Отношение подобия («$\sim <!--\; \sim \; -->$$\sim$ »).
  • Отношение параллельности прямых («$\Vert <!--\; \Vert \; -->$$\|$ ») (если считать каждую прямую параллельной самой себе).
• Эквивалентность функций в математическом анализе:

  Говорят, что функция $f(x)$$f(x)$  эквивалентна функции $g(x)$$g(x)$  при $x\to <!--\; \to \; -->x_0$$x\rightarrow x_{0}$ , если она допускает представление вида $f(x)=\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}(x)g(x)$$f(x)=\alpha (x)g(x)$ , где $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}(x)\to <!--\; \to \; -->1$$\alpha (x)\rightarrow 1$  при $x\to <!--\; \to \; -->x_0$$x\rightarrow x_{0}$ . В этом случае пишут $f(x)\sim <!--\; \sim \; -->g(x)$$f(x)\sim g(x)$ , напоминая при необходимости, что речь идёт о сравнении функций при $x\to <!--\; \to \; -->x_0$$x\rightarrow x_{0}$ . Если $g(x)\ne <!--\; \ne \; -->0$$g(x) \ne 0$  при $x\ne <!--\; \ne \; -->x_0$$x\neq x_{0}$ , эквивалентность функций $f(x)$$f(x)$  и $g(x)$$g(x)$  при $x\to <!--\; \to \; -->x_0$$x\rightarrow x_{0}$ , очевидно, равносильна соотношению $\underset{x\to <!--\; \to \; -->x_0}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}=1$$\lim _{{x\rightarrow x_{0}}}{{\frac {f(x)}{g(x)}}}=1$ .

• Эквивалентность норм на векторном пространстве.
• Отношение равномощности множеств.
• Изоморфизм групп, колец, векторных пространств
• Эквивалентность категорий.
• Изоморфизм в некоторой категории задаёт отношение эквивалентности на этой категории.
• Эквивалентность гладких атласов гладкого многообразия.

Классы эквивалентностиПравить

Множество всех классов эквивалентности, отвечающее отношению эквивалентности $\sim <!--\; \sim \; -->$$\sim$ , обозначается символом $X/\sim <!--\; \sim \; -->$$X/{\sim }$  и называется фактормножеством относительно $\sim <!--\; \sim \; -->$$\sim$ . При этом сюръективное отображение

$p:<!--\; :\; -->x\mapsto <!--\; \mapsto \; -->[x]$$p\colon x\mapsto [x]$ 

называется естественным отображением (или канонической проекцией) $X$$X$  на фактормножество $X/\sim <!--\; \sim \; -->$$X/{\sim }$ .

Пусть $X$$X$  и $Y$$Y$  — множества, $f:<!--\; :\; -->X\to <!--\; \to \; -->Y$$f\colon X\to Y$  — отображение, тогда бинарное отношение $x\sim <!--\; \sim \; -->y$$x\sim y$ , определённое правилом

$x\sim <!--\; \sim \; -->y⟺<!--\; ⟺\; -->f(x)=f(y),x,y\in <!--\; \in \; -->X$$x\sim y\iff f(x)=f(y),\quad x,y\in X$ ,

является отношением эквивалентности на $X$$X$ . При этом отображение $f$$f$  индуцирует отображение $\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{f}:<!--\; :\; -->X/\sim <!--\; \sim \; -->\to <!--\; \to \; -->Y$${\overline {f}}\colon X/{\sim }\to Y$ , определяемое правилом

$\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{f}([x])=f(x)$${\overline {f}}([x])=f(x)$ 

или, что то же самое,

$(\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{f}\circ <!--\; \circ \; -->p)(x)=f(x)$$(\overline {f}\circ p)(x)=f(x)$ .

При этом получается факторизация отображения $f$$f$  на сюръективное отображение $p$$p$  и инъективное отображение $\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{f}$$\overline {f}$ .

См. такжеПравить

• Отношение толерантности — ослабленная форма эквивалентности.
• Эквиваленция — логическая операция.
• Знак равенства.

ЛитератураПравить

• А. И. Кострикин, Введение в алгебру. М.: Наука, 1977, 47—51.
• А. И. Мальцев, Алгебраические системы, М.: Наука, 1970, 23—30.
• Отношение типа равенства (отношение эквивалентности) // Большая Советская энциклопедия (в 30 т.) / А. М. Прохоров (гл. ред.). — 3-е изд. — М.: Сов. энциклопедия, 1974. — Т. XVIII. — С. 629. — 632 с.