Метод Лагранжа приведения квадратичной формы к каноническому виду

Метод Лагранжа — метод приведения квадратичной формы к каноническому виду, указанный в 1759 году Лагранжем.

ОписаниеПравить

Данный метод состоит в последовательном выделении в квадратичной форме полных квадратов. Пусть задана квадратичная форма:

$\underset{i=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\underset{j=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{a}_{ij}{x}_i{x}_j$$\sum _{{i=1}}^{n}\sum _{{j=1}}^{n}a_{{ij}}x_{i}x_{j}$ 

В силу симметричности матрицы $a_{ij}(a_{ij}=a_{ji})$$a_{{ij}}(a_{{ij}}=a_{{ji}})$  квадратичную форму можно переписать следующим образом:

$\underset{i=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\underset{j=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{a}_{ij}{x}_i{x}_j=\underset{i=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}(a_{ii}{x_i}^2+\underset{j=i+1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}2a_{ij}{x}_i{x}_j)$${\sum _{{i=1}}^{n}\sum _{{j=1}}^{n}a_{{ij}}x_{i}x_{j}}={\sum _{{i=1}}^{n}({a_{{ii}}{x_{i}}^{2}+\sum _{{j=i+1}}^{n}{2a_{{ij}}x_{i}x_{j}}})}$ 

Возможны два случая:

1. хотя бы один из коэффициентов $a_{ii}$$a_{{ii}}$  при квадратах отличен от нуля. Не нарушая общности, будем считать $a_{11}\ne <!--\; \ne \; -->0$$a_{{11}}\neq 0$  (этого всегда можно добиться соответствующей перенумерацией переменных);
2. все коэффициенты $a_{ii}=0,i=1,2,...,n$$a_{ii}=0,i=1,2,...,n$ , но есть коэффициент $a_{ij},i\ne <!--\; \ne \; -->j$$a_{{ij}},i\neq j$ , отличный от нуля (для определённости пусть будет $a_{12}\ne <!--\; \ne \; -->0$$a_{{12}}\neq 0$ ).

В первом случае преобразуем квадратичную форму следующим образом:

$f(x_1,x_2,...,x_n)=(a_{11}{x}_1^2+2a_{12}{x}_1{x}_2+...+2a_{1n}{x}_1{x}_n)+f_1(x_2,x_3,...,x_n)=$$f(x_{1},x_{2},...,x_{n})=(a_{{11}}x_{1}^{2}+2a_{{12}}x_{1}x_{2}+...+2a_{{1n}}x_{1}x_{n})+f_{1}(x_{2},x_{3},...,x_{n})=$ 

$=\frac{1}{a_{11}}(a_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+...+a_{1n}{x}_n{)}^2-<!--\; -\; -->\frac{1}{a_{11}}(a_{12}{x}_2+...+a_{1n}{x}_n{)}^2+f_1(x_2,x_3,...,x_n)=$$={\frac {1}{a_{{11}}}}(a_{{11}}x_{1}+a_{{12}}x_{2}+...+a_{{1n}}x_{n})^{2}-{\frac {1}{a_{{11}}}}(a_{{12}}x_{2}+...+a_{{1n}}x_{n})^{2}+f_{1}(x_{2},x_{3},...,x_{n})=$ 

$=\frac{1}{a_{11}}{y}_1^2+f_2(x_2,x_3,...,x_n)$$={\frac {1}{a_{{11}}}}y_{1}^{2}+f_{2}(x_{2},x_{3},...,x_{n})$ , где

$y_1=a_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+...+a_{1n}{x}_n$$y_{1}=a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+...+a_{1n}x_{n}$ , а через $f_2(x_2,x_3,...,x_n)$$f_{2}(x_{2},x_{3},...,x_{n})$  обозначены все остальные слагаемые.

$f_2(x_2,...,x_n)$$f_{2}(x_{2},...,x_{n})$  представляет собой квадратичную форму от n-1 переменных $x_2,x_3,...,x_n$$x_{2},x_{3},...,x_{n}$ .

С ней поступают аналогичным образом и так далее.

Заметим, что $y_1=\frac{1}{2}\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}f}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}_1}$$y_{1}={\frac {1}{2}}{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}$ 

Второй случай заменой переменных $x_1=y_1+y_2,x_2=y_1-<!--\; -\; -->y_2,x_3=y_3,...,x_n=y_n$$x_{1}=y_{1}+y_{2},x_{2}=y_{1}-y_{2},x_{3}=y_{3},...,x_{n}=y_{n}$  сводится к первому.