Однородная функция

Однородная функция степени $q$$q$ — числовая функция $f:{\mathbb{R}}^n\to <!--\; \to \; -->\mathbb{R}$$f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ такая, что для любого $\mathbf{v}\in <!--\; \in \; -->{\mathbb{R}}^n$$\mathbf {v} \in \mathbb {R} ^{n}$из области определения функции $f$$f$ и любого $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}\in <!--\; \in \; -->\mathbb{R}$$\lambda \in \mathbb {R}$ выполняется равенство:

$f(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}\mathbf{v})={\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}^{q}f(\mathbf{v}).(\ast <!--\; \ast \; -->)$$f(\lambda \mathbf {v} )=\lambda ^{q}f(\mathbf {v} ).\qquad \qquad (*)$

Параметр $q$$q$ называется порядком однородности. Подразумевается, что если $\mathbf{v}\in <!--\; \in \; -->{\mathbb{R}}^n$$\mathbf {v} \in \mathbb {R} ^{n}$входит в область определения функции, то все точки вида $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}\mathbf{v}$$\lambda \mathbf {v}$ тоже входят в область определения функции.

Различают также

• положительно однородные функции, для которых равенство $(\ast <!--\; \ast \; -->)$$(*)$ выполняется только для положительных $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}$$\lambda$ $(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}>0),$$(\lambda >0),$
• абсолютно однородные функции для которых выполняется равенство
      $f(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}\mathbf{v})=|\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}{|}^{q}f(\mathbf{v}),$$f(\lambda \mathbf {v} )=|\lambda |^{q}f(\mathbf {v} ),$
• ограниченно однородные функции, для которых равенство $(\ast <!--\; \ast \; -->)$$(*)$ выполняется только для некоторых выделенных значений $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->},$$\lambda ,$
• комплексные однородные функции $f:{\mathbb{C}}^n\to <!--\; \to \; -->\mathbb{C}$$f:\mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C}$ для которых равенство $(\ast <!--\; \ast \; -->)$$(*)$ справедливо при $\mathbf{v}\in <!--\; \in \; -->{\mathbb{C}}^n$$\mathbf {v} \in \mathbb {C} ^{n}$ и $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}\in <!--\; \in \; -->\mathbb{R}$$\lambda \in \mathbb {R}$ или $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}\in <!--\; \in \; -->\mathbb{C}$$\lambda \in \mathbb {C}$ (а также для комплексных показателей $q\in <!--\; \in \; -->\mathbb{C}$$q\in \mathbb {C}$).

Альтернативное определение однородной функцииПравить

В некоторых математических источниках однородными называются функции, являющиеся решением функционального уравнения

$$f(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}\mathbf{v})=g(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->})f(\mathbf{v})$$

 

с заранее неопределённой функцией $g(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->})$$g(\lambda )$  и лишь потом доказывается, что $g(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->})={\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}^q.$$g(\lambda )=\lambda ^{q}.$  Для единственности решения $g(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->})={\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}^q$$g(\lambda )=\lambda ^{q}$  нужно дополнительное условие, что функция $f(\mathbf{v})$$f(\mathbf {v} )$  не равна тождественно нулю и что функция $g(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->})$$g(\lambda )$  принадлежит определённому классу функций (например, была непрерывной или была монотонной). Однако, если функция $f(\mathbf{v})$$f(\mathbf {v} )$  непрерывна хотя бы в одной точке с ненулевым значением функции, то $g(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->})$$g(\lambda )$  должна быть непрерывной функцией при всех значениях $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->},$$\lambda ,$  и тем самым для широкого класса функций $f(\mathbf{v})$$f(\mathbf {v} )$  случай $g(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->})\equiv <!--\; \equiv \; -->{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}^q$$g(\lambda )\equiv \lambda ^{q}$  — единственно возможный.

Обоснование:

Функция, тождественно равная нулю, удовлетворяет функциональному уравнению $f(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}\mathbf{v})=g(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->})f(\mathbf{v})$$f(\lambda \mathbf {v} )=g(\lambda )f(\mathbf {v} )$  при любом выборе функции $g(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}),$$g(\lambda ),$  однако этот вырожденный случай не представляет особого интереса.

Если же в какой-то точке ${\mathbf{v}}_0$${\mathbf {v}}_{0}$  значение $f({\mathbf{v}}_0)\ne <!--\; \ne \; -->0,$$f(\mathbf {v} _{0})\neq 0,$  то:

1. $g({\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_1{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_2)f({\mathbf{v}}_0)=f({\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_1{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_2{\mathbf{v}}_0)=g({\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_1)f({\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_2{\mathbf{v}}_0)=g({\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_1)g({\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_2)f({\mathbf{v}}_0)$$g(\lambda _{1}\lambda _{2})f(\mathbf {v} _{0})=f(\lambda _{1}\lambda _{2}\mathbf {v} _{0})=g(\lambda _{1})f(\lambda _{2}\mathbf {v} _{0})=g(\lambda _{1})g(\lambda _{2})f(\mathbf {v} _{0})$ , откуда:
   $$\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_1,{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_2:g({\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_1{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_2)=g({\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_1)g({\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_2);$$

    
2. $g({\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_1{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_2)=g({\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_1)g({\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_2)\iff <!--\; \iff \; -->G({\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_1+{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_2)=G({\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_1)+G({\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_2),$$g(\lambda _{1}\lambda _{2})=g(\lambda _{1})g(\lambda _{2})\Leftrightarrow G(\mu _{1}+\mu _{2})=G(\mu _{1})+G(\mu _{2}),$  где $\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}=\log <!--\; \; -->\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->},G(\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->})=\log <!--\; \; -->g(\exp <!--\; \; -->(\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->})).$$\mu =\log \lambda ,G(\mu )=\log g(\exp(\mu )).$ 

Функциональное уравнение Коши $G({\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_1+{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_2)=G({\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_1)+G({\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_2)$$G(\mu _{1}+\mu _{2})=G(\mu _{1})+G(\mu _{2})$  имеет решение в виде линейной функции: $G(t)=q\cdot <!--\; \cdot \; -->t,$$G(t)=q\cdot t,$  причём для класса непрерывных или класса монотонных функций это решение единственное. Поэтому если известно, что $g(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->})$$g(\lambda )$  непрерывная или монотонная функция, то $g(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->})\equiv <!--\; \equiv \; -->{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}^q.$$g(\lambda )\equiv \lambda ^{q}.$ 

Доказательство единственности решения функционального уравнения Коши

1. При рациональных $t=m/n$$t=m/n$  справедливо $G(t\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->})=t\cdot <!--\; \cdot \; -->G(\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}),$$G(t\mu )=t\cdot G(\mu ),$  так как:

а) $G(2\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->})=G(\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}+\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->})=G(\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->})+G(\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->})=2G(\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}),$$G(2\mu )=G(\mu +\mu )=G(\mu )+G(\mu )=2G(\mu ),$  то есть $G(2\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->})=2G(\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->});$$G(2\mu )=2G(\mu );$ 

б) $2G(\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}/2)=G(\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}/2)+G(\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}/2)=G(\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}/2+\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}/2)=G(\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}),$$2G(\mu /2)=G(\mu /2)+G(\mu /2)=G(\mu /2+\mu /2)=G(\mu ),$  то есть $G(\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}/2)=(1/2)G(\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->});$$G(\mu /2)=(1/2)G(\mu );$ 

и т. д.;

2. Поскольку иррациональные числа, которые можно сколь угодно тесно «зажать» между двумя рациональными, то для непрерывных или для монотонных функций соотношение $G(t\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->})=t\cdot <!--\; \cdot \; -->G(\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->})$$G(t\mu )=t\cdot G(\mu )$  должно быть выполнено также и для иррациональных $t;$$t;$ 

3. Последний шаг: в соотношении $G(t\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->})=t\cdot <!--\; \cdot \; -->G(\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->})$$G(t\mu )=t\cdot G(\mu )$  следует задать $\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}=1.$$\mu =1.$ 

Примечание: для более широких классов функций у рассматриваемого функционального уравнения могут иметься и другие, весьма экзотические решения (см. статью «Базис Гамеля»).

Доказательство непрерывности $g(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}),$$g(\lambda ),$  если $f(\mathbf{v})$$f(\mathbf {v} )$  непрерывна хотя бы в одной точке

Пусть функция $f(\mathbf{v})$$f(\mathbf {v} )$  непрерывна в фиксированной точке ${\mathbf{v}}_0,$$\mathbf {v} _{0},$  причём $f({\mathbf{v}}_0)\ne <!--\; \ne \; -->0.$$f(\mathbf {v} _{0})\neq 0.$  Рассмотрим тождество

$f((1+\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}){\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_0{\mathbf{v}}_0)=g((1+\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}){\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_0)f({\mathbf{v}}_0)=g({\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_0)f((1+\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}){\mathbf{v}}_0).$$f((1+\varepsilon )\lambda _{0}\mathbf {v} _{0})=g((1+\varepsilon )\lambda _{0})f(\mathbf {v} _{0})=g(\lambda _{0})f((1+\varepsilon )\mathbf {v} _{0}).$ 

При $\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}\to <!--\; \to \; -->0$$\varepsilon \to 0$  значение $f((1+\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}){\mathbf{v}}_0)$$f((1+\varepsilon )\mathbf {v} _{0})$  стремится к $f({\mathbf{v}}_0)$$f(\mathbf {v} _{0})$  в силу непрерывности функции $f(\mathbf{v})$$f(\mathbf {v} )$  в точке ${\mathbf{v}}_0.$$\mathbf {v} _{0}.$  Поскольку $f({\mathbf{v}}_0)\ne <!--\; \ne \; -->0,$$f(\mathbf {v} _{0})\neq 0,$  то это означает, что $g((1+\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}){\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_0)$$g((1+\varepsilon )\lambda _{0})$  стремится к $g({\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_0),$$g(\lambda _{0}),$  то есть что функция $g(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->})$$g(\lambda )$  непрерывна в точке ${\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_0.$$\lambda _{0}.$  Поскольку ${\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_0$$\lambda _{0}$  может быть выбрано любым, то $g(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->})$$g(\lambda )$  непрерывна во всех точках.

Следствие: Если однородная функция $f(\mathbf{v})$$f(\mathbf {v} )$  непрерывна в точке ${\mathbf{v}}_0,$$\mathbf {v} _{0},$  то $f(\mathbf{v})$$f(\mathbf {v} )$  будет непрерывной также во всех точках вида $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}{\mathbf{v}}_0$$\lambda \mathbf {v} _{0}$  (в том числе и тогда, когда $f({\mathbf{v}}_0)=0$$f(\mathbf {v} _{0})=0$ ).

СвойстваПравить

1. Если $f_1,f_2,\dots <!--\; \dots \; -->$$f_{1},f_{2},\dots$  — однородные функции одного и того же порядка $q,$$q,$  то их линейная комбинация с постоянными коэффициентами будет однородной функцией того же порядка $q.$$q.$ 
2. Если $f_1,f_2,\dots <!--\; \dots \; -->$$f_{1},f_{2},\dots$  — однородные функции с порядками $q_1,q_2,\dots <!--\; \dots \; -->,$$q_{1},q_{2},\dots ,$  то их произведение будет однородной функцией с порядком $q=q_1+q_2+\dots <!--\; \dots \; -->.$$q=q_{1}+q_{2}+\dots .$ 
3. Если $f$$f$  — однородная функция порядка $q,$$q,$  то её $m$$m$ -ая степень (не обязательно целочисленная), если она имеет смысл (то есть если $m$$m$  — целое число, или если значение $f$$f$  положительно), будет однородной функцией порядка $mq$$mq$  на соответствующей области определения. В частности, если $f$$f$  — однородная функция порядка $q$$q$ , то $1/f$$1/f$  будет однородной функцией порядка $(-<!--\; -\; -->q)$$(-q)$  и областью определения в точках, где $f$$f$  определена и не равна нулю.
4. Если $f\left(x_1,x_2,\dots <!--\; \dots \; -->,x_n\right)$$f\left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\right)$  — однородная функция порядка $p,$$p,$  а $h_k\left(y_1,y_2,\dots <!--\; \dots \; -->,y_m\right)$$h_{k}\left(y_{1},y_{2},\dots ,y_{m}\right)$  — однородные функции порядка $q,$$q,$  то суперпозиция функций $F\left(y_1,y_2,\dots <!--\; \dots \; -->,y_m\right)=f\left(h_1,h_2,\dots <!--\; \dots \; -->,h_n\right)$$F\left(y_{1},y_{2},\dots ,y_{m}\right)=f\left(h_{1},h_{2},\dots ,h_{n}\right)$  будет однородной функцией порядка $pq.$$pq.$ 
5. Если $f\left(x_1,x_2,\dots <!--\; \dots \; -->,x_n\right)$$f\left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\right)$  — однородная функция $n$$n$  переменных степени $p,$$p,$  и гиперплоскость $x_1=x_2=\cdots <!--\; \cdots \; -->=x_j=0$$x_{1}=x_{2}=\dots =x_{j}=0$  принадлежит её области определения, то функция $\left(n-<!--\; -\; -->j\right)$$\left(n-j\right)$  переменных $g\left(x_{j+1},x_{j+2},\dots <!--\; \dots \; -->,x_n\right)=f\left(0,\dots <!--\; \dots \; -->,0,x_{j+1},\dots <!--\; \dots \; -->,x_n\right)$$g\left(x_{j+1},x_{j+2},\dots ,x_{n}\right)=f\left(0,\dots ,0,x_{j+1},\dots ,x_{n}\right)$  будет однородной функцией степени $p.$$p.$ 
6. Логарифм однородной функции нулевого порядка или логарифм модуля однородной функции нулевого порядка является однородной функцией нулевого порядка. Логарифм однородной функции или логарифм модуля однородной функции является однородной функцией тогда и только тогда, когда порядок однородности самой функции равен нулю.
7. Модуль однородной функции или модуль абсолютно-однородной функции является абсолютно-однородной функцией. Модуль однородной функции или модуль положительно однородной функции является положительно однородной функцией. Модуль однородной функции нулевого порядка является однородной функцией нулевого порядка. Абсолютно-однородная функция нулевого порядка является однородной функцией нулевого порядка, и наоборот.
8. Произвольная функция от однородной функции нулевого порядка является однородной функцией нулевого порядка.
9. Если $h_k\left(x_1,x_2,\dots <!--\; \dots \; -->,x_n\right)$$h_{k}\left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\right)$  —— положительно однородные функции порядка $p,$$p,$  где $p\ne <!--\; \ne \; -->0,$$p\neq 0,$  а $f\left(x_1,x_2,\dots <!--\; \dots \; -->,x_n\right)=g\left(h_1,h_2,\dots <!--\; \dots \; -->,h_m\right)$$f\left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\right)=g\left(h_{1},h_{2},\dots ,h_{m}\right)$  —— положительно однородная функция порядка $q,$$q,$  то функция $g\left(y_1,y_2,\dots <!--\; \dots \; -->,y_m\right)$$g\left(y_{1},y_{2},\dots ,y_{m}\right)$  будет положительно однородной функцией порядка $q/p$$q/p$  во всех точках $y$$y$ , в которых система уравнений $y_1=h_1\left(x_1,x_2,\dots <!--\; \dots \; -->,x_n\right)$$y_{1}=h_{1}\left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\right)$ , ..., $y_m=h_m\left(x_1,x_2,\dots <!--\; \dots \; -->,x_n\right)$$y_{m}=h_{m}\left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\right)$  имеет решение. Если при этом $p$$p$  —— нечётное целое число, то положительную однородность можно заменить на обычную однородность. Следствие: если имеется непрерывная или монотонная функция $g(y)$$g(y)$ , причём $g\left(f\left(x_1,x_2,\dots <!--\; \dots \; -->,x_n\right)\right)$$g\left(f\left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\right)\right)$  —— однородная или положительно однородная функция, где $f\left(x_1,x_2,\dots <!--\; \dots \; -->,x_n\right)$$f\left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\right)$  —— однородная или положительно однородная функция ненулевого порядка, то $g(y)=c{y}^m$$g(y)=cy^{m}$  —— степенная функция во всех точках $y$$y$ , в которых уравнение $y=f\left(x_1,x_2,\dots <!--\; \dots \; -->,x_n\right)$$y=f\left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\right)$  имеет решение. В частности, $f(x)=c{x}^q$$f(x)=cx^{q}$  —— единственная монотонная или непрерывная функция одного переменного, являющаяся однородной функцией порядка $q$$q$  . (Доказательство дублирует рассуждения из раздела «Альтернативное определение однородной функции» этой статьи. При этом если снять ограничение, что функция $g(y)$$g(y)$  —— непрерывная или же монотонная, то могут иметься и другие, весьма экзотические решения для $g(y)$$g(y)$ , см. статью «Базис Гамеля».)
10. Если функция  $f$$f$   является многочленом от  $n$$n$   переменных, то она будет однородной функцией степени  $q$$q$   в том и только в том случае, когда  $f$$f$  — однородный многочлен степени  $q.$$q.$   В частности, в этом случае порядок однородности $q$$q$   должен быть натуральным числом или нулём. (Для доказательства надо сгруппировать вместе мономы многочлена $c{x}_1^{i_1}{x}_2^{i_2}\cdots <!--\; \cdots \; -->x_n^{i_n}$$cx_{1}^{{i_{1}}}x_{2}^{{i_{2}}}\cdots x_{n}^{{i_{n}}}$  с одинаковыми порядками однородности $k_j=i_1+i_2+\cdots <!--\; \cdots \; -->+i_n$$k_{j}=i_{1}+i_{2}+\dots +i_{n}$ , подставить результат в равенство $(\ast <!--\; \ast \; -->)$$(*)$  и использовать тот факт, что степенные функции ${\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}^{k_1},{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}^{k_2},\dots <!--\; \dots \; -->$$\lambda ^{k_{1}},\lambda ^{k_{2}},\dots$  с разными показателями степени, в том числе и нецелочисленными, являются линейно независимыми.) Утверждение можно обобщить на случай линейных комбинаций мономов вида $c{x}_1^{i_1}{x}_2^{i_2}\cdots <!--\; \cdots \; -->x_n^{i_n}$$cx_{1}^{{i_{1}}}x_{2}^{{i_{2}}}\cdots x_{n}^{{i_{n}}}$  с нецелочисленными индексами.
11. Если конечное произведение многочленов является однородной функцией, то каждый сомножитель является однородным многочленом. (Для доказательства выберем в каждом сомножителе мономы $c{x}_1^{i_1}{x}_2^{i_2}\cdots <!--\; \cdots \; -->x_n^{i_n}$$cx_{1}^{{i_{1}}}x_{2}^{{i_{2}}}\cdots x_{n}^{{i_{n}}}$  с минимальным и максимальным порядками однородности $k=i_1+i_2+\cdots <!--\; \cdots \; -->+i_n$$k=i_{1}+i_{2}+\dots +i_{n}$ . Поскольку после перемножения получившийся многочлен должен состоять из мономов с одним и тем же порядком однородности, то для каждого сомножителя минимальный и максимальный порядок однородности должен быть одним и тем же числом.) Утверждение можно обобщить на случай линейных комбинаций мономов вида $c{x}_1^{i_1}{x}_2^{i_2}\cdots <!--\; \cdots \; -->x_n^{i_n}$$cx_{1}^{{i_{1}}}x_{2}^{{i_{2}}}\cdots x_{n}^{{i_{n}}}$  с нецелочисленными индексами.
12. Если числитель и знаменатель дробно-рациональной функции $f=\frac{P_n(x_1,\dots <!--\; \dots \; -->,x_n)}{Q_m(x_1,\dots <!--\; \dots \; -->,x_m)}$$f={\frac {P_{n}(x_{1},\dots ,x_{n})}{Q_{m}(x_{1},\dots ,x_{m})}}$  являются однородными многочленами, функция будет однородной с порядком однородности, равным разности порядков однородности числителя и знаменателя. Если дробно-рациональная функция является однородной, её числитель и знаменатель с точностью до общего множителя — однородные многочлены. Утверждение можно обобщить на случай дробно-рационального отношения линейных комбинаций мономов вида $c{x}_1^{i_1}{x}_2^{i_2}\cdots <!--\; \cdots \; -->x_n^{i_n}$$cx_{1}^{{i_{1}}}x_{2}^{{i_{2}}}\cdots x_{n}^{{i_{n}}}$  с нецелочисленными индексами.
13. Однородная функция ненулевой степени в нуле равна нулю, если она там определена:  $f(\mathbf{0})=0.$$f(\mathbf {0} )=0.$  (Получается при подстановке в равенство $(\ast <!--\; \ast \; -->)$$(*)$  значения  $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}=0$$\lambda =0$   либо, в случае отрицательной степени однородности, значения $\mathbf{v}=0.$$\mathbf {v} =0.$ ) Однородная функция нулевой степени, если она определена в нуле, может принимать в этой точке любое значение.
14. Если однородная функция нулевой степени непрерывна в нуле, то она является константой (произвольной). Если однородная функция отрицательной степени непрерывна в нуле, то она тождественный ноль. (Преобразованием ${\mathbf{v}}^{\prime }=\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}\mathbf{v}$$\mathbf {v'} =\lambda \mathbf {v}$  можно любую точку $\mathbf{v}$$\mathbf{v}$  сколь угодно близко приблизить к нулю. Поэтому если функция в нуле непрерывна, то можно выразить значение функции в точке $\mathbf{v}$$\mathbf{v}$  через её значение в точке $\mathbf{0}$$\mathbf {0}$  с помощью соотношения $\underset{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}\to <!--\; \to \; -->0}{lim}{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}^{q}f(\mathbf{v})=f(\mathbf{0}).$$\lim _{\lambda \to 0}\lambda ^{q}f(\mathbf {v} )=f(\mathbf {0} ).$ )
15. Однородная функция положительной степени в нуле стремится к нулю по любому направлению, которое входит в её область определения, а однородная функция отрицательной степени —— к бесконечности, знак которой зависит от направления, если только функция не является тождественным нулём вдоль данного направления. Однородная функция положительной степени непрерывна в нуле или может быть доопределена до непрерывной в нуле, если в её область определения входит $\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}$$\varepsilon$ -окрестность нуля. Однородная функция нулевой степени может быть как разрывна, так и непрерывна в нуле, и в случае разрывности является константой, зависящей от направления, вдоль каждого луча с вершиной в начале координат, если направление входит в её область определения. (Получается при подстановке в равенство $(\ast <!--\; \ast \; -->)$$(*)$  значения  $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}\to <!--\; \to \; -->0.$$\lambda \to 0.$ )
16. Если однородная функция $f$$f$  в нуле является аналитической (то есть, разлагается в сходящийся ряд Тейлора с ненулевым радиусом сходимости), то она является многочленом (однородным многочленом). В частности, в этом случае порядок однородности должен быть натуральным числом или нулём. (Для доказательства достаточно представить функцию в виде ряда Тейлора, сгруппировать вместе члены ряда Тейлора $c{x}_1^{i_1}{x}_2^{i_2}\cdots <!--\; \cdots \; -->x_n^{i_n}$$cx_{1}^{{i_{1}}}x_{2}^{{i_{2}}}\cdots x_{n}^{{i_{n}}}$  с одинаковыми порядками однородности $k_j=i_1+i_2+\cdots <!--\; \cdots \; -->+i_n$$k_{j}=i_{1}+i_{2}+\dots +i_{n}$ , подставить результат в равенство $(\ast <!--\; \ast \; -->)$$(*)$  и использовать, что степенные функции ${\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}^{k_1},{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}^{k_2},\dots <!--\; \dots \; -->$$\lambda ^{k_{1}},\lambda ^{k_{2}},\dots$  с разными показателями степени, в том числе и нецелочисленными, являются линейно независимыми.)
17. Функция  $f(x_1,x_2,...,x_n)=x_1^q\cdot <!--\; \cdot \; -->h(x_2/x_1,x_3/x_1,...,x_n/x_1)$$f(x_{1},x_{2},...,x_{n})=x_{1}^{q}\cdot h(x_{2}/x_{1},x_{3}/x_{1},...,x_{n}/x_{1})$  , где  $h(t_2,t_3,...,t_n)$$h(t_{2},t_{3},...,t_{n})$  — функция  $(n-<!--\; -\; -->1)$$(n-1)$   переменных, является однородной функцией с порядком однородности  $q.$$q.$   Функция  $f(x_1,x_2,...,x_n)=|x{|}^q\cdot <!--\; \cdot \; -->h(x_2/x_1,x_3/x_1,...,x_n/x_1),$$f(x_{1},x_{2},...,x_{n})=|x|^{q}\cdot h(x_{2}/x_{1},x_{3}/x_{1},...,x_{n}/x_{1}),$   где  $h(t_2,t_3,...,t_n)$$h(t_{2},t_{3},...,t_{n})$  — функция  $(n-<!--\; -\; -->1)$$(n-1)$   переменных, является абсолютно-однородной функцией с порядком однородности  $q.$$q.$  
18. Соотношение Эйлера: для дифференцируемых однородных функций скалярное произведение их градиента на вектор своих переменных пропорционально самой функции с коэффициентом, равным порядку однородности:  $\mathbf{v}\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}f(\mathbf{v})=qf(\mathbf{v})$$\mathbf {v} \cdot \nabla f(\mathbf {v} )=qf(\mathbf {v} )$   или, в эквивалентной записи,  $\sum <!--\; \sum \; -->x_k{f}_{x_k}^{\prime }=qf.$$\sum x_{k}f'_{x_{k}}=qf.$   Получается при дифференцировании равенства $(\ast <!--\; \ast \; -->)$$(*)$  по  $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}$$\lambda$   при  $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}=1.$$\lambda =1.$  
19. Если  $f(x_1,x_2,...,x_n)$$f(x_{1},x_{2},...,x_{n})$  — дифференцируемая однородная функция c порядком однородности  $q$$q$  , то её первые частные производные по каждой из независимых переменных $f_{x_k}^{\prime }(x_1,x_2,...,x_n)$$f'_{x_{k}}(x_{1},x_{2},...,x_{n})$  — это однородные функции c порядком однородности  $q-<!--\; -\; -->1$$q-1$ .  Для доказательства достаточно продифференцировать по  $x_k$$x_k$   правую и левую части тождества  $f(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}{x}_1,\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}{x}_2,\dots <!--\; \dots \; -->,\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}{x}_n)={\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}^{q}f(x_1,x_2,\dots <!--\; \dots \; -->,x_n)$$f(\lambda x_{1},\lambda x_{2},\ldots ,\lambda x_{n})=\lambda ^{q}f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})$   и получить тождество  $f_{x_k}^{\prime }(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}{x}_1,\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}{x}_2,\dots <!--\; \dots \; -->,\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}{x}_n)={\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}^{q-<!--\; -\; -->1}{f}_{x_k}^{\prime }(x_1,x_2,\dots <!--\; \dots \; -->,x_n).$$f'_{x_{k}}(\lambda x_{1},\lambda x_{2},\ldots ,\lambda x_{n})=\lambda ^{q-1}f'_{x_{k}}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}).$  
20. Если  $f(x_1,x_2,...,x_n)$$f(x_{1},x_{2},...,x_{n})$  — однородная функция c порядком однородности  $q$$q$  , то её интеграл (при условии существования такого интеграла) по любой независимой переменной начиная от нуля $F(x_1,x_2,...,x_n)={\int <!--\; \int \; -->}_0^{x_1}f(t,x_2,...,x_n)dt$$F(x_{1},x_{2},...,x_{n})=\int _{0}^{x_{1}}f(t,x_{2},...,x_{n})dt$   — это однородные функции c порядком однородности  $q+1.$$q+1.$  Доказательство: $F(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}{x}_1,\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}{x}_2,...,\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}{x}_n)=$$F(\lambda x_{1},\lambda x_{2},...,\lambda x_{n})=$ ${\int <!--\; \int \; -->}_0^{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}{x}_1}f(t,\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}{x}_2,...,\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}{x}_n)dt=$$\int _{0}^{\lambda x_{1}}f(t,\lambda x_{2},...,\lambda x_{n})dt=$ $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}{\int <!--\; \int \; -->}_0^{x_1}f(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}{t}^{\prime },\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}{x}_2,...,\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}{x}_n)d{t}^{\prime }=$$\lambda \int _{0}^{x_{1}}f(\lambda t',\lambda x_{2},...,\lambda x_{n})dt'=$ ${\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}^{q+1}{\int <!--\; \int \; -->}_0^{x_1}f(t^{\prime },x_2,...,x_n)d{t}^{\prime }=$$\lambda ^{q+1}\int _{0}^{x_{1}}f(t',x_{2},...,x_{n})dt'=$ ${\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}^{q+1}F(x_1,x_2,...,x_n)$$\lambda ^{q+1}F(x_{1},x_{2},...,x_{n})$  (здесь сделана замена переменной интегрирования $t=\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}{t}^{\prime }$$t=\lambda t'$ ).
21. Если  $f(x_1,x_2,...,x_n)$$f(x_{1},x_{2},...,x_{n})$  — однородная функция c порядком однородности  $q$$q$  , то её дробная производная (дифферинтеграл) порядка $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\alpha$ , вычисляемая как $G(x_1,x_2,...,x_n)=\frac{1}{\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}(n-<!--\; -\; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->})}\frac{d^n}{d{x}_1^n}{\int <!--\; \int \; -->}_0^{x_1}(x_1-<!--\; -\; -->t{)}^{n-<!--\; -\; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}-<!--\; -\; -->1}f(t,x_2,...,x_n)dt$$G(x_{1},x_{2},...,x_{n})={\frac {1}{\Gamma (n-\alpha )}}{\frac {d^{n}}{dx_{1}^{n}}}\int _{0}^{x_{1}}(x_{1}-t)^{n-\alpha -1}f(t,x_{2},...,x_{n})\,dt$  по любой независимой переменной начиная от нуля (при условии существования соответствующего интеграла, для чего требуется выбирать $n>\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$n>\alpha$ ) — это однородные функции c порядком однородности  $q-<!--\; -\; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}.$$q-\alpha .$  Рассмотрим функцию $H(x_1,x_2,...,x_n)={\int <!--\; \int \; -->}_0^{x_1}(x_1-<!--\; -\; -->t{)}^{n-<!--\; -\; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}-<!--\; -\; -->1}f(t,x_2,...,x_n)dt$$H(x_{1},x_{2},...,x_{n})=\int _{0}^{x_{1}}(x_{1}-t)^{n-\alpha -1}f(t,x_{2},...,x_{n})\,dt$  . Тогда $H(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}{x}_1,\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}{x}_2,...,\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}{x}_n)=$$H(\lambda x_{1},\lambda x_{2},...,\lambda x_{n})=$ ${\int <!--\; \int \; -->}_0^{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}{x}_1}(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}{x}_1-<!--\; -\; -->t{)}^{n-<!--\; -\; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}-<!--\; -\; -->1}f(t,\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}{x}_2,...,\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}{x}_n)dt=$$\int _{0}^{\lambda x_{1}}(\lambda x_{1}-t)^{n-\alpha -1}f(t,\lambda x_{2},...,\lambda x_{n})\,dt=$ $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}{\int <!--\; \int \; -->}_0^{x_1}(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}{x}_1-<!--\; -\; -->\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}{t}^{\prime }{)}^{n-<!--\; -\; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}-<!--\; -\; -->1}f(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}{t}^{\prime },\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}{x}_2,...,\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}{x}_n)d{t}^{\prime }=$$\lambda \int _{0}^{x_{1}}(\lambda x_{1}-\lambda t')^{n-\alpha -1}f(\lambda t',\lambda x_{2},...,\lambda x_{n})\,dt'=$ ${\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}^{q+n-<!--\; -\; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}_0^{x_1}(x_1-<!--\; -\; -->t^{\prime }{)}^{n-<!--\; -\; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}-<!--\; -\; -->1}f(t^{\prime },x_2,...,x_n)d{t}^{\prime }=$$\lambda ^{q+n-\alpha }\int _{0}^{x_{1}}(x_{1}-t')^{n-\alpha -1}f(t',x_{2},...,x_{n})dt'=$ ${\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}^{q+n-<!--\; -\; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}H(x_1,x_2,...,x_n)$$\lambda ^{q+n-\alpha }H(x_{1},x_{2},...,x_{n})$  (здесь сделана замена переменной интегрирования $t=\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}{t}^{\prime }$$t=\lambda t'$ ). После $n$$n$ -кратного дифференцирования по переменной $x_1$$x_{1}$  однородная функция $H(x_1,x_2,...,x_n)$$H(x_{1},x_{2},...,x_{n})$  порядка $q+n-<!--\; -\; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$q+n-\alpha$  становится однородной функцией c порядком однородности  $q-<!--\; -\; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$q-\alpha$  .
22. Если  $f(x_1,x_2,...,x_n)$$f(x_{1},x_{2},...,x_{n})$  — однородная функция c порядком однородности  $q$$q$  , то её $n$$n$ -мерная свёртка с обобщённым Абелевым ядром, вычисляемая как $H(x_1,x_2,...,x_n)={\int <!--\; \int \; -->}_0^{x_1}\dots <!--\; \dots \; -->{\int <!--\; \int \; -->}_0^{x_n}(x_1^{k_1}-<!--\; -\; -->t_1^{k_1}{)}^{\left({\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_1-<!--\; -\; -->1\right)/k_1}\dots <!--\; \dots \; -->(x_n^{k_n}-<!--\; -\; -->t_n^{k_n}{)}^{\left({\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_n-<!--\; -\; -->1\right)/k_n}f(t_1,...,t_n)d{t}_1\dots <!--\; \dots \; -->d{t}_n$$H(x_{1},x_{2},...,x_{n})=\int _{0}^{x_{1}}\dots \int _{0}^{x_{n}}(x_{1}^{k_{1}}-t_{1}^{k_{1}})^{\left(\mu _{1}-1\right)/k_{1}}\dots (x_{n}^{k_{n}}-t_{n}^{k_{n}})^{\left(\mu _{n}-1\right)/k_{n}}f(t_{1},...,t_{n})\,dt_{1}\dots dt_{n}$  (при условии существования соответствующего интеграла) — это однородная функция c порядком однородности  $q+{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_1+\cdots <!--\; \cdots \; -->+{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_n$$q+\mu _{1}+\dots +\mu _{n}$  . Доказательство: $H(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}{x}_1,\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}{x}_2,...,\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}{x}_n)=$$H(\lambda x_{1},\lambda x_{2},...,\lambda x_{n})=$ ${\int <!--\; \int \; -->}_0^{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}{x}_1}\dots <!--\; \dots \; -->{\int <!--\; \int \; -->}_0^{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}{x}_n}({\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}^{k_1}{x}_1^{k_1}-<!--\; -\; -->t_1^{k_1}{)}^{\left({\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_1-<!--\; -\; -->1\right)/k_1}\dots <!--\; \dots \; -->({\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}^{k_n}{x}_n^{k_n}-<!--\; -\; -->t_n^{k_n}{)}^{\left({\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_n-<!--\; -\; -->1\right)/k_n}f(t_1,...,t_n)d{t}_1\dots <!--\; \dots \; -->d{t}_n=$$\int _{0}^{\lambda x_{1}}\dots \int _{0}^{\lambda x_{n}}(\lambda ^{k_{1}}x_{1}^{k_{1}}-t_{1}^{k_{1}})^{\left(\mu _{1}-1\right)/k_{1}}\dots (\lambda ^{k_{n}}x_{n}^{k_{n}}-t_{n}^{k_{n}})^{\left(\mu _{n}-1\right)/k_{n}}f(t_{1},...,t_{n})\,dt_{1}\dots dt_{n}=$ ${\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}^n{\int <!--\; \int \; -->}_0^{x_1}\dots <!--\; \dots \; -->{\int <!--\; \int \; -->}_0^{x_n}({\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}^{k_1}{x}_1^{k_1}-<!--\; -\; -->{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}^{k_1}{t}_1^{\prime k_1}{)}^{\left({\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_1-<!--\; -\; -->1\right)/k_1}\dots <!--\; \dots \; -->({\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}^{k_n}{x}_n^{k_n}-<!--\; -\; -->{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}^{k_n}{t}_n^{\prime k_n}{)}^{\left({\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_n-<!--\; -\; -->1\right)/k_n}f(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}{t}_1^{\prime },...,\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}{t}_n^{\prime })d{t}_1^{\prime }\dots <!--\; \dots \; -->d{t}_n^{\prime }=$$\lambda ^{n}\int _{0}^{x_{1}}\dots \int _{0}^{x_{n}}(\lambda ^{k_{1}}x_{1}^{k_{1}}-\lambda ^{k_{1}}t_{1}'^{k_{1}})^{\left(\mu _{1}-1\right)/k_{1}}\dots (\lambda ^{k_{n}}x_{n}^{k_{n}}-\lambda ^{k_{n}}t_{n}'^{k_{n}})^{\left(\mu _{n}-1\right)/k_{n}}f(\lambda t_{1}',...,\lambda t_{n}')\,dt_{1}'\dots dt_{n}'=$ ${\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}^{q+{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_1+\cdots <!--\; \cdots \; -->+{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_n}{\int <!--\; \int \; -->}_0^{x_1}\dots <!--\; \dots \; -->{\int <!--\; \int \; -->}_0^{x_n}(x_1^{k_1}-<!--\; -\; -->t_1^{\prime k_1}{)}^{\left({\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_1-<!--\; -\; -->1\right)/k_1}\dots <!--\; \dots \; -->(x_n^{k_n}-<!--\; -\; -->t_n^{\prime k_n}{)}^{\left({\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_n-<!--\; -\; -->1\right)/k_n}f(t_1^{\prime },...,t_n^{\prime })d{t}_1^{\prime }\dots <!--\; \dots \; -->d{t}_n^{\prime }=$$\lambda ^{q+\mu _{1}+\dots +\mu _{n}}\int _{0}^{x_{1}}\dots \int _{0}^{x_{n}}(x_{1}^{k_{1}}-t_{1}'^{k_{1}})^{\left(\mu _{1}-1\right)/k_{1}}\dots (x_{n}^{k_{n}}-t_{n}'^{k_{n}})^{\left(\mu _{n}-1\right)/k_{n}}f(t_{1}',...,t_{n}')\,dt_{1}'\dots dt_{n}'=$ ${\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}^{q+{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_1+\cdots <!--\; \cdots \; -->+{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_n}H(x_1,x_2,...,x_n)$$\lambda ^{q+\mu _{1}+\dots +\mu _{n}}H(x_{1},x_{2},...,x_{n})$  , где сделана замена переменных интегрирования $t_k=\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}{t}_k^{\prime }$$t_{k}=\lambda t_{k}'$  . (Примечание: возможно выполнение свёртки только по части переменных.)

Теорема. Любая однородная функция с порядком однородности $q$$q$  может быть представлена в форме

     $f(x_1,x_2,...,x_n)=x_1^q\cdot <!--\; \cdot \; -->h(x_2/x_1,x_3/x_1,...,x_n/x_1),$$f(x_{1},x_{2},...,x_{n})=x_{1}^{q}\cdot h(x_{2}/x_{1},x_{3}/x_{1},...,x_{n}/x_{1}),$  

где  $h(t_2,t_3,...,t_n)$$h(t_{2},t_{3},...,t_{n})$  — некоторая функция  $(n-<!--\; -\; -->1)$$(n-1)$   переменных. Любая абсолютно-однородная функция с порядком однородности  $q$$q$   может быть представлена как

  $f(x_1,x_2,...,x_n)=|x{|}^q\cdot <!--\; \cdot \; -->h(x_2/x_1,x_3/x_1,...,x_n/x_1),$$f(x_{1},x_{2},...,x_{n})=|x|^{q}\cdot h(x_{2}/x_{1},x_{3}/x_{1},...,x_{n}/x_{1}),$  

где  $h(t_2,t_3,...,t_n)$$h(t_{2},t_{3},...,t_{n})$  — некоторая функция  $(n-<!--\; -\; -->1)$$(n-1)$   переменных.

Доказательство.

Возьмём однородную функцию $g(x_1,x_2,...,x_n)$$g(x_{1},x_{2},...,x_{n})$  нулевой степени. Тогда при выборе $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}=1/x_1$$\lambda =1/x_{1}$  получим частный вариант требуемого соотношения:

$g(x_1,x_2,...,x_n)=g(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}{x}_1,\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}{x}_2,...,\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}{x}_n)=g(1,x_2/x_1,...,x_n/x_1)=h(x_2/x_1,...,x_n/x_1).$$g(x_{1},x_{2},...,x_{n})=g(\lambda x_{1},\lambda x_{2},...,\lambda x_{n})=g(1,x_{2}/x_{1},...,x_{n}/x_{1})=h(x_{2}/x_{1},...,x_{n}/x_{1}).$ 

Для однородной функции $f(x_1,x_2,...,x_n)$$f(x_{1},x_{2},...,x_{n})$  степени $q\ne <!--\; \ne \; -->0,$$q\neq 0,$  функция $g(x_1,x_2,...,x_n)=f(x_1,x_2,...,x_n)/x_1^q$$g(x_{1},x_{2},...,x_{n})=f(x_{1},x_{2},...,x_{n})/x_{1}^{q}$  окажется однородной функцией нулевой степени. Поэтому $g(x_1,...,x_n)=h(x_2/x_1,...,x_n/x_1)$$g(x_{1},...,x_{n})=h(x_{2}/x_{1},...,x_{n}/x_{1})$  и $f(x_1,...,x_n)=x_1^q\cdot <!--\; \cdot \; -->h(x_2/x_1,...,x_n/x_1).$$f(x_{1},...,x_{n})=x_{1}^{q}\cdot h(x_{2}/x_{1},...,x_{n}/x_{1}).$ 

Следствие. Любая однородная функция степени $q$$q$  (абсолютно-однородная функция степени $q$$q$ ) может быть представлена в форме

     $f(x_1,x_2,...,x_n)=\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(x_1,x_2,...,x_n)\cdot <!--\; \cdot \; -->h({\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_1(x_1,x_2,...,x_n),{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_2(x_1,x_2,...,x_n),...,{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_{n-<!--\; -\; -->1}(x_1,x_2,...,x_n)),$$f(x_{1},x_{2},...,x_{n})=\phi (x_{1},x_{2},...,x_{n})\cdot h(\phi _{1}(x_{1},x_{2},...,x_{n}),\phi _{2}(x_{1},x_{2},...,x_{n}),...,\phi _{n-1}(x_{1},x_{2},...,x_{n})),$  

где  $h(t_1,t_2,...,t_{n-<!--\; -\; -->1})$$h(t_{1},t_{2},...,t_{n-1})$  — некоторая подходящая функция  $(n-<!--\; -\; -->1)$$(n-1)$   переменных, $\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(x_1,x_2,...,x_n)$$\phi (x_{1},x_{2},...,x_{n})$  — фиксированная однородная функция степени $q$$q$  (фиксированная абсолютно-однородная функция степени $q$$q$ ), а ${\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_1(x_1,x_2,...,x_n),$$\phi _{1}(x_{1},x_{2},...,x_{n}),$  ${\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_2(x_1,x_2,...,x_n))$$\phi _{2}(x_{1},x_{2},...,x_{n}))$ , ..., ${\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_{n-<!--\; -\; -->1}(x_1,x_2,...,x_n))$$\phi _{n-1}(x_{1},x_{2},...,x_{n}))$  — фиксированные функционально-независимые однородные функции нулевой степени. При фиксированном выборе функций $\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->},{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_1,{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_2,...,{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_{n-<!--\; -\; -->1}$$\phi ,\phi _{1},\phi _{2},...,\phi _{n-1}$  это представление задаёт взаимно-однозначное соответствие между однородными функциями $f(x_1,x_2,...,x_n)$$f(x_{1},x_{2},...,x_{n})$  степени $q$$q$  от $n$$n$  переменных и функциями $h(t_1,t_2,...,t_{n-<!--\; -\; -->1})$$h(t_{1},t_{2},...,t_{n-1})$  от $(n-<!--\; -\; -->1)$$(n-1)$  переменных.

Теорема Эйлера для однородных функций. Для того, чтобы дифференцируемая функция  $f(x_1,x_2,...,x_n)$$f(x_1,x_2,...,x_n)$   была однородной функцией с порядком однородности  $q,$$q,$   необходимо и достаточно выполнение соотношения Эйлера

 $\sum <!--\; \sum \; -->x_k{f}_{x_k}^{\prime }(x_1,x_2,...,x_n)=qf(x_1,x_2,...,x_n).$$\sum x_k f'_{x_k}(x_1,x_2,...,x_n) = qf(x_1,x_2,...,x_n).$  

Доказательство.

Необходимость получается из дифференцирования равенства $(\ast <!--\; \ast \; -->)$$(*)$  при  $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}=1.$$\lambda =1.$   Для доказательства достаточности возьмём функцию  $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->})={\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}^{-<!--\; -\; -->q}f(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}{x}_1,\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}{x}_2,...,\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}{x}_n)$$\varphi (\lambda )=\lambda ^{-q}f(\lambda x_{1},\lambda x_{2},...,\lambda x_{n})$   при «замороженных»  $x_1,x_2,...,x_n.$$x_{1},x_{2},...,x_{n}.$   Продифференцируем её по  $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}:$$\lambda :$  

 ${\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}^{\prime }(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->})=-<!--\; -\; -->q{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}^{-<!--\; -\; -->q-<!--\; -\; -->1}f(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}{x}_1,\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}{x}_2,...,\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}{x}_n)+{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}^{-<!--\; -\; -->q}\sum <!--\; \sum \; -->f_{x_k}^{\prime }(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}{x}_1,\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}{x}_2,...,\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}{x}_n)x_k.$$\varphi '(\lambda )=-q\lambda ^{-q-1}f(\lambda x_{1},\lambda x_{2},...,\lambda x_{n})+\lambda ^{-q}\sum f'_{x_{k}}(\lambda x_{1},\lambda x_{2},...,\lambda x_{n})x_{k}.$  

В силу условия  $\sum <!--\; \sum \; -->(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}{x}_k)\cdot <!--\; \cdot \; -->f_{x_k}^{\prime }(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}{x}_1,\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}{x}_2,...,\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}{x}_n)=qf(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}{x}_1,\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}{x}_2,...,\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}{x}_n)$$\sum (\lambda x_{k})\cdot f'_{x_{k}}(\lambda x_{1},\lambda x_{2},...,\lambda x_{n})=qf(\lambda x_{1},\lambda x_{2},...,\lambda x_{n})$   получаем  ${\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}^{\prime }(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->})=0$$\varphi '(\lambda )=0$   и  $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->})=c=const.$$\varphi (\lambda )=c=const.$   Константу  $c$$c$   определяем из условия  $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(1)=f(x_1,x_2,...,x_n).$$\varphi (1)=f(x_{1},x_{2},...,x_{n}).$   В результате  ${\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}^q\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->})=f(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}{x}_1,\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}{x}_2,...,\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}{x}_n)={\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}^{q}f(x_1,x_2,...,x_n).$$\lambda ^{q}\varphi (\lambda )=f(\lambda x_{1},\lambda x_{2},...,\lambda x_{n})=\lambda ^{q}f(x_{1},x_{2},...,x_{n}).$  

Следствие. Если функция дифференцируема и в каждой точке пространства соотношение однородности $(\ast <!--\; \ast \; -->)$$(*)$  справедливо в некотором интервале значений  $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}\in <!--\; \in \; -->\left[{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_0-<!--\; -\; -->\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->},{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_0+\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}\right]\subset <!--\; \subset \; -->\left[0,\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}\right),$$\lambda \in \left[\lambda _{0}-\varepsilon ,\lambda _{0}+\varepsilon \right]\subset \left[0,\infty \right),$   то оно справедливо для всех  $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}>0.$$\lambda >0.$  

Доказательство.

Продифференцируем соотношение $(\ast <!--\; \ast \; -->)$$(*)$  по  $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}$$\lambda$   в точке  $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}={\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_0:$$\lambda =\lambda _{0}:$  

 $\sum <!--\; \sum \; -->x_k{f}_{x_k}^{\prime }({\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_0{x}_1,{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_0{x}_2,...,{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_0{x}_n)=q{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_0^{q-<!--\; -\; -->1}f(x_1,x_2,...,x_n)=\frac{q}{{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_0}f({\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_0{x}_1,{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_0{x}_2,...,{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_0{x}_n).$$\sum x_{k}f'_{x_{k}}(\lambda _{0}x_{1},\lambda _{0}x_{2},...,\lambda _{0}x_{n})=q\lambda _{0}^{q-1}f(x_{1},x_{2},...,x_{n})={\frac {q}{\lambda _{0}}}f(\lambda _{0}x_{1},\lambda _{0}x_{2},...,\lambda _{0}x_{n}).$  

Это значит, что в точке  $y_k={\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_0{x}_k$$y_{k}=\lambda _{0}x_{k}$   выполнено соотношение Эйлера, причём в силу произвольности точки  $(x_1,x_2,...,x_n)$$(x_{1},x_{2},...,x_{n})$   точка  $(y_1,y_2,...,y_n)$$(y_{1},y_{2},...,y_{n})$   тоже произвольна. Повторив приведённое выше доказательство теоремы Эйлера об однородной функции, мы получим, что в точке  $(y_1,y_2,...,y_n)$$(y_{1},y_{2},...,y_{n})$   выполнено соотношение однородности, причём для произвольного  $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}>0.$$\lambda >0.$   Точку  $(x_1,x_2,...,x_n)$$(x_{1},x_{2},...,x_{n})$   можно выбрать так, чтобы точка  $(y_1,y_2,...,y_n)$$(y_{1},y_{2},...,y_{n})$   совпала с любой наперед заданной точкой пространства. Следовательно, в каждой точке пространства соотношение $(\ast <!--\; \ast \; -->)$$(*)$  выполняется при любом  $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}>0.$$\lambda >0.$  

Лямбда-однородные функцииПравить

Пусть задан вектор  $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}=({\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_1,{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_2,...,{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_n).$$\mathbf {\lambda } =(\lambda _{1},\lambda _{2},...,\lambda _{n}).$   Функция $n$$n$  переменных  $f(x_1,x_2,...,x_n)$$f(x_{1},x_{2},...,x_{n})$   называется $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}$$\lambda$ -однородной c порядком однородности  $q$$q$  , если при любых  $t>0$$t>0$   и любых  $\mathbf{x}=(x_1,x_2,...,x_n)\in <!--\; \in \; -->{\mathbb{R}}^n$$\mathbf {x} =(x_{1},x_{2},...,x_{n})\in {\mathbb {R} }^{n}$   справедливо тождество

$f(t^{{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_1}{x}_1,t^{{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_2}{x}_2,...,t^{{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_n}{x}_n)=t^{q}f(x_1,x_2,...,x_n).$$f(t^{\lambda _{1}}x_{1},t^{\lambda _{2}}x_{2},...,t^{\lambda _{n}}x_{n})=t^{q}f(x_{1},x_{2},...,x_{n}).$ 

При  ${\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_k=1$$\lambda _{k}=1$   $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}$$\lambda$ -однородные функции переходят в обычные однородные функции. Иногда вместо порядка однородности  $q$$q$   вводят степень однородности  $m$$m$ ,  определяемую из соотношения

$f(t^{{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_1}{x}_1,t^{{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_2}{x}_2,...,t^{{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_n}{x}_n)=t^{m\frac{|\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}|}{n}}f(x_1,x_2,...,x_n),$$f(t^{\lambda _{1}}x_{1},t^{\lambda _{2}}x_{2},...,t^{\lambda _{n}}x_{n})=t^{m{\frac {|\mathbf {\lambda } |}{n}}}f(x_{1},x_{2},...,x_{n}),$ 

где  $|\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}|=\sum <!--\; \sum \; -->|{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_k|.$$|\mathbf {\lambda } |=\sum |\lambda _{k}|.$   Для обычных однородных функций порядок однородности  $q$$q$   и степень однородности  $m$$m$   совпадают.

Если частные производные  $f_{x_k}^{\prime }(x_1,x_2,...,x_n)$$f'_{x_{k}}(x_{1},x_{2},...,x_{n})$   непрерывны в ${\mathbb{R}}^n$$\mathbb {R} ^{n}$ , то для $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}$$\lambda$ -однородных функций справедливо соотношение, обобщающее соотношение Эйлера и получающееся при дифференцировании тождества для  $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}$$\lambda$ -однородности в точке  $t=1$$t=1$ :

$\sum <!--\; \sum \; -->{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_x{x}_k{f}_{x_k}^{\prime }(x_1,x_2,...,x_n)=qf(x_1,x_2,...,x_n).$$\sum \lambda _{x}x_{k}f'_{x_{k}}(x_{1},x_{2},...,x_{n})=qf(x_{1},x_{2},...,x_{n}).$ 

Как и в случае обычных однородных функций, это соотношение является необходимым и достаточным, чтобы функция  $f(x_1,x_2,...,x_n)$$f(x_{1},x_{2},...,x_{n})$   была $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}$$\lambda$ -однородной функцией с вектором  $({\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_1,{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_2,...,{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_n)$$(\lambda _{1},\lambda _{2},...,\lambda _{n})$   и порядком однородности  $q.$$q.$   Для доказательства достаточности надо рассмотреть функцию  $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(t)=t^{-<!--\; -\; -->q}f(t^{{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_1}{x}_1,t^{{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_2}{x}_2,...,t^{{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_n}{x}_n)$$\varphi (t)=t^{-q}f(t^{\lambda _{1}}x_{1},t^{\lambda _{2}}x_{2},...,t^{\lambda _{n}}x_{n})$   и убедиться, что при выполнении указанного дифференциального соотношения её производная равна нулю, то есть что эта функция константа и что  $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(t)\equiv <!--\; \equiv \; -->\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(1).$$\varphi (t)\equiv \varphi (1).$ 

Если  $f(x_1,x_2,...,x_n)$$f(x_{1},x_{2},...,x_{n})$  — $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}$$\lambda$ -однородная функция с вектором  $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}=({\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_1,{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_2,...,{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_n)$$\mathbf {\lambda } =(\lambda _{1},\lambda _{2},...,\lambda _{n})$   и порядком однородности  $q$$q$ ,  то она же является $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}$$\lambda$ -однородной функцией с вектором $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}=(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_1,\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_2,...,\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_n)$$\mathbf {\lambda } =(\alpha \lambda _{1},\alpha \lambda _{2},...,\alpha \lambda _{n})$   и порядком однородности  $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}q$$\alpha q$   (следует из подстановки в тождество для $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}$$\lambda$ -однородности нового параметра  $t^{\prime }\to <!--\; \to \; -->t^{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}$$t'\to t^{\alpha }$ ). В силу этого при рассмотрении $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}$$\lambda$ -однородных функций достаточно ограничиваться случаем  $\sum <!--\; \sum \; -->|{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_k|=const.$$\sum |\lambda _{k}|=const.$   В частности, нормировка  $\sum <!--\; \sum \; -->|{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_k|$$\sum |\lambda _{k}|$   может выбираться таким образом, чтобы порядок однородности  $q$$q$   был равен заранее фиксированному значению. Кроме того, без ограничения общности можно считать, что  ${\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_k\ne <!--\; \ne \; -->0.$$\lambda _{k}\neq 0.$  

При замене переменных  $x_k=y_k^{{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_k}$$x_{k}=y_{k}^{\lambda _{k}}$   $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}$$\lambda$ -однородная функция  $f(x_1,x_2,...,x_n)$$f(x_{1},x_{2},...,x_{n})$   с вектором  $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}=({\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_1,{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_2,...,{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_n)$$\mathbf {\lambda } =(\lambda _{1},\lambda _{2},...,\lambda _{n})$   и порядком однородности  $q$$q$   переходит в обычную однородную функцию  $g(y_1,y_2,...,y_n)$$g(y_{1},y_{2},...,y_{n})$   с порядком однородности  $q$$q$ .  Отсюда следует, что общее представление для $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}$$\lambda$ -однородных функций с вектором  $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}=({\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_1,{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_2,...,{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_n)$$\mathbf {\lambda } =(\lambda _{1},\lambda _{2},...,\lambda _{n})$   и порядком однородности  $q$$q$   имеет вид:

$f(x_1,x_2,...,x_n)=x_1^{q/{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_1}\cdot <!--\; \cdot \; -->h(x_2^{1/{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_2}/x_1^{1/{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_1},x_3^{1/{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_3}/x_1^{1/{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_1},\dots <!--\; \dots \; -->,x_n^{1/{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_n}/x_1^{1/{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_1}),$$f(x_{1},x_{2},...,x_{n})=x_{1}^{q/\lambda _{1}}\cdot h(x_{2}^{1/\lambda _{2}}/x_{1}^{1/\lambda _{1}},x_{3}^{1/\lambda _{3}}/x_{1}^{1/\lambda _{1}},\ldots ,x_{n}^{1/\lambda _{n}}/x_{1}^{1/\lambda _{1}}),$ 

где $h(t_2,t_3,...,t_n)$$h(t_{2},t_{3},...,t_{n})$  — некоторая функция $(n-<!--\; -\; -->1)$$(n-1)$  переменных.

Источник: Я. С. Бугров, С. М. Никольский, Высшая математика: учебник для вузов (в 3 т.), Т.2: Дифференциальное и интегральное исчисление (http://www.sernam.ru/lect_math2.php Архивная копия от 1 октября 2012 на Wayback Machine), раздел 8.8.4.

Оператор ЭйлераПравить

Дифференциальный оператор

$x_1\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}f}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}_1}+x_2\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}f}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}_2}+\dots <!--\; \dots \; -->+x_n\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}f}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}_n}$$x_{1}{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}+x_{2}{\frac {\partial f}{\partial x_{2}}}+\ldots +x_{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}$ 

иногда называют оператором Эйлера, по аналогии с тождеством Эйлера для однородных функций. Из теоремы Эйлера для однородных функций, приведённой выше, следует, что собственными функциями этого оператора являются однородные функции и только они, причём собственным значением для такой функции является её порядок однородности.

Соответственно, функциями, обращающими оператор Эйлера в константу, являются логарифмы однородных функций и только они. Функциями, обращающими оператор Эйлера в ноль, являются однородные функции нулевого порядка и только они (логарифм однородной функции нулевого порядка сам является однородной функцией нулевого порядка).

Аналогичным образом для дифференциального оператора

${\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_1{x}_1\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}f}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}_1}+{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_2{x}_2\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}f}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}_2}+\dots <!--\; \dots \; -->+{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_n{x}_n\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}f}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}_n}$$\lambda _{1}x_{1}{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}+\lambda _{2}x_{2}{\frac {\partial f}{\partial x_{2}}}+\ldots +\lambda _{n}x_{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}$ 

собственными функциями являются $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}$$\lambda$ -однородные функции с вектором  $({\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_1,{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_2,\dots <!--\; \dots \; -->,{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_n)$$(\lambda _{1},\lambda _{2},\ldots ,\lambda _{n})$   и только они, причём собственным значением является порядок однородности $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}$$\lambda$ -однородной функции. В константу же этот дифференциальный оператор обращают логарифмы $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}$$\lambda$ -однородных функций с вектором  $({\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_1,{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_2,\dots <!--\; \dots \; -->,{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_n)$$(\lambda _{1},\lambda _{2},\ldots ,\lambda _{n})$ , и никакие другие функции.

Дальнейшим обобщением оператора Эйлера служит дифференциальный оператор

${\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_1{x}_1^{{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_1}\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}f}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}_1}+{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_2{x}_2^{{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_2}\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}f}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}_2}+\dots <!--\; \dots \; -->+{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_n{x}_n^{{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_n}\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}f}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}_n},$$\lambda _{1}x_{1}^{\mu _{1}}{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}+\lambda _{2}x_{2}^{\mu _{2}}{\frac {\partial f}{\partial x_{2}}}+\ldots +\lambda _{n}x_{n}^{\mu _{n}}{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}},$ 

который сводится к оператору Эйлера $y_1\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}f}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{y}_1}+y_2\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}f}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{y}_2}+\dots <!--\; \dots \; -->+y_n\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}f}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{y}_n}$$y_{1}{\frac {\partial f}{\partial y_{1}}}+y_{2}{\frac {\partial f}{\partial y_{2}}}+\ldots +y_{n}{\frac {\partial f}{\partial y_{n}}}$  заменой $y_k=\exp <!--\; \; -->\left(\frac{x^{1-<!--\; -\; -->{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_k}}{{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_k\left(1-<!--\; -\; -->{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_k\right)}\right)$$y_{k}=\exp \left({\frac {x^{1-\mu _{k}}}{\lambda _{k}\left(1-\mu _{k}\right)}}\right)$  при ${\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_k\ne <!--\; \ne \; -->1;$$\mu _{k}\neq 1;$  $y_k=x^{1/{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_k}$$y_{k}=x^{1/\lambda _{k}}$  при ${\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_k=1.$$\mu _{k}=1.$  Также к оператору Эйлера с помощью замены $y_k=\exp <!--\; \; -->\left({\int <!--\; \int \; -->}_{a_k}^x\frac{dt}{h_k(t)}\right)$$y_{k}=\exp \left(\int _{a_{k}}^{x}{\frac {dt}{h_{k}(t)}}\right)$  сводятся все дифференциальные операторы вида $h_1(x_1)\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}f}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}_1}+h_2(x_2)\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}f}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}_2}+\dots <!--\; \dots \; -->+h_n(x_n)\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}f}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}_n}.$$h_{1}(x_{1}){\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}+h_{2}(x_{2}){\frac {\partial f}{\partial x_{2}}}+\ldots +h_{n}(x_{n}){\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}.$ 

Источник: Chi Woo, Igor Khavkine, Euler’s theorem on homogeneous functions Архивная копия от 2 августа 2012 на Wayback Machine (PlanetMath.org)

Ограниченно однородные функцииПравить

Функция  $f(x_1,x_2,\dots <!--\; \dots \; -->,x_n):{\mathbb{R}}^n\to <!--\; \to \; -->\mathbb{R}$$f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}):\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$   называется ограниченно однородной с показателем однородности  $q$$q$   относительно множества положительных вещественных чисел  $\mathrm{\Lambda <!--\; \Lambda \; -->}$$\Lambda$   (называемого множеством однородности), если для всех  $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{x}\in <!--\; \in \; -->{\mathbb{R}}^n$${\vec {x}}\in \mathbb {R} ^{n}$   и для всех  $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}\in <!--\; \in \; -->\mathrm{\Lambda <!--\; \Lambda \; -->}$$\lambda \in \Lambda$   справедливо тождество

$f(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{x})={\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}^{q}f(\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{x}).$$f(\lambda {\vec {x}})=\lambda ^{q}f({\vec {x}}).$ 

Множество однородности  $\mathrm{\Lambda <!--\; \Lambda \; -->}$$\Lambda$   всегда содержит в себе единицу. Множество однородности  $\mathrm{\Lambda <!--\; \Lambda \; -->}$$\Lambda$   не может включать в себя сколь угодно малый непрерывный отрезок  $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}\in <!--\; \in \; -->\left[{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_0-<!--\; -\; -->\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->},{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_0+\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}\right]$$\lambda \in \left[\lambda _{0}-\varepsilon ,\lambda _{0}+\varepsilon \right]$  — в противном случае ограниченно однородная функция оказывается обычной однородной функцией (см. далее раздел «Некоторые функциональные уравнения, связанные с однородными функциями»). Поэтому интерес представляют те ограниченно однородные функции, у которых  $\mathrm{\Lambda <!--\; \Lambda \; -->}\ne <!--\; \ne \; -->\{1\}$$\Lambda \neq \{1\}$   и у которых множество однородности  $\mathrm{\Lambda <!--\; \Lambda \; -->}$$\Lambda$   сугубо дискретно.

Пример 1. Функция  $f(x)=x^q\sin <!--\; \; -->(\log <!--\; \; -->|x|)$$f(x)=x^{q}\sin(\log |x|)$   является ограниченно однородной с показателем однородности  $q$$q$   относительно множества  $\mathrm{\Lambda <!--\; \Lambda \; -->}=\{e^{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}m}\},$$\Lambda =\{e^{2\pi m}\},$   где  $m$$m$  — целые числа.

Пример 2. Функция  $f(x,y,z)=(x^2+2y^2+3z^2{)}^{q/2}\cos <!--\; \; -->(\log <!--\; \; -->\sqrt{x^2-<!--\; -\; -->xy+y^2})$$f(x,y,z)=(x^{2}+2y^{2}+3z^{2})^{q/2}\cos(\log {\sqrt {x^{2}-xy+y^{2}}})$   является ограниченно однородной с показателем однородности  $q$$q$   относительно множества  $\mathrm{\Lambda <!--\; \Lambda \; -->}=\{e^{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}k}\},$$\Lambda =\{e^{2\pi k}\},$   где  $k$$k$  — целые числа.

Теорема. Чтобы функция  $f(x_1,x_2,...,x_n),$$f(x_{1},x_{2},...,x_{n}),$   определённая при  $x_1>0,$$x_{1}>0,$   была ограниченно однородной с порядком однородности  $q,$$q,$   необходимо и достаточно, чтобы она имела вид

 $f(x_1,x_2,...,x_n)=x_1^q\cdot <!--\; \cdot \; -->H(\log <!--\; \; -->x_1,x_2/x_1,x_3/x_1,\dots <!--\; \dots \; -->,x_n/x_1),$$f(x_{1},x_{2},...,x_{n})=x_{1}^{q}\cdot H(\log x_{1},x_{2}/x_{1},x_{3}/x_{1},\ldots ,x_{n}/x_{1}),$  

где  $H(y,t_2,t_3,\dots <!--\; \dots \; -->,t_n)$$H(y,t_{2},t_{3},\ldots ,t_{n})$  — функция, периодическая по переменной  $y$$y$   с по крайней мере одним периодом, не зависящим от  $t_2,t_3,\dots <!--\; \dots \; -->,t_n.$$t_{2},t_{3},\ldots ,t_{n}.$   В таком случае множество однородности  $\mathrm{\Lambda <!--\; \Lambda \; -->}$$\Lambda$   состоит из чисел  $\{e^{Y_k}\},$$\{e^{Y_{k}}\},$   где  $Y_k$$Y_{k}$  — периоды функции  $H(y,t_2,t_3,\dots <!--\; \dots \; -->,t_n),$$H(y,t_{2},t_{3},\ldots ,t_{n}),$   не зависящие от  $t_2,t_3,\dots <!--\; \dots \; -->,t_n.$$t_{2},t_{3},\ldots ,t_{n}.$  

Доказательство. Достаточность проверяется непосредственно, надо доказать необходимость. Сделаем замену переменных

 $x_1,x_2,...,x_n\to <!--\; \to \; -->x_1,t_2,...,t_n,$$x_{1},x_{2},...,x_{n}\to x_{1},t_{2},...,t_{n},$   где  $t_k=x_k/x_1,$$t_{k}=x_{k}/x_{1},$  

так что  $f(x_1,x_2,...,x_n)=g(x_1,t_2,...,t_n).$$f(x_{1},x_{2},...,x_{n})=g(x_{1},t_{2},...,t_{n}).$   Если теперь рассмотреть функцию  $h(x_1,t_2,...,t_n)=g(x_1,t_2,...,t_n)/x_1^q,$$h(x_{1},t_{2},...,t_{n})=g(x_{1},t_{2},...,t_{n})/x_{1}^{q},$   то из условия однородности получаем для всех допустимых  $x_1$$x_{1}$   равенство

 $h(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}{x}_1,t_2,...,t_n)=h(x_1,t_2,t_3,...,t_n),$$h(\lambda x_{1},t_{2},...,t_{n})=h(x_{1},t_{2},t_{3},...,t_{n}),$  

которое будет справедливым, когда  $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}\in <!--\; \in \; -->\mathrm{\Lambda <!--\; \Lambda \; -->}.$$\lambda \in \Lambda .$   Если только множество  $\mathrm{\Lambda <!--\; \Lambda \; -->}$$\Lambda$   не состоит из одной лишь единицы, то после замены  $x_1=\exp <!--\; \; -->(y)$$x_{1}=\exp(y)$   функция

 $H(y,t_2,...,t_n)=H(\log <!--\; \; -->x_1,t_2,...,t_n)=h(x_1,t_2,...,t_n)$$H(y,t_{2},...,t_{n})=H(\log x_{1},t_{2},...,t_{n})=h(x_{1},t_{2},...,t_{n})$  

оказывается периодической по переменной  $y$$y$   с ненулевым периодом  $\log <!--\; \; -->\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}$$\log \lambda$   для любого выбранного фиксированным образом  $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}\in <!--\; \in \; -->\mathrm{\Lambda <!--\; \Lambda \; -->},$$\lambda \in \Lambda ,$   поскольку из приведённого выше равенства следует соотношение

 $H(\log <!--\; \; -->x_1+\log <!--\; \; -->\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->},t_2,...,t_n)=H(\log <!--\; \; -->x_1,t_2,...,t_n).$$H(\log x_{1}+\log \lambda ,t_{2},...,t_{n})=H(\log x_{1},t_{2},...,t_{n}).$  

Очевидно, что выбранное фиксированное значение $\log <!--\; \; -->\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}$$\log \lambda$   будет периодом функции  $H(y,t_2,...,t_n)$$H(y,t_{2},...,t_{n})$   сразу при всех  $t_2,...,t_n.$$t_{2},...,t_{n}.$  

Следствия:

1. Если имеется наименьший положительный период  $Y>0,$$Y>0,$   не зависящий от  $t_2,t_3,\dots <!--\; \dots \; -->,t_n,$$t_{2},t_{3},\ldots ,t_{n},$   то множество однородности  $\mathrm{\Lambda <!--\; \Lambda \; -->}$$\Lambda$   имеет вид  $\{e^{mY}\},$$\{e^{mY}\},$   где  $m=0,\pm <!--\; \pm \; -->1,\pm <!--\; \pm \; -->2,\dots <!--\; \dots \; -->$$m=0,\pm 1,\pm 2,\dots$  — произвольные целые числа. (Если  $Y$$Y$  — наименьший положительный период функции  $H(y,...),$$H(y,...),$   то и все  $Y_m=mY$$Y_{m}=mY$  — её периоды, поэтому числа  $\{e^{mY}\}$$\{e^{mY}\}$   будут входить в множество однородности. Если же найдётся такое значение однородности  ${\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_{\ast <!--\; \ast \; -->}=e^{Y_{\ast <!--\; \ast \; -->}},$$\lambda _{*}=e^{Y_{*}},$   что  $e^{mY}<e^{Y_{*}}<e^{(m+1)Y},$   то  $Y_{\ast <!--\; \ast \; -->}-<!--\; -\; -->mY$$Y_{*}-mY$   окажется положительным периодом, не зависящим от  $t_2,...,t_n,$$t_{2},...,t_{n},$   который будет меньше, чем  $Y.$$Y.$  )
2. Если функция  $H(y,\dots <!--\; \dots \; -->)$$H(y,\ldots )$  — это константа по переменной  $y,$$y,$   то у неё нет наименьшего положительного периода (любое положительное число является её периодом). В этом случае  $H(y,\dots <!--\; \dots \; -->)$$H(y,\ldots )$   не зависит от переменной  $y,$$y,$   и функция
       $f(x_1,x_2,...,x_n)=x_1^q\cdot <!--\; \cdot \; -->H(x_2/x_1,x_3/x_1,\dots <!--\; \dots \; -->,x_n/x_1)$$f(x_{1},x_{2},...,x_{n})=x_{1}^{q}\cdot H(x_{2}/x_{1},x_{3}/x_{1},\ldots ,x_{n}/x_{1})$  
   — это обычная положительно однородная функция (по меньшей мере). Множество однородности  $\mathrm{\Lambda <!--\; \Lambda \; -->}$$\Lambda$   в этом случае — вся положительная полуось  $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}>0$$\lambda >0$   (по меньшей мере).
3. Возможны экзотические случаи, когда у периодической функции  $H(y,...)$$H(y,...)$   не имеется наименьшего положительного периода, но при этом она и не является константой. Например, у функции Дирихле, равной 1 в рациональных точках и равной 0 в иррациональных точках, периодом является любое рациональное число. В таком случае множество однородности  $\mathrm{\Lambda <!--\; \Lambda \; -->}$$\Lambda$   может иметь достаточно сложную структуру. Однако если при каждом наборе значений  $t_2,t_3,\dots <!--\; \dots \; -->,t_n$$t_{2},t_{3},\ldots ,t_{n}$   у периодической функции  $H(y,...)$$H(y,...)$   есть предел по переменной  $y$$y$   хотя бы в одной точке, эта функция либо имеет наименьший положительный период (а все остальные периоды — кратные наименьшего положительного периода), либо является константой по переменной  $y.$$y.$  
4. Ограниченно однородные функции, определённые при  $x<0,$   имеют вид
       $f(x_1,x_2,...,x_n)=(-<!--\; -\; -->x_1{)}^q\cdot <!--\; \cdot \; -->H(\log <!--\; \; -->(-<!--\; -\; -->x_1),x_2/x_1,x_3/x_1,\dots <!--\; \dots \; -->,x_n/x_1)$$f(x_{1},x_{2},...,x_{n})=(-x_{1})^{q}\cdot H(\log(-x_{1}),x_{2}/x_{1},x_{3}/x_{1},\ldots ,x_{n}/x_{1})$  
   с надлежащим образом выбранной функцией  $H(y,t_2,t_3,\dots <!--\; \dots \; -->,t_n),$$H(y,t_{2},t_{3},\ldots ,t_{n}),$   периодической по переменной  $y.$$y.$  
5. Ограниченно однородные функции, определённые на всей числовой оси за вычетом точки  $x=0,$$x=0,$   имеют вид
       $f(x_1,x_2,...,x_n)=|x_1{|}^q\cdot <!--\; \cdot \; -->H_{\pm <!--\; \pm \; -->}(\log <!--\; \; -->|x_1|,x_2/x_1,x_3/x_1,\dots <!--\; \dots \; -->,x_n/x_1),$$f(x_{1},x_{2},...,x_{n})=|x_{1}|^{q}\cdot H_{\pm }(\log |x_{1}|,x_{2}/x_{1},x_{3}/x_{1},\ldots ,x_{n}/x_{1}),$  
   с надлежащим образом выбранной функцией  $H_{\pm <!--\; \pm \; -->}(y,t_2,t_3,\dots <!--\; \dots \; -->,t_n),$$H_{\pm }(y,t_{2},t_{3},\ldots ,t_{n}),$   периодической по переменной  $y$$y$   (где обозначение  $H_{\pm <!--\; \pm \; -->}(\dots <!--\; \dots \; -->)$$H_{\pm }(\ldots )$   подчёркивает, что для интервала значений  $x_1>0$$x_{1}>0$   и для интервала значений  $x_{1}<0$   выбираются, вообще говоря, разные периодические функции $H(y)$$H(y)$ , каждая с областью определения $y\in <!--\; \in \; -->(-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->},+\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->})$$y\in (-\infty ,+\infty )$ , но обязательно имеющие при этом один и тот же период).
6. Формула  $f(x_1,...,x_n)=x_1^q\cdot <!--\; \cdot \; -->H(\log <!--\; \; -->|x_1|,x_2/x_1,\dots <!--\; \dots \; -->,x_n/x_1),$$f(x_{1},...,x_{n})=x_{1}^{q}\cdot H(\log |x_{1}|,x_{2}/x_{1},\ldots ,x_{n}/x_{1}),$   является универсальной, но не отражает равноправность всех переменных. Можно представить функцию  $H(y,t_2,\dots <!--\; \dots \; -->,t_n\dots <!--\; \dots \; -->)$$H(y,t_{2},\dots ,t_{n}\ldots )$   как  $G\left(w\cdot <!--\; \cdot \; -->y+\log <!--\; \; -->W(t_2,\dots <!--\; \dots \; -->,t_n),t_2,\dots <!--\; \dots \; -->,t_n\right),$$G\left(w\cdot y+\log W(t_{2},\dots ,t_{n}),t_{2},\dots ,t_{n}\right),$   где период функции  $G\left(t,t_2,\dots <!--\; \dots \; -->,t_n\right)$$G\left(t,t_{2},\dots ,t_{n}\right)$   равен  $2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->},$$2\pi ,$   нормировочный множитель  $w$$w$   не зависит от  $t_2,\dots <!--\; \dots \; -->,t_n,$$t_{2},\dots ,t_{n},$   а функция  $W(t_2,\dots <!--\; \dots \; -->,t_n)$$W(t_{2},\dots ,t_{n})$   выбрана фиксированной. При такой записи ограниченно однородные функции приобретают вид
       $f(x_1,...,x_n)=F(\log <!--\; \; -->Q(x_1,\dots <!--\; \dots \; -->,x_n),x_1,\dots <!--\; \dots \; -->,x_n),$$f(x_{1},...,x_{n})=F(\log Q(x_{1},\ldots ,x_{n}),x_{1},\ldots ,x_{n}),$  
   где  $F(y,x_1,x_2,\dots <!--\; \dots \; -->,x_n)$$F(y,x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})$  — однородная функция с показателем однородности  $q$$q$   по переменным  $x_1,x_2,\dots <!--\; \dots \; -->,x_n$$x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$   и периодическая с периодом  $2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$2\pi$   по переменной  $y,$$y,$    $Q(x_1,x_2,\dots <!--\; \dots \; -->,x_n),$$Q(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}),$  — фиксированная однородная функция с показателем однородности  $w$$w$   по переменным  $x_1,x_2,\dots <!--\; \dots \; -->,x_n,$$x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n},$   а множество однородности имеет вид  $\mathrm{\Lambda <!--\; \Lambda \; -->}=\{e^{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}m/w}\},$$\Lambda =\{e^{2\pi m/w}\},$   где  $m=0,\pm <!--\; \pm \; -->1,\pm <!--\; \pm \; -->2,\dots <!--\; \dots \; -->$$m=0,\pm 1,\pm 2,\dots$  — произвольные целые числа.
7. Разлагая периодическую функцию  $F(y,x_1,\dots <!--\; \dots \; -->,x_n)$$F(y,x_{1},\ldots ,x_{n})$   из предыдущего пункта в ряд Фурье, можно получить выражение
       $A_0(x_1,\dots <!--\; \dots \; -->,x_n)+\sum <!--\; \sum \; -->A_k(x_1,\dots <!--\; \dots \; -->,x_n)\cos <!--\; \; -->k\log <!--\; \; -->Q(x_1,\dots <!--\; \dots \; -->,x_n)+B_k(x_1,\dots <!--\; \dots \; -->,x_n)\sin <!--\; \; -->k\log <!--\; \; -->Q(x_1,\dots <!--\; \dots \; -->,x_n),$$A_{0}(x_{1},\ldots ,x_{n})+\sum A_{k}(x_{1},\ldots ,x_{n})\cos k\log Q(x_{1},\ldots ,x_{n})+B_{k}(x_{1},\ldots ,x_{n})\sin k\log Q(x_{1},\ldots ,x_{n}),$  
   где  $A_k(x_1,\dots <!--\; \dots \; -->,x_n)$$A_{k}(x_{1},\ldots ,x_{n})$   и  $B_k(x_1,\dots <!--\; \dots \; -->,x_n)$$B_{k}(x_{1},\ldots ,x_{n})$  — произвольные однородные функции с показателем однородности  $q,$$q,$    $Q(x_1,\dots <!--\; \dots \; -->,x_n)$$Q(x_{1},\ldots ,x_{n})$  — произвольным образом фиксированная однородная функция с показателем однородности  $w,$$w,$   а множество однородности  $\mathrm{\Lambda <!--\; \Lambda \; -->}=\{e^{mY}\},$$\Lambda =\{e^{mY}\},$   записано как  $\mathrm{\Lambda <!--\; \Lambda \; -->}=\{e^{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}m/w}\},$$\Lambda =\{e^{2\pi m/w}\},$   где  $m$$m$  — целые числа. Эта формула является самым общим способом записи для кусочно-непрерывных ограниченно однородных функций с порядком однородности  $q$$q$   и множеством однородности  $\mathrm{\Lambda <!--\; \Lambda \; -->}=\{e^{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}m/w}\}.$$\Lambda =\{e^{2\pi m/w}\}.$   В частности, замена фиксированной функции  $Q(x_1,\dots <!--\; \dots \; -->,x_n)$$Q(x_{1},\ldots ,x_{n})$   на набор произвольных однородных функций  $Q_k(x_1,\dots <!--\; \dots \; -->,x_n)$$Q_{k}(x_{1},\ldots ,x_{n})$   не прибавит данной формуле общности, но лишь разнообразит форму представления для одной и той же ограниченно однородной функции.

Библиография: Konrad Schlude, Bemerkung zu beschränkt homogenen Funktionen. — Elemente der Mathematik 54 (1999).

Источник информации: J.Pahikkala. Boundedly homogeneous function Архивная копия от 23 августа 2012 на Wayback Machine (PlanetMath.org).

Присоединённые однородные функцииПравить

[раздел пока не написан]

Источник: И. М. Гельфанд, З. Я. Шапиро. Однородные функции и их приложения. Успехи математических наук, т. 10 (1955) вып. 3, стр. 3—70.

Взаимно однородные функцииПравить

[раздел пока не написан]

Источник: И. М. Гельфанд, З. Я. Шапиро. Однородные функции и их приложения. Успехи математических наук, т. 10 (1955) вып. 3, стр. 3—70.

Некоторые функциональные уравнения, связанные с однородными функциямиПравить

1. Пусть

 $f\left(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}{x}_1,\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}{x}_2,\dots <!--\; \dots \; -->,\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}{x}_n\right)=C\left(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}\right)f\left(x_1,x_2,\dots <!--\; \dots \; -->,x_n\right)$$f\left(\lambda x_{1},\lambda x_{2},\dots ,\lambda x_{n}\right)=C\left(\lambda \right)f\left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\right)$  

при некоторой функции  $C\left(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}\right)$$C\left(\lambda \right)$   на интервале  $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}\in <!--\; \in \; -->\left[{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_0-<!--\; -\; -->\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->},{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_0+\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}\right].$$\lambda \in \left[\lambda _{0}-\varepsilon ,\lambda _{0}+\varepsilon \right].$   Какова должна быть функция  $f\left(x_1,x_2,\dots <!--\; \dots \; -->,x_n\right)?$$f\left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\right)?$  

Решение. Продифференцируем обе стороны этого соотношения по  $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}.$$\lambda .$   Получим

 $x_1\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}f(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}{x}_1,\dots <!--\; \dots \; -->,\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}{x}_n)}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}{x}_1)}+x_2\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}f(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}{x}_1,\dots <!--\; \dots \; -->,\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}{x}_n)}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}{x}_2)}+\cdots <!--\; \cdots \; -->+x_n\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}f(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}{x}_1,\dots <!--\; \dots \; -->,\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}{x}_n)}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}{x}_n)}=\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}C\left(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}\right)}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}f(x_1,\dots <!--\; \dots \; -->,x_n).$$x_{1}{\frac {\partial f(\lambda x_{1},\dots ,\lambda x_{n})}{\partial (\lambda x_{1})}}+x_{2}{\frac {\partial f(\lambda x_{1},\dots ,\lambda x_{n})}{\partial (\lambda x_{2})}}+\dots +x_{n}{\frac {\partial f(\lambda x_{1},\dots ,\lambda x_{n})}{\partial (\lambda x_{n})}}={\frac {\partial C\left(\lambda \right)}{\partial \lambda }}f(x_{1},\dots ,x_{n}).$  

Продифференцируем обе стороны этого же соотношения по  $x_k,$$x_{k},$   получим соотношения

 $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}f(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}{x}_1,\dots <!--\; \dots \; -->,\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}{x}_n)}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}{x}_k)}=C\left(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}\right)\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}f(x_1,\dots <!--\; \dots \; -->,x_n)}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}_k}.$$\lambda {\frac {\partial f(\lambda x_{1},\dots ,\lambda x_{n})}{\partial (\lambda x_{k})}}=C\left(\lambda \right){\frac {\partial f(x_{1},\dots ,x_{n})}{\partial x_{k}}}.$  

Отсюда

 $\frac{1}{f(x_1,\dots <!--\; \dots \; -->,x_n)}\left(x_1\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}f(x_1,\dots <!--\; \dots \; -->,x_n)}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}_1}+\cdots <!--\; \cdots \; -->+x_n\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}f(x_1,\dots <!--\; \dots \; -->,x_n)}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}_n}\right)=\frac{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}{C\left(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}\right)}\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}C\left(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}\right)}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}.$${\frac {1}{f(x_{1},\dots ,x_{n})}}\left(x_{1}{\frac {\partial f(x_{1},\dots ,x_{n})}{\partial x_{1}}}+\dots +x_{n}{\frac {\partial f(x_{1},\dots ,x_{n})}{\partial x_{n}}}\right)={\frac {\lambda }{C\left(\lambda \right)}}{\frac {\partial C\left(\lambda \right)}{\partial \lambda }}.$  

Правая часть зависит только от  $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->},$$\lambda ,$   левая часть зависит только от  $x_1,x_2,\dots <!--\; \dots \; -->,x_n$$x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}$   Значит, они обе равны одной и той же константе, которую обозначим через  $q.$$q.$   Из условия  $\frac{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}{C\left(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}\right)}\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}C\left(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}\right)}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}=q$${\frac {\lambda }{C\left(\lambda \right)}}{\frac {\partial C\left(\lambda \right)}{\partial \lambda }}=q$   и условия  $C\left(1\right)=1$$C\left(1\right)=1$   следует, что  $C\left(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}\right)={\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}^q.$$C\left(\lambda \right)=\lambda ^{q}.$   Следовательно,  $f\left(x_1,x_2,\dots <!--\; \dots \; -->,x_n\right)$$f\left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\right)$  — однородная функция с параметром однородности $q.$$q.$   Вырожденные случаи $C\left(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}\right)\equiv <!--\; \equiv \; -->0$$C\left(\lambda \right)\equiv 0$   и $f\left(x_1,x_2,\dots <!--\; \dots \; -->,x_n\right)\equiv <!--\; \equiv \; -->0$$f\left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\right)\equiv 0$   рассматриваются отдельно и интереса не представляют.

Примечание. Не обязательно использовать условие  $C\left(1\right)=1,$$C\left(1\right)=1,$   вообще говоря, изначально не заданное, а также принудительно рассматривать функцию  $C\left(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}\right)$$C\left(\lambda \right)$   за пределами интервала  $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}\in <!--\; \in \; -->\left[{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_0-<!--\; -\; -->\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->},{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_0+\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}\right].$$\lambda \in \left[\lambda _{0}-\varepsilon ,\lambda _{0}+\varepsilon \right].$  . Из равенства

 $\frac{1}{f}\left(x_1\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}f}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}_1}+x_2\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}f}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}_2}+\cdots <!--\; \cdots \; -->+x_n\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}f}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}_n}\right)=q$${\frac {1}{f}}\left(x_{1}{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}+x_{2}{\frac {\partial f}{\partial x_{2}}}+\dots +x_{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}\right)=q$  

согласно теореме Эйлера об однородных функциях также следует, что  $f\left(x_1,x_2,\dots <!--\; \dots \; -->,x_n\right)$$f\left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\right)$  — однородная функция с параметром однородности $q.$$q.$   Отсюда, в частности, следует, что если соотношение однородности справедливо для некоторого интервала  $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}\in <!--\; \in \; -->\left[{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_0-<!--\; -\; -->\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->},{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_0+\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}\right],$$\lambda \in \left[\lambda _{0}-\varepsilon ,\lambda _{0}+\varepsilon \right],$   то оно справедливо при всех  $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}>0.$$\lambda >0.$  

2. Пусть

 $f\left(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}{x}_1,\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}{x}_2,\dots <!--\; \dots \; -->,\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}{x}_n\right)=Cf\left(x_1,x_2,\dots <!--\; \dots \; -->,x_n\right)$$f\left(\lambda x_{1},\lambda x_{2},\dots ,\lambda x_{n}\right)=Cf\left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\right)$  

при некоторых фиксированных значениях  $C\ne <!--\; \ne \; -->0,$$C\neq 0,$    $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}\ne <!--\; \ne \; -->1$$\lambda \neq 1$   и произвольных  $x_1,x_2,\dots <!--\; \dots \; -->,x_n.$$x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}.$   Какова должна быть функция  $f\left(x_1,x_2,\dots <!--\; \dots \; -->,x_n\right)?$$f\left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\right)?$  

Решение. Если  $x_1=0,$$x_{1}=0,$   то задача сводится к функциональному уравнению меньшей размерности

 $f\left(0,\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}{x}_2,\dots <!--\; \dots \; -->,\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}{x}_n\right)=Cf\left(0,x_2,\dots <!--\; \dots \; -->,x_n\right),$$f\left(0,\lambda x_{2},\dots ,\lambda x_{n}\right)=Cf\left(0,x_{2},\dots ,x_{n}\right),$  

пока не сведётся к случаю  $f\left(0,0,\dots <!--\; \dots \; -->,0\right)=Cf\left(0,0,\dots <!--\; \dots \; -->,0\right)$$f\left(0,0,\dots ,0\right)=Cf\left(0,0,\dots ,0\right)$   с очевидным ответом $f\left(0,0,\dots <!--\; \dots \; -->,0\right)=0.$$f\left(0,0,\dots ,0\right)=0.$   Поэтому далее можно рассматривать только случай  $x_1\ne <!--\; \ne \; -->0.$$x_{1}\neq 0.$  

Сделаем замену переменных  $x_1=y,$$x_{1}=y,$    $x_2=t_2\cdot <!--\; \cdot \; -->y,$$x_{2}=t_{2}\cdot y,$    $x_3=t_3\cdot <!--\; \cdot \; -->y,$$x_{3}=t_{3}\cdot y,$    $x_n=t_n\cdot <!--\; \cdot \; -->y.$$x_{n}=t_{n}\cdot y.$   Тогда  $f(x_1,x_2,\dots <!--\; \dots \; -->,x_n)\to <!--\; \to \; -->F(y,t_2,\dots <!--\; \dots \; -->,t_n)$$f(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})\to F(y,t_{2},\dots ,t_{n})$   и функциональное уравнение принимает вид

 $F\left(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}y,t_2,\dots <!--\; \dots \; -->,t_n\right)=CF\left(y,t_2,\dots <!--\; \dots \; -->,t_n\right).$$F\left(\lambda y,t_{2},\dots ,t_{n}\right)=CF\left(y,t_{2},\dots ,t_{n}\right).$  

Следует отдельно рассматривать случаи  $C>0$$C>0$   и  $C<0,$    $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}>0$$\lambda >0$   и  $\lambda <0,$    $y>0$$y>0$   и  $y<0.$   Пусть  $C>0,$$C>0,$    $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}>0$$\lambda >0$   и  $y>0.$$y>0.$   Тогда после логарифмирования обеих частей равенства и замены  $\log <!--\; \; -->y\to <!--\; \to \; -->t,$$\log y\to t,$    $\log <!--\; \; -->F(y,\dots <!--\; \dots \; -->)\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}(t,\dots <!--\; \dots \; -->)$$\log F(y,\dots )\to \Phi (t,\dots )$   получаем условие

 $\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}\left(t+\log <!--\; \; -->\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->},\dots <!--\; \dots \; -->\right)=\log <!--\; \; -->C+\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}\left(t,\dots <!--\; \dots \; -->\right),$$\Phi \left(t+\log \lambda ,\dots \right)=\log C+\Phi \left(t,\dots \right),$  

откуда следует, что  $\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}\left(t,\dots <!--\; \dots \; -->\right)$$\Phi \left(t,\dots \right)$   имеет вид  $\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}\left(t,\dots <!--\; \dots \; -->\right)+\frac{\log <!--\; \; -->C}{\log <!--\; \; -->\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}t,$$\Omega \left(t,\dots \right)+{\frac {\log C}{\log \lambda }}t,$   где  $\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}\left(t,\dots <!--\; \dots \; -->\right)$$\Omega \left(t,\dots \right)$  — функция, периодическая по переменной  $t$$t$   с периодом  $\log <!--\; \; -->\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}.$$\log \lambda .$   Обратное очевидно: функция

 $f\left(x_1,x_2,\dots <!--\; \dots \; -->,x_n\right)=\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}\left(\log <!--\; \; -->x_1,\frac{x_2}{x_1},\dots <!--\; \dots \; -->\frac{x_n}{x_1}\right)\exp <!--\; \; -->\left(\frac{\log <!--\; \; -->C\cdot <!--\; \cdot \; -->\log <!--\; \; -->x_1}{\log <!--\; \; -->\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}\right),$$f\left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\right)=\Omega \left(\log x_{1},{\frac {x_{2}}{x_{1}}},\dots {\frac {x_{n}}{x_{1}}}\right)\exp \left({\frac {\log C\cdot \log x_{1}}{\log \lambda }}\right),$  

где  $\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}\left(t,\dots <!--\; \dots \; -->\right)$$\Omega \left(t,\dots \right)$  — функция, периодическая по переменной  $t$$t$   с периодом  $\log <!--\; \; -->\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->},$$\log \lambda ,$   удовлетворяет требуемому функциональному соотношению для  $x_1>0.$$x_{1}>0.$  

Для полуоси  $x_{1}<0$   используется замена  $\log <!--\; \; -->(-<!--\; -\; -->y)\to <!--\; \to \; -->t$$\log(-y)\to t$   и после аналогичных рассуждений получаем окончательный ответ:

а) если  $x_1>0$$x_{1}>0$   то  $f\left(x_1,x_2,\dots <!--\; \dots \; -->,x_n\right)={\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}_{+}\left(\log <!--\; \; -->(+x_1),x_2/x_1,\dots <!--\; \dots \; -->x_n/x_1\right)\exp <!--\; \; -->\left(\frac{\log <!--\; \; -->C\cdot <!--\; \cdot \; -->\log <!--\; \; -->(+x_1)}{\log <!--\; \; -->\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}\right),$$f\left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\right)=\Omega _{+}\left(\log(+x_{1}),x_{2}/x_{1},\dots x_{n}/x_{1}\right)\exp \left({\frac {\log C\cdot \log(+x_{1})}{\log \lambda }}\right),$  

б) если  $x_{1}<0$   то  $f\left(x_1,x_2,\dots <!--\; \dots \; -->,x_n\right)={\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}_{-<!--\; -\; -->}\left(\log <!--\; \; -->(-<!--\; -\; -->x_1),x_2/x_1,\dots <!--\; \dots \; -->x_n/x_1\right)\exp <!--\; \; -->\left(\frac{\log <!--\; \; -->C\cdot <!--\; \cdot \; -->\log <!--\; \; -->(-<!--\; -\; -->x_1)}{\log <!--\; \; -->\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}\right),$$f\left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\right)=\Omega _{-}\left(\log(-x_{1}),x_{2}/x_{1},\dots x_{n}/x_{1}\right)\exp \left({\frac {\log C\cdot \log(-x_{1})}{\log \lambda }}\right),$  

или, в сокращённой форме

 $f\left(x_1,x_2,\dots <!--\; \dots \; -->,x_n\right)={\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}_{\pm <!--\; \pm \; -->}\left(\log <!--\; \; -->|x_1|,\frac{x_2}{x_1},\dots <!--\; \dots \; -->\frac{x_n}{x_1}\right)\exp <!--\; \; -->\left(\frac{\log <!--\; \; -->C\cdot <!--\; \cdot \; -->\log <!--\; \; -->|x_1|}{\log <!--\; \; -->\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}\right),$$f\left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\right)=\Omega _{\pm }\left(\log |x_{1}|,{\frac {x_{2}}{x_{1}}},\dots {\frac {x_{n}}{x_{1}}}\right)\exp \left({\frac {\log C\cdot \log |x_{1}|}{\log \lambda }}\right),$  

где обозначение  ${\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}_{\pm <!--\; \pm \; -->}\left(\log <!--\; \; -->|x_1|,\dots <!--\; \dots \; -->\right)$$\Omega _{\pm }\left(\log |x_{1}|,\dots \right)$   подчёркивает, что при  $x_1>0$$x_{1}>0$   и при  $x_{1}<0$  это, вообще говоря, две разные периодические функции  ${\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}_{+}\left(t,\dots <!--\; \dots \; -->\right)$$\Omega _{+}\left(t,\dots \right)$  и  ${\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}_{-<!--\; -\; -->}\left(t,\dots <!--\; \dots \; -->\right)$$\Omega _{-}\left(t,\dots \right)$ , каждая с областью определения  $t\in <!--\; \in \; -->(-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->},+\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->})$$t\in (-\infty ,+\infty )$  и разными значениями для этой области, но при этом с одинаковым периодом. 

Случай  $C<0,$    $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}>0$$\lambda >0$   упрощается тем, что из цепочки соотношений

 $F\left({\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}^{2}y,t_2,\dots <!--\; \dots \; -->,t_n\right)=CF\left(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}y,t_2,\dots <!--\; \dots \; -->,t_n\right)=C^{2}F\left(y,t_2,\dots <!--\; \dots \; -->,t_n\right)$$F\left(\lambda ^{2}y,t_{2},\dots ,t_{n}\right)=CF\left(\lambda y,t_{2},\dots ,t_{n}\right)=C^{2}F\left(y,t_{2},\dots ,t_{n}\right)$  

следует уже рассмотренный нами случай. Поэтому функция  $f\left(x_1,x_2,\dots <!--\; \dots \; -->,x_n\right)$$f\left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\right)$   может быть записана как

 $f\left(x_1,x_2,\dots <!--\; \dots \; -->,x_n\right)={\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}_{\pm <!--\; \pm \; -->}\left(\log <!--\; \; -->|x_1|,\frac{x_2}{x_1},\dots <!--\; \dots \; -->\frac{x_n}{x_1}\right)\exp <!--\; \; -->\left(\frac{\log <!--\; \; -->|C|\cdot <!--\; \cdot \; -->\log <!--\; \; -->|x_1|}{\log <!--\; \; -->\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}\right),$$f\left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\right)=\Omega _{\pm }\left(\log |x_{1}|,{\frac {x_{2}}{x_{1}}},\dots {\frac {x_{n}}{x_{1}}}\right)\exp \left({\frac {\log |C|\cdot \log |x_{1}|}{\log \lambda }}\right),$  

где  ${\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}_{\pm <!--\; \pm \; -->}\left(t,\dots <!--\; \dots \; -->\right)$$\Omega _{\pm }\left(t,\dots \right)$  — некоторая функция, периодическая по переменной  $t$$t$   с периодом  $2\log <!--\; \; -->\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}.$$2\log \lambda .$   Подстановка этого выражения в исходное уравнение показывает, что  ${\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}_{\pm <!--\; \pm \; -->}\left(t,\dots <!--\; \dots \; -->\right)$$\Omega _{\pm }\left(t,\dots \right)$  — не просто периодическая функция с периодом  $2\log <!--\; \; -->\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->},$$2\log \lambda ,$   но анти-периодическая с периодом  $\log <!--\; \; -->\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}:$$\log \lambda :$  

 ${\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}_{\pm <!--\; \pm \; -->}\left(t+\log <!--\; \; -->\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->},\dots <!--\; \dots \; -->\right)=-<!--\; -\; -->{\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}_{\pm <!--\; \pm \; -->}\left(t,\dots <!--\; \dots \; -->\right)$$\Omega _{\pm }\left(t+\log \lambda ,\dots \right)=-\Omega _{\pm }\left(t,\dots \right)$  

(очевидным образом анти-периодичность с периодом  $\log <!--\; \; -->\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}$$\log \lambda$   влечёт за собой периодичность с периодом  $2\log <!--\; \; -->\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}$$2\log \lambda$ ). Обратное очевидно: указанная формула с анти-периодической функцией  ${\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}_{\pm <!--\; \pm \; -->}\left(t,\dots <!--\; \dots \; -->\right)$$\Omega _{\pm }\left(t,\dots \right)$   удовлетворяет требуемому функциональному уравнению.

Случай  $\lambda <0$   имеет дополнительную особенность, что полуоси  $y<0$   и  $y>0$$y>0$   влияют друг на друга. Рассмотрим случай $y>0.$$y>0.$   Тогда из цепочки соотношений

 $F\left({\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}^{2}y,t_2,\dots <!--\; \dots \; -->,t_n\right)=CF\left(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}y,t_2,\dots <!--\; \dots \; -->,t_n\right)=C^{2}F\left(y,t_2,\dots <!--\; \dots \; -->,t_n\right)$$F\left(\lambda ^{2}y,t_{2},\dots ,t_{n}\right)=CF\left(\lambda y,t_{2},\dots ,t_{n}\right)=C^{2}F\left(y,t_{2},\dots ,t_{n}\right)$  

следует, что при  $x_1>0$$x_{1}>0$   функция  $f\left(x_1,x_2,\dots <!--\; \dots \; -->,x_n\right)$$f\left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\right)$   должна иметь вид

 $f\left(x_1,x_2,\dots <!--\; \dots \; -->,x_n\right)=\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}\left(\log <!--\; \; -->|x_1|,\frac{x_2}{x_1},\dots <!--\; \dots \; -->\frac{x_n}{x_1}\right)\exp <!--\; \; -->\left(\frac{\log <!--\; \; -->|C|\cdot <!--\; \cdot \; -->\log <!--\; \; -->|x_1|}{\log <!--\; \; -->|\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}|}\right),$$f\left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\right)=\Omega \left(\log |x_{1}|,{\frac {x_{2}}{x_{1}}},\dots {\frac {x_{n}}{x_{1}}}\right)\exp \left({\frac {\log |C|\cdot \log |x_{1}|}{\log |\lambda |}}\right),$  

где  $\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}\left(t,\dots <!--\; \dots \; -->\right)$$\Omega \left(t,\dots \right)$  — функция, периодическая по переменной  $t$$t$   с периодом  $2\log <!--\; \; -->|\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}|$$2\log |\lambda |$   и областью определения  $t\in <!--\; \in \; -->(-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->},+\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}).$$t\in (-\infty ,+\infty ).$   Поскольку  $\lambda <0,$   то каждой положительной точке  $x_1>0$$x_{1}>0$   взаимно-однозначно соответствует отрицательная точка  $\lambda x_{1}<0$   со значением функции, равным  $Cf\left(x_1,x_2,\dots <!--\; \dots \; -->,x_n\right).$$Cf\left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\right).$  . В результате с учётом периодичности функции  $\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}\left(t,\dots <!--\; \dots \; -->\right)$$\Omega \left(t,\dots \right)$   функция  $f\left(x_1,x_2,\dots <!--\; \dots \; -->,x_n\right)$$f\left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\right)$   вычисляется как

а) при  $x_1>0:$$x_{1}>0:$    $f(x_1,x_2,\dots <!--\; \dots \; -->,x_n)=\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}\left(\log <!--\; \; -->|x_1|,\frac{x_2}{x_1},\dots <!--\; \dots \; -->\frac{x_n}{x_1}\right)\exp <!--\; \; -->\left(\frac{\log <!--\; \; -->|C|\cdot <!--\; \cdot \; -->\log <!--\; \; -->|x_1|}{\log <!--\; \; -->|\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}|}\right),$$f(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=\Omega \left(\log |x_{1}|,{\frac {x_{2}}{x_{1}}},\dots {\frac {x_{n}}{x_{1}}}\right)\exp \left({\frac {\log |C|\cdot \log |x_{1}|}{\log |\lambda |}}\right),$  

б) при  $x_{1}<0:$    $f(x_1,x_2,\dots <!--\; \dots \; -->,x_n)=sign(C)\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}\left(\log <!--\; \; -->|x_1|+\log <!--\; \; -->|\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}|,\frac{x_2}{x_1},\dots <!--\; \dots \; -->\frac{x_n}{x_1}\right)\exp <!--\; \; -->\left(\frac{\log <!--\; \; -->|C|\cdot <!--\; \cdot \; -->\log <!--\; \; -->|x_1|}{\log <!--\; \; -->|\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}|}\right),$$f(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=sign(C)\cdot \Omega \left(\log |x_{1}|+\log |\lambda |,{\frac {x_{2}}{x_{1}}},\dots {\frac {x_{n}}{x_{1}}}\right)\exp \left({\frac {\log |C|\cdot \log |x_{1}|}{\log |\lambda |}}\right),$  

где  $\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}\left(t,\dots <!--\; \dots \; -->\right)$$\Omega \left(t,\dots \right)$  — функция, периодическая по переменной  $t$$t$   с периодом  $2\log <!--\; \; -->|\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}|.$$2\log |\lambda |.$   Как легко проверить, определённая подобным образом функция  $f(x_1,x_2,\dots <!--\; \dots \; -->,x_n)$$f(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})$   для случая  $\lambda <0$   действительно удовлетворяет нужному функциональному уравнению как при  $x_1>0,$$x_{1}>0,$   так и при  $x_{1}<0.$  

Примечание. Если некоторая функция удовлетворяет указанному функциональному уравнению при некоторых  $C_0,{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_0,$$C_{0},\lambda _{0},$   то легко заметить, что она удовлетворяет этому же функциональному уравнению и при других наборах значений  $\left(C,\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}\right).$$\left(C,\lambda \right).$   Так, для случая  $C_0>0,{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_0>0$$C_{0}>0,\lambda _{0}>0$   множеством таких пар будут  ${\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_k={\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_0^{k/m},$$\lambda _{k}=\lambda _{0}^{k/m},$    $C_k=C_0^{k/m}$$C_{k}=C_{0}^{k/m}$   при любых ненулевых целочисленных значениях  $k=\pm <!--\; \pm \; -->1,\pm <!--\; \pm \; -->2,\dots <!--\; \dots \; -->,$$k=\pm 1,\pm 2,\dots ,$   где целое число  $m$$m$   выбрано так, чтобы величина  $|\log <!--\; \; -->{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_0|/m$$|\log \lambda _{0}|/m$   была наименьшим положительным периодом для функции  ${\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}_{\pm <!--\; \pm \; -->}\left(t,\dots <!--\; \dots \; -->\right).$$\Omega _{\pm }\left(t,\dots \right).$   Введя обозначение  $q=\log <!--\; \; -->C_0/\log <!--\; \; -->{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_0$$q=\log C_{0}/\log \lambda _{0}$   так что  $C_0={\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_0^q,$$C_{0}=\lambda _{0}^{q},$   получим условие  $C_k\equiv <!--\; \equiv \; -->{\left({\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_k\right)}^q,$$C_{k}\equiv \left(\lambda _{k}\right)^{q},$   соответствующее ограниченно однородным функциям. Замена  $\exp <!--\; \; -->\left(\frac{\log <!--\; \; -->C\cdot <!--\; \cdot \; -->\log <!--\; \; -->x_1}{\log <!--\; \; -->\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}\right)\to <!--\; \to \; -->x_1^q$$\exp \left({\frac {\log C\cdot \log x_{1}}{\log \lambda }}\right)\to x_{1}^{q}$   приводит представление ограниченно однородных функций к привычному виду.

3. Дополнительные функциональные уравнения имеются в разделах «Присоединённые однородные функции» и «Взаимно однородные функции» этой статьи.

Однородные обобщённые функцииПравить

Обобщённые функции или распределения определяются как линейные непрерывные функционалы, заданные на пространстве «достаточно хороших» функций. В случае однородных обобщённых функций в качестве «достаточно хороших» функций удобно использовать пространство  $\mathbb{S}$$\mathbb{S}$   функций  $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(x)=\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(x_1,x_2,\dots <!--\; \dots \; -->,x_n),$$\varphi (x)=\varphi (x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}),$   имеющих производные любого порядка и при  $\left|x\right|\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$\left|x\right|\to \infty$   убывающих быстрее любой степени  $\frac{1}{\left|x\right|}.$${\frac {1}{\left|x\right|}}.$   При этом любой обычной функции $f(x)$$f(x)$ ,  интегрируемой в любой конечной области, ставится в соответствие функционал

$T_f\left[\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}\right]={\int <!--\; \int \; -->}_{-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}^{+\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}f(x)\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(x)dx,$$T_{f}\left[\varphi \right]=\int _{-\infty }^{+\infty }f(x)\varphi (x)dx,$ 

определённый в пространстве  $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}\in <!--\; \in \; -->\mathbb{S}$$\varphi \in \mathbb {S}$   и являющийся очевидным образом линейным и непрерывным. Обобщённые функции позволяют упростить рассмотрение многих вопросов анализа (так, всякая обобщённая функция имеет производные любого порядка, допускает преобразование Фурье и т. д.), а также узаконить такие экзотические объекты, как  $\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}$$\delta$ -функция и её производные.

Для обычных интегрируемых функций  $f(x_1,\dots <!--\; \dots \; -->,x_n),$$f(x_{1},\dots ,x_{n}),$   являющихся однородными с показателем однородности  $q,$$q,$   справедливо легко проверяемое тождество

$T_f\left[\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}\left(\frac{x_1}{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}},\frac{x_2}{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}},\dots <!--\; \dots \; -->,\frac{x_n}{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}\right)\right]={\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}^{q+n}{T}_f\left[\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}\left(x_1,x_2,\dots <!--\; \dots \; -->,x_n\right)\right].(\ast <!--\; \ast \; -->\ast <!--\; \ast \; -->)$$T_{f}\left[\varphi \left({\frac {x_{1}}{\lambda }},{\frac {x_{2}}{\lambda }},\dots ,{\frac {x_{n}}{\lambda }}\right)\right]=\lambda ^{q+n}T_{f}\left[\varphi \left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\right)\right].\qquad \qquad \qquad (**)$ 

Данное тождество принимается за определение обобщённой однородной функции: однородная обобщённая функция с показателем однородности  $q$$q$   (вообще говоря, комплексным) есть линейный непрерывный функционал, определённый в пространстве  $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}\in <!--\; \in \; -->\mathbb{S}$$\varphi \in \mathbb {S}$   и удовлетворяющий тождеству (**).

Похожим способом определяются присоединённые однородные обобщённые функции. Присоединённая однородная обобщённая функция  $T_k\left[\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}\right]$$T_{k}\left[\varphi \right]$   порядка  $k$$k$   с показателем однородности  $q$$q$  — это линейный непрерывный функционал, для всякого  $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}>0$$\lambda >0$   удовлетворяющий соотношению

$T_k\left[\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}\left(\frac{x_1}{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}},\frac{x_2}{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}},\dots <!--\; \dots \; -->,\frac{x_n}{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}\right)\right]={\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}^{q+n}{T}_k\left[\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}\left(x_1,x_2,\dots <!--\; \dots \; -->,x_n\right)\right]+{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}^{q+n}\log <!--\; \; -->\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}\cdot <!--\; \cdot \; -->T_{k-<!--\; -\; -->1}\left[\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}\left(x_1,x_2,\dots <!--\; \dots \; -->,x_n\right)\right],$$T_{k}\left[\varphi \left({\frac {x_{1}}{\lambda }},{\frac {x_{2}}{\lambda }},\dots ,{\frac {x_{n}}{\lambda }}\right)\right]=\lambda ^{q+n}T_{k}\left[\varphi \left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\right)\right]+\lambda ^{q+n}\log \lambda \cdot T_{k-1}\left[\varphi \left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\right)\right],$ 

где  $T_{k-<!--\; -\; -->1}\left[\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}\right]$$T_{k-1}\left[\varphi \right]$  — это некоторая присоединённая однородная обобщённая функция  $(k-<!--\; -\; -->1)$$(k-1)$  —го порядка с показателем однородности  $q.$$q.$   Присоединённая однородная обобщённая функция нулевого порядка  с показателем однородности  $q$$q$  — это обычная однородная обобщённая функция с показателем однородности  $q.$$q.$  

Пример. Обобщённая функция  $\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}(x_1,x_2,\dots <!--\; \dots \; -->,x_n)$$\delta (x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})$  — однородная обобщённая функция с показателем однородности  $(-<!--\; -\; -->n)$$(-n)$   поскольку  $\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}[\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(x_1/\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->},x_2/\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->},\dots <!--\; \dots \; -->,x_n/\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->})]=\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(0,0,\dots <!--\; \dots \; -->,0)=\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}[\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(x_1,x_2,\dots <!--\; \dots \; -->,x_n)].$$\delta [\varphi ({x_{1}}/\lambda ,{x_{2}}/\lambda ,\dots ,{x_{n}}/\lambda )]=\varphi (0,0,\dots ,0)=\delta [\varphi (x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})].$  

Исследование однородных обобщённых функций позволяет придать содержательный смысл интегралам с сингулярными особенностями, в обычном смысле не интегрируемыми. Например, рассмотрим обобщённую функцию  $T_q^{+}\left[\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}\right]={\int <!--\; \int \; -->}_0^{+\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{x}^q\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(x)dx.$$T_{q}^{+}\left[\varphi \right]=\int _{0}^{+\infty }x^{q}\varphi (x)dx.$   Этот функционал определён при  $Re(q)>-<!--\; -\; -->1$$Re(q)>-1$   и, как легко проверить, является однородной обобщённой функцией с показателем однородности  $q.$$q.$   Величину  $T_q^{+}$$T_{q}^{+}$   при фиксированном выборе пробной функции  $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}\left(x\right)$$\varphi \left(x\right)$   можно рассматривать как функцию комплексного переменного  $q$$q$   и, вообще говоря, аналитически продолжить её вне данного диапазона. А именно, правая и левая части равенства

 ${\int <!--\; \int \; -->}_0^{+\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{x}^q\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(x)dx={\int <!--\; \int \; -->}_1^{+\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{x}^q\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(x)dx+{\int <!--\; \int \; -->}_0^1{x}^q\left(\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(x)-<!--\; -\; -->\underset{k=0,n}{\sum <!--\; \sum \; -->}{x}^k\frac{{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}^{(k)}(0)}{k!}\right)dx+\underset{k=0,n}{\sum <!--\; \sum \; -->}\frac{{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}^{(k)}(0)}{k!(q+k+1)},$$\int _{0}^{+\infty }x^{q}\varphi (x)dx=\int _{1}^{+\infty }x^{q}\varphi (x)dx+\int _{0}^{1}x^{q}\left(\varphi (x)-\sum _{k=0,n}x^{k}{\frac {\varphi ^{(k)}(0)}{k!}}\right)dx+\sum _{k=0,n}{\frac {\varphi ^{(k)}(0)}{k!(q+k+1)}},$  

аналитичны по переменной  $q$$q$   и тождественно равны друг другу при  $Re(q)>-<!--\; -\; -->1.$$Re(q)>-1.$   Однако правая часть равенства имеет смысл и аналитична также и при  $Re(q)>-<!--\; -\; -->n.$$Re(q)>-n.$   В силу этого правая часть равенства — это аналитическое продолжение левой части равенства для  $Re(q)>-<!--\; -\; -->n.$$Re(q)>-n.$   Как результат, равенство

 $T_q^{+}[\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(x)]={\int <!--\; \int \; -->}_1^{+\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{x}^q\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(x)dx+{\int <!--\; \int \; -->}_0^1{x}^q\left(\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(x)-<!--\; -\; -->\underset{k=0,n}{\sum <!--\; \sum \; -->}{x}^k\frac{{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}^{(k)}(0)}{k!}\right)dx+\underset{k=0,n}{\sum <!--\; \sum \; -->}\frac{{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}^{(k)}(0)}{k!(q+k+1)},$$T_{q}^{+}[\varphi (x)]=\int _{1}^{+\infty }x^{q}\varphi (x)dx+\int _{0}^{1}x^{q}\left(\varphi (x)-\sum _{k=0,n}x^{k}{\frac {\varphi ^{(k)}(0)}{k!}}\right)dx+\sum _{k=0,n}{\frac {\varphi ^{(k)}(0)}{k!(q+k+1)}},$  

задаёт линейный непрерывный функционал, являющийся расширением определённого ранее функционала  $T_q^{+}$$T_{q}^{+}$   вплоть до значений  $Re(q)>-<!--\; -\; -->n.$$Re(q)>-n.$   Формулы для  $Re(q)>-<!--\; -\; -->n$$Re(q)>-n$   и для  $Re(q)>-<!--\; -\; -->m$$Re(q)>-m$   дают один и тот же результат при одинаковых значениях  $q,$$q,$   при которых они обе имеют смысл: это определение непротиворечиво. Обобщённая функция  $T_q^{+},$$T_{q}^{+},$   определённая теперь для всех  $q,$$q,$  , по-прежнему является однородной обобщённой функцией, поскольку соотношение однородности сохраняется при аналитическом продолжении.

С помощью  $T_q^{+}\left[\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}\right]$$T_{q}^{+}\left[\varphi \right]$   определятся регуляризированные значения интеграла  ${\int <!--\; \int \; -->}_0^{+\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{x}^q\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(x)dx,$$\int _{0}^{+\infty }x^{q}\varphi (x)dx,$   имеющие смысл при любых комплексных  $q.$$q.$   Исключениями являются целочисленные значения  $q=-<!--\; -\; -->1,-<!--\; -\; -->2,\dots <!--\; \dots \; -->,-<!--\; -\; -->n,\dots <!--\; \dots \; -->,$$q=-1,-2,\dots ,-n,\dots ,$   где регуляризированный интеграл является сингулярным: функционал  $T_q^{+}\left[\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}\right]$$T_{q}^{+}\left[\varphi \right]$   как функция переменной  $q$$q$   в точке  $q=-<!--\; -\; -->n$$q=-n$   имеет простой полюс с вычетом  ${\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}^{(n-<!--\; -\; -->1)}(0)/(n-<!--\; -\; -->1)!.$$\varphi ^{(n-1)}(0)/(n-1)!.$  

По той же схеме может быть аналитически продолжена для  $Re(q)\le <!--\; \le \; -->-<!--\; -\; -->1$$Re(q)\leq -1$   присоединённая однородная функция  $T_{p,q}^{+}\left[\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}\right]={\int <!--\; \int \; -->}_0^{+\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{x}^q{\log }^p<!--\; \; -->(x)\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(x)dx.$$T_{p,q}^{+}\left[\varphi \right]=\int _{0}^{+\infty }x^{q}\log ^{p}(x)\varphi (x)dx.$   С её помощью определяются регуляризированные значения для интегралов  ${\int <!--\; \int \; -->}_0^{+\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{x}^q{\log }^p<!--\; \; -->(x)\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(x)dx,$$\int _{0}^{+\infty }x^{q}\log ^{p}(x)\varphi (x)dx,$   имеющие смысл при  $Re(q)\le <!--\; \le \; -->-<!--\; -\; -->1.$$Re(q)\leq -1.$  

Аналогичным, но более сложным образом конструируются однородные обобщённые функции и присоединённые однородные обобщённые функции для случая  $n$$n$   переменных. Подробности могут быть найдены в цитируемой здесь библиографии. Теория однородных обобщённых функций позволяет конструктивно осмыслить применительно к пространству обобщённых функций обычные функции, имеющие неинтегрируемые особенности — вычислять интегралы от таких функций, находить их преобразование Фурье и т. д.

Библиография: И. М. Гельфанд, З. Я. Шапиро. Однородные функции и их приложения. Успехи математических наук, т. 10 (1955) вып. 3, стр. 3—70.

См. такжеПравить

• Однородный многочлен
• Однородное уравнение
• Однородное дифференциальное уравнение
• Однородные координаты