Абсолютная величина

Абсолю́тная величина́, или мо́дуль, числа $x$$x$ (в математике) — неотрицательное число, которое, неформально говоря, обозначает расстояние между началом координат и $x$$x$. Обозначается: $|x|.$$|x|.$

График вещественной функции

Модуль $|z|$$|z|$ и другие характеристики комплексного числа $z$$z$

В случае вещественного $x$$x$ абсолютная величина есть непрерывная кусочно-линейная функция, определённая следующим образом:

$|x|={\begin{cases}x,&x>0,\\0,&x=0,\\-x,&\ x<0.\end{cases}}$

Обобщением этого понятия является модуль, или абсолютная величина, комплексного числа $z=x+iy.$$z=x+iy.$ Это число определяется по формуле:

$|z|=|x+iy|=\sqrt{x^2+y^2}.$$|z|=|x+iy|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}.$

Основные свойстваПравить

С геометрической точки зрения, модуль вещественного или комплексного числа есть расстояние между числом и началом координат. В математике широко используется тот факт, что геометрически величина $|x_1-<!--\; -\; -->x_2|$$|x_{1}-x_{2}|$  означает расстояние между точками $x_1$$x_{1}$  и $x_2$$x_{2}$  и, таким образом, может быть использована как мера близости одной (вещественной или комплексной) величины к другой — например, в определении предела по Коши или медианы.

Вещественные числаПравить

• Область определения: $(-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->};+\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}).$$(-\infty ;+\infty ).$ 
• Область значений: $[0;+\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}).$$[0;+\infty ).$ 
• Функция чётная.
• Функция дифференцируема всюду, кроме нуля. В точке $x=0$$x = 0$  функция претерпевает излом.

Комплексные числаПравить

• Область определения: вся комплексная плоскость.
• Область значений: $[0;+\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}).$$[0;+\infty ).$ 
• Модуль как комплексная функция не дифференцируема ни в одной точке, поскольку условия Коши-Римана не выполнены.

Алгебраические свойстваПравить

Для любых вещественных чисел $a,b$$a,b$  имеют место следующие соотношения:

• $|x|=\sqrt{x^2}=x\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathrm{sgn}<!--\; \; -->x=\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{x,-<!--\; -\; -->x\}$$\ |x|={\sqrt {x^{2}}}=x\cdot \operatorname {sgn} x={\rm {max}}\,\{x,\,-x\}$  (sgn — функция знака);
• $a⩽<!--\; ⩽\; -->|a|;$$a\leqslant |a|;$ 
• $-<!--\; -\; -->|a|⩽<!--\; ⩽\; -->a;$$-|a|\leqslant a;$ 
• квадрат модуля числа равен квадрату этого числа: $|a{|}^2=a^2.$$|a|^{2}=a^{2}.$ 

Как для вещественных, так и для комплексных $a,b$$a,b$  имеют место соотношения:

• модуль любого числа равен либо больше нуля: $|a|⩾<!--\; ⩾\; -->0$$|a| \geqslant 0$ , причём $|a|=0$$|a|=0$  тогда и только тогда, когда $a=0;$$a=0;$ 
• модули противоположных чисел равны: $|-<!--\; -\; -->a|=|a|;$$|{-a}|=|a|;$ 
• модуль произведения двух (и более) чисел равен произведению их модулей: $|ab|=|a||b|;$$|ab|=|a||b|;$ 
  • в частности, постоянный положительный множитель можно выносить за знак модуля: $|ab|=a|b|,a>0;$$|ab|=a|b|,\quad a>0;$ 
• модуль частного от деления двух чисел равен частному от деления модулей этих двух чисел: $\left|\frac{a}{b}\right|=\frac{|a|}{|b|};$$\left|{\frac {a}{b}}\right|={\frac {|a|}{|b|}};$ 
• $|a+b|⩽<!--\; ⩽\; -->|a|+|b|$$|a+b| \leqslant |a|+|b|$  (неравенство треугольника);
• $|a-<!--\; -\; -->b|⩽<!--\; ⩽\; -->|a|+|b|;$$|a-b|\leqslant |a|+|b|;$ 
• $|a|-<!--\; -\; -->|b|⩽<!--\; ⩽\; -->|a+b|;$$|a|-|b|\leqslant |a+b|;$ 
• $|a\pm <!--\; \pm \; -->b|⩾<!--\; ⩾\; -->||a|-<!--\; -\; -->|b||;$$|a\pm b|\geqslant {\big |}|a|-|b|{\big |};$ 
• $|a^k|=|a{|}^k,$$|a^{k}|=|a|^{k},$  если $a^k$$a^k$  существует.

ИсторияПравить

Считают, что термин предложил использовать Котс, ученик Ньютона. Лейбниц тоже использовал эту функцию, которую называл модулем и обозначал: mol. Общепринятое обозначение абсолютной величины введено в 1841 году Вейерштрассом. Для комплексных чисел это понятие ввели Коши и Арган в начале XIX века.

В языках программированияПравить

Поскольку эта функция вычисляется достаточно просто (а именно с помощью сравнений и присваиваний), то обычно она входит в стандартный список функций во все языки программирования. Например, в Pascal есть функция abs(x), а в C fabs(x) для вещественного типа. В программе Wolfram Mathematica: Abs[x].

ОбобщениеПравить

Понятие абсолютной величины можно ввести в произвольном упорядоченном кольце или упорядоченном поле, и свойства её будут аналогичны приведённым выше.

Обобщением понятия модуля можно считать норму элемента многомерного векторного пространства, обозначаемую $\Vert <!--\; \Vert \; -->x\Vert <!--\; \Vert \; -->$$\|x\|$ . Норма вектора в евклидовом пространстве иногда тоже называется модулем. По аналогии с модулем разности чисел, норма разности двух векторов является мерой близости между ними. В отличие от модуля числа, норма вектора может определяться различными способами, однако в случае одномерного пространства норма вектора пропорциональна (часто и равна) модулю его единственной координаты.

См. такжеПравить

• Модуль комплексного числа
• Модуль вектора
• Норма вектора
• Нормирование
• Нормированное векторное пространство